中考求阴影部分面积

1 中考求阴影部分面积中考求阴影部分面积 知识概述知识概述 计算平面图形的面积问题是常见题型 求平面阴影部分的面积是这类问题的难点 不规则阴影面积常 常由三角形 四边形 弓形 扇形和圆 圆弧等基本图形组合而成的 在解此类问题时 要注意观察和分 析图形 会分解和组合图形 现介绍几种常用的方法 一 转化法 此法就是通过等积变换 平移 旋转 割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形 再利 用规则图形的面积公式 计算出所求的不规则图形的面积 例 1 如图 1 点 C D 是以 AB 为直径的半圆 O 上的三等分点 AB 12 则图中由弦 AC AD 和 围成的阴影部分图形的面积为 CD 分析 连结 CD OC OD 如图 2 易证 AB CD 则的面积相等 所以图中阴影部分 ACDOCD和 的面积就等于扇形 OCD 的面积 易得 故 COD60SS OCD阴影扇形 606 360 6 2 例 2 如图 A 是半径为 1 的 O 外的一点 OA 2 AB 是 O 的切线 B 是切点 弦 BC OA 连结 A C 则阴影部分的面积等于 分析 一个图形的面积不易或难以求出时 可改求与其面积相等的图形面积 便可以使原来不规则的 图形转化为规则图形 解 连结 OB OC BC OA S ABC S OBC S 阴影 S 扇形 OBC AB 是 O 的切线 BOA 90 OB 1 OA 2 OBC BOA 60 BOC 扇形 OBC 是圆的 2 S 阴影 S 扇形 OBC 二 和差法 有一些图形结构复杂 通过观察 分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的 再利用这 些规则图形的面积的和或差来求 从而达到化繁为简的目的 例 3 如图 3 是一个商标的设计图案 AB 2BC 8 为圆 求阴影部分面积 ADE 1 4 分析 经观察图 3 可以分解出以下规则图形 矩形 ABCD 扇形 ADE 所以 Rt EBC SSSS ADEABCDRt EBC阴影扇形矩形 904 360 48 1 2 41248 2 三 重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法 这类题阴影一般是由 几个图形叠加而成 要准确认清其结构 理顺图形间的大小关系 例 4 如图 4 正方形的边长为 a 以各边为直径在正方形内作半圆 求所围成阴影部分图形的面积 解 因为 4 个半圆覆盖了正方形 而且阴影部分重叠了两次 所以阴影部分的面积等于 4 个半圆的面 积和与正方形面积的差 故 S a aa 阴影 2 22 1 222 代数法 析解 设每片叶形面积为 x 每个空白部分的面积为 y 由面积关系列出方程组 2 2 1 21 22 442 a xy xya 得 142 22 1 4 2 xaa 所以 22 1 2 Saa 阴影 四 补形法 将不规则图形补成特殊图形 利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积 3 例 5 如图 5 在四边形 ABCD 中 AB 2 CD 1 求四边形 ABCD 所在 ABD60 90 阴影部分的面积 解 延长 BC AD 交于点 E 因为 所以 又 AB6090 E30 易求得 所以 EDCCECDDE9023 所以 BE 2 3 SSSAB BECD DE ABECDE阴影 1 2 1 2 3 3 2 例 2 南充市 如图 2 PA 切圆 O 于 A OP 交圆 O 于 B 且 PB 1 PA 则阴影部分的面积3 S 析解 将图中阴影部分补上扇形 OAB 得由勾股定理可得 解可得Rt PAO 1OAOBcm Rt PAO 所以60AOP 2 1601 13 2360 Rt PAOOAB SSS 阴影扇形 3 26 五 拼接法 例 6 如图 6 在一块长为 a 宽为 b 的矩形草地上 有一条弯曲的柏油小路 小路任何地方的水平宽 都是 c 个单位 求阴影部分草地的面积 解 1 将 小路 沿着左右两个边界 剪去 2 将左侧的草地向右平移 c 个单位 3 得到 一个新的矩形 如图 7 由于新矩形的纵向宽仍然为 b 水平方向的长变成了 所以草地的面积为 ac b acabbc 六 特殊位置法 例 7 如图 8 已知两个半圆中长为 4 的弦 AB 与直径 CD 平行 且与小半圆相切 那么图中阴影部分的面 积等于 图 2 4 分析 在大半圆中 任意移动小半圆的位置 阴影部分面积都保持不变 所以可将小半圆移动至两个 半圆同圆心位置 如图 9 解 移动小半圆至两半圆同圆心位置 如图 9 设切点为 H 连结 OH OB 由垂径定理 知 又 AB 切小半圆于点 H 故 故BHAB 1 2 2OH AB OBOH 22 BH 2 4 SOBOHOBOH 阴影 1 2 1 2 1 2 2 2222 七 代数法 将图形按形状 大小分类 并设其面积为未知数 通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法 例 8 如图 10 正方形的边长为 a 分别以两个对角顶点为圆心 以 a 为半径画弧 求图中阴影部分 的面积 解 设阴影部分的面积为 x 剩下的两块形状 大小相同的每块面积为 y 则图中正方形的面积是 而是以半径为 a 的圆面积的 故有 解得 xy 2xy 1 4 xya 2 2 xya 4 2 xa 2 1 2 即阴影部分的面积是 2 1 2 a 需要说明的是 在求阴影部分图形的面积问题时 要具体问题具体分析 从而选取一种合理 简捷的 方法 八 整体求解法 例 9 广东韶关市 如右图 12 相互外离 它们的半径都是 顺次连结四个圆AABACADA1 心得到四边形 则图中四个扇形 阴影部分 的面积之和等于 结果保留 ABCD 析解 如果想将图中四个扇形的面积分别求出 显然是不可能的 因此应考虑将四个扇形的面积整体求解 因 为四边形的内角和为 