利用多种方法证明三角形的内角和是180

利用多种方法证明三角形的内角和是利用多种方法证明三角形的内角和是 180 180 关键词 多种方法 三角形 内角和 转化 思路 摘 要 三角形的内角和为 180 可以有很多的证明方法 从不同的角度去思考 就可以得到不同的证法 当我们碰到新问题感觉无法下手时 通常我们可以将新问题通过 各种方法转化为已经学过的问题进行证明 这样的方法在初中的几何学中经常会用到 它 可以为我们解决新问题带来很大的帮助 在初一的数学中 我们学习了三角形的内角和定理 知道了三 角形的内角和为 180 对于这个定理 我们可以利用多种方法进 行证明 以下是我从几个不同的方面总结的几种证明方法 现拿来 分享 以拓宽学生的思维 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干三角形三个内角的和等干 180 180 已知 如图 1 A B C 分别为三角形 ABC 的三个内角 求证 A B C 180 分析分析 当我们碰到新问题感觉无法下手时 通常我们可以将新 问题通过各种方法转化为已经学过的问题进行证明 这样的方法在 初中的几何学中经常会用到 它可以为我们解决新问题带来很大的 帮助 证明三角形的内角和 就可以运用这种方法 我们先想想在 那些地方碰到过关于 180 的角的问题 这会给我们的证明拓宽一 定的思路 思路思路 1 1 在小学里我们在说明这个问题时是用一张三角形的纸 片 将三角形的三个角剪下来 然后拼在一起 从而得到一个平角 说明三角形的内角和为 180 思路思路 2 2 然而 不是所有的三角形都可以剪的下来 今天 要 证明三角形的三个内角之和等于 180 虽然不能用以前的老方法 但思路和以前有些相似 我们学过一个平角是 180 那么 是否 能够设法将三角形的三个内角拼成一个平角 从而 进行说明呢 为此 用辅助线构造出一个平角 再用平行线 移动 内角 将其 集中起来 思路思路 3 3 我们知道 当两条平行线被第三条直线所截时的同旁 内角互补 也就是它们的和为 180 那么 能否将三角形的三个 内角集中到平行线的一组同旁内角上来呢 因此 我们想办法将三角 形的三个内角放在两条平行线的两同旁内角的位置上 利用第一种思路用一张三角形的纸片 将三角形的三个角剪下 来 然后拼在一起 从而组成一个平角 但组成的角是不是就是一 个标准的平角呢再加上手工时的误差 所以很难清楚的进行说明 跟何况不是所有的三角形都可以剪的下来 因此 在这里 我主要 是根据后面的两种思路 总结出下面的几种证明方法 利用第二种思路得到下列几种证明方法 证法一证法一 如图 2 延长边 BC 到 D 并过顶点 C 作 CE BA CE BA 作图 1 A 两直线平行 内错角相等 2 B 两直线平行 同位角相等 又 1 2 ACB 180 平角的定义 A B ACB 180 证法二 证法二 如图 3 过顶点 C 作 DE AB DE AB 作图 1 A 2 B 两直线平行 内错角相等 又 1 ACB 2 180 平角的定义 A ACB B 180 证法三 证法三 如图 4 在 BC 边上任取一点 D 作 DE BA DF CA 分别交 AC 于 E 交 AB 于 F 则 2 B 3 C 两直线平行 同位角相等 1 4 两直线平行 内错角相等 4 A 两直线平行 同位角相等 1 A 等量代换 又 1 2 3 180 平角的定义 A B C 180 证法四 证法四 如图 5 作 BC 的延长线 CD 在 ABC 的外部以 CA 为一边 CE 为另一边画 1 A 也可以直接作 CE BA 于是 CE BA 内错角相等 两直线平行 B 2 两直线平行 同位角相等 又 1 2 ACB 180 平角的定义 A B ACB 180 证法五 证法五 如图 6 在 ABC 的内部任取一点 D 连结 AD BD 并 延长分别交边 BC AC 于点 E F 再连结 CD 则 7 1 2 8 3 4 9 5 6 三角形的任何 一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 又 7 8 9 180 平角的定义 1 2 3 4 5 6 180 即 BAC ABC ACB 180 根据第三种思路 也可以设计出几种证法 证法如下 证法六 证法六 如图 7 过顶点 C 作 CD BA 则 1 A 两直线平行 内错角相等 CD BA 1 ACB B 180 两直线平行 同旁内角互补 A ACB B 180 证法七证法七 如图 8 任意作线段 AD 交 BC 于 D 分别过点 B C 作 BE DA CF DA 则 1 3 2 4 两直线平行 内错角相等 BE DA CF DA BE CF 3 ABC ACB 4 180 两直线平行 同旁内角互补 1 ABC ACB 2 180 BAC ABC ACB 180 上面用到的七种证明方法 都是将新问题通过