【步步高】2014届高三数学大一轮复习 1.2命题及充要条件课时检测 理 苏教版

1 1 21 2 命题及充要条件命题及充要条件 一 填空题 1 命题 若x2 2 则 x 的逆否命题是 2 解析 若p则q 的逆否命题是 若非q则非p 答案 若 x 则x2 2 2 2 若集合 A 1 sin B 则 是 的 条件 1 2 2 5 6 AB 1 2 解析 但 不能推出 5 6 AB 1 2 AB 1 2 5 6 答案 充分不必要 3 x 1 2 成立 是 x x 3 0 成立 的 条件 解析 设A x x 1 2 x 1 x 3 B x x x 3 0 x 0 x 3 因为B A 所以应填必要不充分条件 答案 必要不充分 4 设x y R R 那么 x y 0 是 1 的 条件 x y 解析 由 1 0 x y 0 或x y 0 x y x y y 因此 x y 0 能推断 1 反之不成立 x y 答案 充分不必要 5 设 a b 是向量 命题 若 a b 则 a b 的逆命题是 解析 逆命题是以原命题的结论为条件 条件为结论的命题 这个命题的逆命题为 若 a b 则 a b 答案 若 a b 则 a b 6 已知a b R R 则 log3a log3b 是 a b 的 条件 1 2 1 2 解析 log3a log3b a b 0 a b 1 2 1 2 但 a b a b 不一定有a b 0 1 2 1 2 答案 充分不必要 7 在锐角 ABC中 A 是 sin A 成立的 条件 3 3 2 解析 因为 ABC是锐角三角形 所以A sin A 3 3 2 答案 充要 2 8 a a b b是非零向量 函数f x a ax b b 2为偶函数 是a a b b 的 条件 解析 因为a a b b是非零向量 所以f x a a2 x2 2a a b bx b b2是偶函数的充要条件是 a a b b 0 即a a b b 答案 充要条件 9 设p x2 x 20 0 q 0 则p是q的 条件 1 x2 x 2 解析 p x2 x 20 0 x 4 或x 5 q 0 Error 或Error x 2 或 1 x 1 或x 2 则p q q p p是q的 1 x2 x 2 充分不必要的条件 答案 充分不必要条件 10 已知p x 1 q x a x a 1 0 若p是非q的充分不必要条件 则实数a 1 2 的取值范围是 解析 q x a 1 或x a 从而非q a x a 1 由于p是非q的充分不必要条件 故 Error 即 0 a 1 2 答案 0 1 2 11 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 条件 解析 an 为等比数列 an a1 qn 1 由a1 a2 a3 得a1 a1q0 q 1 或 a1 0 0 q 1 则数列 an 为递增数列 反之也成立 答案 充分必要 12 在整数集 Z 中 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 类 记为 k 即 k 5n k n Z k 0 1 2 3 4 给出如下四个结论 2011 1 3 3 Z 0 1 2 3 4 整数 a b 属于同一 类 的充要条件是 a b 0 其中 正确结论的个数是 解析 因为 2011 5 402 1 则 2011 1 结论 正确 因为 3 5 1 2 则 3 2 结论 不正确 因为所有的整数被 5 除的余数为 0 1 2 3 4 五类 则 Z 0 1 2 3 4 结论 正确 若整数 a b 属于同一 类 k 可设 a 5n1 k b 5n2 k n1 n2 Z 则 a b 5 n1 n2 0 3 反之 若 a b 0 可设 a 5n1 k1 b 5n2 k2 n1 n2 Z 则 a b 5 n1 n2 k1 k2 0 k1 k2 则整数 a b 属于同一 类 结论 正确 答案 3 13 记实数 x1 x2 xn 中的最大数为 max x1 x2 xn 最小数为 min x1 x2 xn 已知 ABC的三边长为a b c a b c 定义它的倾斜度为 l max min 则 l 1 是 ABC为等边三角形 的 条 a b b c c a a b b c c a 件 解析 若 ABC为等边三角形 则 max 1 min 1 l 1 a b b c c a a b b c c a 令a b 4 c 5 则 max min a b b c c a 5 4 a b b c c a 4 5 所以l 1 答案 必要而不充分 二 解答题 14 已知函数f x 在上是增函数 a R R 对命题 若则 b 0ab f b 写出逆命题 逆否命题 判断真假 并证明你的结论 f af bfa 解析 先证原命题 若则f a f b 为真 0ab f af b 0 abab baf afb f b faf af bfbfa 故其逆否命题 若 f a f b f a f b 则 a b 0 也为真 再证否命题 若 a b 0 则 f a f b f a f b 为真 0 abab baf afb f b 1 命题 r x a x 2a 4 若记以上 3 个命题中 x 的取值构成的集合分别为 A B C 由于 r 是 p 的必要不充分条件 r 是 q 的充分不必要条件 所以有 A C B 结合数轴应有Error 解得 5 a 6 即 a 的取值范 围是 5 a 6 16 已知函数 f x 是 上的增函数 a b R 若 a b 0 则 f a f b f a f b 问 这个命题的逆命题是否成立 并给出证明 解析 逆命题为 已知函数f x 是 上的增函数 a b R R 若f a f b f a f b 则a b 0 该命题是真命题 证明如下 法一 利用原命题的逆命题与否命题等价证明 若a b 0 则a b b a 因为f x 是 上的增函数 所以f a f b f b f a 因此f a f b f a f b 因为原命题的逆命题与它的否命题等价 所以该命题正确 法二 用反证法给出证明 假设a b 0 则a b b a 因为f x 在 上的增函数 所以f a f b f b f a 因此f a f b f a f b 这与条件f a f b f a f b 矛盾 该命题正确 17 已知a 0 设p 不等式x2 2ax a 0 的解集为 q 不等式x x 2a 1 的解 集为 R R 如果p和q有且仅有一个正确 求a的取值范围 解析 x2 2ax a 0 的解集为 等价于 x2 2ax a 0 的解集为 R R 所以当p成立 4a2 4a 0 解得 0 a 1 又a 0 0 a 1 不等式x x 2a 1 的解集为 R R 等价于 法一 函数y x x 2a 在 R R 上的最小值为 1 x x 2a Error 函数y x x 2a 在 R R 上的最小值为 2a 于是由 2a 1 得a 1 2 法二 x 2a 1 x恒成立 即y x 2a 的 图象恒在y 1 x图象的上方 如图所示 5 得 2a 1 所以a 1 2 如果p正确q不正确 则 0 a 如果p不正确q正确 则a 1 1 2 a的取值范围是 1 0 1 2 18 在等比数列 an 中 前n项和为Sn 若Sm Sm 2 Sm 1成等差数列 则 am am 2 am 1成等差数列 1 写出这个命题的逆命题 2 判断逆命题是否为真 并给出证明 解析 1 逆命题 在等比数列 an 中 前n项和为Sn 若am am 2 am 1成等差数列 则 Sm Sm 2 Sm 1成等差数列 2 设数列 an 的首项为a1 公比为q 由题意知 2am 2 am am 1 即 2 a1 qm 1 a1 qm 1 a1 qm 因为a1 0 q 0 所以 2q2 q 1 0 解得q 1 或q 1 2 当q 1 时 有Sm ma1 Sm 2 m 2 a1 Sm 1 m 1 a1 显然 2Sm 2 Sm Sm 1 此时逆命题为假