从而可知所求阴影部分的面积可以组成一个圆的面积 所以360 2 1S 四个扇形 5 阴影部分面积练习阴影部分面积练习 1 如图 在矩形ABCD中 E F分别是边AD BC的中点 点G H在DC边上 且GH 2 1 DC 若 AB 10 BC 12 则图中阴影部分面积为 2 如图 正方形 ABCD 的面积为 1 M 是 AB 的中点 则图中阴影部分的面积是 3 如图 扇形 OAB AOB 90 P 与 OA OB 分别相切于点 F E 并且与弧 AB 切于点 C 则扇形 OAB 的面积与 P 的面积比是 4 如图 四边形OABC为菱形 点B C在以点O为圆心的 EF上 若OA 1 1 2 则扇形OEF的 面积为 5 如下图 AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷 如果 AO 65cm CO 15cm 当 AC 绕点 O 旋转 90 时 则刮雨 刷 AC 扫过的面积为 cm2 6 如图 AB是 O1的直径 AO1是 O2的直径 弦MN AB 且MN与 O2相切于C点 若 O1的半径为 2 则O1B NC与所围成的阴影部分的面积是 BN CO1 E F O A B C 2 1 第 1 题 H G F E D CB A 6 7 将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放 重叠部分 阴影 的量角器圆弧 A AB 对应的中心角 AOB 为 120 AO的长为 4cm 则图中阴影部分的面积为 A 16 2 3 cm2 B 8 2 3 cm2 C 16 2 3 3 cm2 D 8 2 3 3 cm2 8 如图 直径AB为 6 的半径 绕A点逆时针旋转 60 此时点B到了点 B 则图中阴影部分的面积是 A 6 B 5 C 4 D 3 9 如图 在 ABC 中 AB AC AB 8 BC 12 分别以 AB AC 为直径作 半圆 则图中阴影部分的面积是 A 6412 7 B 1632 C 1624 7 D 1612 7 10 如图 3 正方形ABCD内接于 O 直径MN AD 则阴影面积占圆面积 A 1 2 B 1 4 C 1 6 D 1 8 11 如图 正方形ABCD边长为 4 以BC为直径的半圆O交对角线BD于E 则直线CD与 O的位置关系是 阴影部分面积为 结果保留 12 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 4 BC 2 分别以 AC BC 为直径画半圆 则图中阴影部分的面积 A B O C 第 7 题图 O1 O2 第 8 题图 第 9 题图 A B C C A B 12 题图 7 为 结果保留 13 如图 矩形 ABCD 中 AB 1 AD 2 以 AD 的长为半径的 A 交 BC 边于点 E 则图中阴影部分的面积为 13 题 14 如图 在半径为5 圆心角等于 450的扇形AOB内部 作一个正方形CDEF 使点C在OA上 点D E 在OB上 点F在AAB上 则阴影部分的面积为 结果保留 15 如下图 等腰 Rt ABC的直角边长为 4 以A为圆心 直角边AB为半径作弧BC1 交斜边AC于点C1 ABBC 11 于点B1 设弧BC1 11B C B1B围成的阴影部分的面积为S1 然后以A为圆心 AB1为半径作 弧B1C2 交斜边AC于点C2 ABBC 22 于点B2 设弧B1C2 22B C B2B1围成的阴影部分的面积为S2 按此规律继续作下去 得到的阴影部分的面积S3 16 如上图 AB 是 O 的直径 点 D 在 O 上 DAB 45 BC AD CD AB 1 判断直线 CD 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 O 的半径为 1 求图中阴影部分的面积 结果保留 17 如下图 ABC是直角边长为a的等腰直角三角形 直角边AB是半圆O1的直径 半圆O2过C点且与 半圆O1相切 则图中阴影部分的面积是 A 2 36 7 a B 2 36 5 a C 2 36 7 a D 2 36 5 a 8 18 如图 从一个直径为 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 60 的扇形ABC 将剪下来的扇形围成一个圆 锥 则圆锥的底面圆半径为 A 1 3 B 6 3 C 3 3 D 4 3 19 小刚用一张半径为 24cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面 接缝忽略不计 如果做成 的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10cm 那么这张扇形纸板的面积是 2 设 AC 与 DM 的交点为 G AMG 和 CDG 相似 AM CD 2 S AMG 1 12 S 阴影 S ADM S ACM 2S AMG S 阴影 1 4 1 4 2 12 1 3 因此图中的阴影部分的面积是 1 3 3 解 设圆 P 的半径为 r 连 OC PE 则 OC 经过点 P 且 OC 平分 AOB 所以在等腰直角三角形 OPE 中 PE r OP 2r 所以圆 O 的半径为 OP PC 2r r 所以扇形 OAB 的面积 2r r 2 4 3 2 2 r 2 4 圆 P 的面积 r 2 所以扇形 OAB 的面积与 P 的面积比 24cm 第 19 题 O O2 2 O O1 1 A A P P B B C C 9 3 2 2 r 2 4 r 2 3 2 2 4 4 连接 OB OB 为半径 OB OC BC 1 OCB A 60 COA 120 又 1 2 EOF COA 120 S 扇形 OEF 1 3 5 三角形 AOC 与三角形 A OC 全等 故刮雨刷 AC 扫过的面积等于扇形 AOA 的面积 扇形 COC 的面积 OA OA OC OC AC AC AOC A OC 刮雨刷 AC 扫过的面积 大扇形 AOA