专题5---列方程(教师版)

1 初一数学 寒假专题 列方程 （教师版） 【 本讲教育信息 】 一 . 教学内容： 寒假专题 列方程 二、教学要求 （一）复习单项式、多项式、同类项、一元一次方程、相反数、倒数、绝对值、代数式的值、方程的解等相关概念性质，能够根据具体问题中的数量关系及相等关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型； （二）能够把文字语言叙 述的问题转化为数学语言表达的式子，能够找出并抓住关键词语列出方程； （三）掌握和使用代数式中的方程去反映现实世界中的相等关系，并逐步体会代数方法的优越性，培养学生分析问题、解决问题 的能力及综合运用知识的能力。 三、重点及难点 （一）重 点 1、根据基本概念及性质，分析相等关系 2、文字语言叙述问题中关键词语的把握 （二）难点知识的综合运用 四、课堂教学 （一）知识要点 我们知道方程是一个等式而等式表示了一个相等关系，因此列方程解决问题的关键在于找出相等关系。 1、利用基本概念及性质列方程 （ 1）单项式的相关概念 由数字与字母的积组成的代数式叫做单项式（特别是单独的一个数或字母也是单项式），单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有的字母的指数之和叫做单项式的次数，可以利用单项式系 数及次数的规定列出方程解题。 例如：已知 2123 是关于 x 、 y 的系数为31的 6 次单项式，则其中 a 、b 的值可以由单项式的系数与次数的定义列出方程求解。 列出方程313 a，且 6212 b，解得91a， 6b （ 2）同类项的相关概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项（特别，几个常数项也是同类项），其相等关系往往在于相同字母的指数也分别相同。 如：已知 2 与 123 同类项，则可知 21m ， 11n ，解得 3m ， 2n （ 3）多项式的次数与项 由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项。其中不含有字母的项叫做常数项。一个多项 式含有几项就叫做几项式。多项式中次数最 高项的次数叫做这个多项式的次数。 根据多项式次数规定找出相等关系列出方程求出字母的值，如已知多项式a 32332 5214 是六次三项式，可知 6231 a ，解得 4a 已知关于 x 多项式 12)1( 24 二次三项式，可知01k ，得 1k （ 4）一元一次方程 只含有一个未知数的次数是 1 的方程叫做一元一次方程。 注意：列方程的关键往往在于未知数的次数是 1。 如：已知 03 53 一元一次方程，则可得 153 m ，解得 2m （ 5）相反数的性质 互为相反数的两个数的和为 0 是应用很广泛的性质，也提示出了列方程所必需的相等关系。 如：代数式 32 a 与 互为相反数，则可 知 05432 解得31a 2 （ 6）倒数的性质 互为倒数的两个数积为 1，因此一个数 a 的倒数可以表示为解倒数为本身的数时，可以利用倒数性质，改此数为 x ，则 1即 12x ，1x 。 再如 42 x 与 为倒数，则可知 1)42(x ，解得 3x （ 7）绝对值的意义 绝对值的符号内容有未知数的方程叫做含有绝对值的方程。 根据 绝对值的意义，从正负两个方向考虑绝对值符号内代数式的值，则可以转化此种方程为一元一次方程，从而解决问题。 如： 112 x ，可以转化为 112 x 或 112 x ，分别解得 1x 或0x （ 8）代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果叫 做代数式的值。 已知 82 x 的值为 4，可知 482 x ，解得 6x （ 9）方程的解 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 题目问法虽然不同，但有一点不变的是方程的解就是方程中未知数的值这也是解题的关键。 如：已知 0x 是方程 532 根，可知方程 532 x 的值为 0，可得 50302 a ，转化为关于 a 的方程，解得 5a 。 还可以说已知关于 x 的方程 532 方程 0x 是同解方程，则后面方程中的 x 的值即为前面方程中 x 的值，则 x 为 0，其解法与前面相同。 2、由文字叙述列方程 这实际上就是把文字语言叙述问题转化为数学语 言表达的式子，列方程的关键在于找等量关系。在实际问题中，等量关系通常隐含在一些关键词语中，如和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几，比、是、等于、相等、为、得等，列方程时审题要抓住关键词语，并从中灵活地悟出等量关系，其中列代数式的能力是十分必要的，特别注意运算顺序，一般先读的先写，运算级别是先低后高的要加括号，而先高后低的就不必加括号了。