3-最短距离问题

0 第三讲第三讲 最短距离问题最短距离问题 一 考情分析一 考情分析 中考分值近五年杭州中考中 有一年考察此知识点 分值为 6 分 占全卷的 5 考查方式此知识点在各种题型中都可以进行考察 虽然杭州中考考察的不多 但在平时的月 考 期中考试中 考察次数很频繁 在浙江其它城市的中考中 考察的次数也很多 相信在以后的杭州中考中 此知识点必将重点考察 二 知识回顾 几何模型几何模型 1 1 条件 如图 是直线 同旁的两个定点 ABl 问题 在直线 上确定一点 使的值最小 lPPAPB 方法 作点关于直线 的对称点 连结交 于点 Al A A B lP 则的值最小PAPBA B 几何模型几何模型 2 2 条件 如图 是直线 异侧的两个定点 且 A B 到ABl 距离不相等l 问题 在直线 上确定一点 使的值最大lMMAMB 方法 作点关于直线 的对称点 连结交 于点Bl B AB l 则的值最小 0 MMAMBMAMBAB 三 重点突破三 重点突破 类型一 题中出现一个动点类型一 题中出现一个动点 A 典型例题 1 在正方形 ABCD 中 点 E 为 BC 上一定点 且 BE 10 CE 14 P 为 BD 上一动点 求 PE PC 最小值 1 A 典型例题 2 已知 直线 1 1 2 yx 与y轴交于A 与x轴交于D 抛物线 2 1 2 yxbxc 与直线交于A E两点 与x轴交于B C两点 且B点坐标为 1 0 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上找一点M 使 AMMC 的值最大 求出点M的坐 标 搭配练习 A 1 已知 抛物线的对称轴为 x 1 与轴交于两点 与轴交于点xAB y 其中 C 3 0A 02C 1 求这条抛物线的函数表达式 2 已知在对称轴上存在一点P 使得的周长最小 请求出点P的坐标PBC 类型二 题中出现两个动点类型二 题中出现两个动点 B 典型例题 3 如图 在 ABC 中 M N 分别 AB AC 上动点 求 BN MN MC 最小值20A 10ABAC 2 B 典型例题 4 如图 矩形 ABCD 中 AB 20 BC 10 若 AC AB 是各有一个动点 M N 求 BM MN 最小值 搭配练习 B 1 恩施州自然风光无限 特别是以 雄 奇 秀 幽 险 著称于世 著名的恩施大峡谷 A和世界级自然保护区星斗山 B位于笔直的沪渝高速公路X同侧 50kmABA B到直 线X的距离分别为10km和40km 要在沪渝高速公路旁修建一服务区P 向A B两景区运送 游客 小民设计了两种方案 图 8 是方案一的示意图 AP与直线X垂直 垂足为P P到A B的距离之和 1 SPAPB 图 9 是方案二的示意图 点A关于直线X的对称点是 A 连接 BA 交直线X于点P P到A B的距离之和 2 SPAPB 1 求 1 S 2 S 并比较它们的大小 2 请你说明 2 SPAPB 的值为最小 3 拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直 建立如图 10 所示的直角坐标系 B到直线Y的距离为30km 请你在X旁和Y旁各修建一服务区P Q 使P A B Q组 成的四边形的周长最小 并求出这个最小值 3 B 2 如图 在锐角中 的ABC 4 245ABBAC BAC 平分线交于点分别是和上的动点 则的BCDMN ADABBMMN 最小值是 类型三 题中出现三个动点时类型三 题中出现三个动点时 B 典型例题 5 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 BAD 60 E F P 分别为 AB BC AC 上动点 求 PE PF 最小值 搭配练习 B 如图 AOB 45 角内有一动点 P PO 10 在 AO BO 上有两动 点 Q R 求 PQR 周长的最小值 类型四 综合压轴类型四 综合压轴 C 典型例题 6 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 求证 AMB ENB 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 当 AM BM CM 的最小值为时 求正方形的边长 13 4 搭配练习 C 如图 在平面直角坐标系中 ABC 三个顶点的坐标分别为xOy 延长 AC 到点 D 使 CD 过点 D 作 6 0A 6 0B 0 4 3C 1 2 AC DE AB 交 BC 的延长线于点 E 1 求 D 点的坐标 2 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F 分别连结 DF EF 若过 B 点的直线 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形 确定此直线的解析式 ykxb 3 设 G 为 y 轴上一点 点 P 从直线与 y 轴的交点出发 先沿 y 轴到达 G 点 再沿 GAykxb 到达 A 点 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍 试确定 G 点的位置 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短 要求 简述确定 G 点位置的方法 但不要求证明 课后作业 基础训练题 A 类 1 如图 AC BD 为正方形 ABCD 对角线 相交于点 O 点 E 为 BC 边的中点 正方形边长为 2cm 在 BD 上找点 P 使 EP CP 之和最小 且最小值为 2 1 如图 17 等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2 E 是斜边 AB 的中点 P 是 AC 边上的一动点 则 PB PE 的最小值为 2 几何拓展 如图 18 ABC 中 AB 2 BAC 30 若在 AC AB 上各取一点 M N 使 BM MN 的 0 值最小 这个最小值为 5 3 如图 19 所示 正方形的面积为 12 是等边三角形 点在正方ABCDABE E 形内 在对角线上有一点 使的值最小 则这个最小值为ABCDACPPDPE A B C 3 D 2 32 66 4 如图 20 已知直角梯形ABCD中 AD BC AB BC AD 2 BC DC 5 点P在BC上 移动 则当PA PD取最小值时 APD中边AP上的高为 A B C D 3 17 17 2 17 17 4 17 17 8 提高训练 提高训练 B B 类 类 1 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 连结 OA 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120 得到线段 OB 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 注意 本题中的结果均保留根号 2 如图 抛物线的顶点P的坐标为 交x轴于A B两点 交y轴于 2 yaxbxc 4 3 1 3 点 03 C 1 求抛物线的表达式 2 把 ABC绕AB的中点E旋转 180 得到四边形ADBC 判断四 边形ADBC的形状 并说明理由 3 试问在线段AC上是否存在一点F 使得 FBD的周长最小 若 存在 请写出点F的坐标 若不存在 请说明理由 6 综合迁移 综合迁移 C C 类 类 1 如图 已知点A 4 8 和点B 2 n 在抛物线 2 yax 上 1 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标 并在x轴上找一点Q 使得AQ QB最短 求出点 Q的坐标 2 平移抛物线 2 yax 记平移后点A的对应点为A 点B的对应点为B 点C 2 0 和点 D 4 0 是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时 A C CB 最短 求此时抛物线的函数解析式 当抛物线向左或向右平移时 是否存在某个位置 使四边形A B CD的周长最短 若存在 求出此时抛物线的函数解析式 若不存在 请说明理由 7 2 定义一种变换 平移抛物线得到抛物线 使经过的顶点 设的对称轴分别交 1 F 2 F 2 F 1 FA 2 F 于点 点是点关于直线的对称点 12 FF DB CABD 1 如图 24 若 经过变换后 得到 点的坐标为 则 1 F 2 yx 2 F 2 yx