如某数的 2 倍少 5和某数的 3 倍多 7 相等；某数与 7 的差的31等于 1；某数与它的52倍的和再减去 2；某数的平方与 10 的积是该数 2 倍的相反数。 设某数为 x ， 则 可 分 别 列 得 7352 1)7(31 x； 10 2 。 3、由公式列出方程 利用常见的面积、周长等公式列方程求其中一个变量的值也是一种常见的问题。如长方形面积为 24 2，长为 8 ，则设宽为 x ，由长方形面积公式长宽面积，可知 248 x ，解得 3x ，则宽为 3 。 4、利用规律列方程 如：在 一条直线上取 n 个点，出现了 30 条射线，则求 n 的值。由相关的规律可知取 n 个点出现 2 n 条射线，得 302 n ，解得 n 15。 【 典型例题 】 例 1：若 2 与 833 ba n 的和仍然是一个单项式，求 m 、 n 的值。 分析： 2 833 ba n 是单项式，则 2 与 833 ba n 必为同类项，可以合并；由同类项定义可知 33 82 m ，可求出 m 、 n 的值。 解： 由题意得 33 82 m ，解得 4m ，代入 33 得334 n ，37m ，37：已知关于 x 的方程213 3 a 的值。 分析： 关于 x 的方程是指未知数为 x ，若此方程为一元一次方程，则未知数 x 的指数为 1，得到 13 a ，解此绝对值方程即可。 3 解： 由题意得 13 a ，则 13 a 或 13 a ，解得31：如果 的相反数，求 x 的值。 分析： 可有两种思路：（ 1）利用互为相反数的两个数的和为 0， 互 为相反数，则 5 0；（ 2） 5 的相反数为 5，原题理解为 5，即 5，这两个方程的解相同，我们以思路（ 2）为例说明。 解 ： 由题意得 5，解得 10x 例 4：已知 21x 的值与 3y 的值互为相反数（问法 2 已知 031 2 ，求 x 、 y 的值。 分析： 问法 1，利用相反数的性质可知 031 2 由于 01 2 x ， 03 y ，可知只可能 21x 0，且 3y 0，则 01 x ，03y ，可解出 x 、 y 的值。问法 2，利用代数式的值的定义可知 031 2 其解法同前一问相同。 解： 由题意得 031 2 解得 01x ， 03y 得 1x ， 3y 例 5：已知代数式 32 x 的值比 x3 的值小 1，则求 x 的值。 分析： 找出关键词语“比”、“小”，分析数量关系，列出方程1332 解： 由题意得 1332 解得35：已知三个连续偶数之和为 30，求这三个数。 分析： 此题中关键在于设，两个连续 偶数之间差为 2，则可设这三个偶数为 x ， 2x ， 4x ，再列方程。 解： 设这三个偶数分别为 x ， 2x ， 4x 由题意得 3042 解 得 8x 则124 102 、 10、 12。 小结： 1、复习单项式、 多项式、同类项、一元一次方程、代数式的值、方程的解等相关概念，及相反数、倒数、绝对值的性质； 2、明确列方程的关键在于找出等量关系，能够由语言文字叙述列方程； 3、能够综合运用知识分析相等关系列方程。 【 模拟试题 】（答题时间： 40 分钟） （一）填空 1、方程 013 52 一元一次方程，则 n ，方程的解为 。 2、 x 时，代数式 523 x 的值等于 18 的相反数。 3、关于 y 的方程 243 的根为 3，则 a 的值是 。 4、 32 x ，则 x 。 5、已知21x与 差为 2，则 x 。 6、代数式 2x 11 的值与 9x 的值相等，则 x 。 7、已知 24 与 是同类项，则 m ,n . 8、 x 时，代数式 2x 8 的值等于 4 9、代数式 2x 1 的值与 1 互为倒数，则 x _. 4 10、代数式 2a 3 与 3 a 的值互为相反数，则 a _. 11、已知：关于 x 的多项式 12)2( 23 二次三项式则 k_. （二）根据下列条件列出方程 1、 5 减去某数 3 倍的差等于某数与 4 的和。 2、某数的 5 倍加上 7 等于 22. 3、某数的 4 倍与 2 的和等于 3. 4、某数与 5 的差的一半等于 1. （三）解答题 1、观察下面的一列数 1， 6， 11， 16， 21， 则它的第多少项等于 2006？ 2、在多项式 9822 222 a 的值 。 3、已知， x 1 m 与 2x 5 m 的解相同 ,求 m 的值。 4、已知，关于 x 的方程 2x 3 0 的解使 0)1( 2 x ，求 a 的值。 初一数学 寒假专题 列方程 试题答案 （一） 1、 3 ， 312、 1 3、 1 4、 5 或 1 5、 1 6、 1 7、 3，218、 6 9、 1 10、 0 11、 2 （二） 1、 解： 设某数为 x，由题意得 5 3x x 4 2、 解： 设某数为 x，由题意得 5x 7 22 3、 解： 设某数为 x，由题意得 4x 2 3 4、 解： 设某数为 x，由题意得 12 5 x（三） 1、 解： 观察