坐标系与参数方程大题训练

第 1 页 共 27 页 2017 年年 01 月月 03 日坐标系与参数方程组卷日坐标系与参数方程组卷 2 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 选修 4 4 坐标系与参数方程 曲线 C1的参数方程为 为参数 在以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin 1 求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程 2 若射线 l y kx x 0 与曲线 C1 C2的交点分别为 A B A B 异于原点 当斜 率 k 1 时 求 OA OB 的取值范围 2 已知曲线 C1的极坐标方程是 曲线 C2的参数方程是 是参数 1 写出曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的普通方程 2 求 t 的取值范围 使得 C1 C2没有公共点 3 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标方程为 2 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 与 y 轴交于点 P 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 求的值 4 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 1 5 点 M 的极坐标为 4 若直线 l 过点 P 且倾斜角为 圆 C 以 M 为圆心 半径为 4 求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程 试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 5 己知圆 C1的参数方程为 为参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系 圆 C2的极坐标方程为 2cos 将圆 C1的参数方程他为普通方程 将圆 C2的极坐标方程化为直角坐标方程 圆 C1 C2是否相交 若相交 请求出公共弦的长 若不相交 请说明理由 6 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 l 过定点与圆 C 相交于 A B 两点 第 2 页 共 27 页 求 1 若 AB 8 求直线 l 的方程 2 若点为弦 AB 的中点 求弦 AB 的方程 7 在极坐标系中 圆 C 的圆心坐标为 C 2 半径为 2 以极点为原点 极轴为 x 的正半轴 取相同的长度单位建立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 求圆 C 的极坐标方程 设 l 与圆 C 的交点为 A B l 与 x 轴的交点为 P 求 PA PB 8 直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 为参数 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 经过点 M 2 1 作直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 若 M 恰好为线段 AB 的三等分 点 求直线 l 的斜率 9 在平面直角坐标系 xOy 中 动点 A 的坐标为 2 3sin 3cos 2 其中 R 在极坐 标系 以原点 O 为极点 以 x 轴非负半轴为极轴 中 直线 C 的方程为 cos a 写出动点 A 的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状 若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点 求实数 a 的值 10 选做题 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为为参数 P 为 C1上的动点 Q 为线段 OP 的中点 求点 Q 的轨迹 C2的方程 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 两坐标系取相同的长度单位 的极坐标系中 N 为曲线 2sin 上的动点 M 为 C2与 x 轴的交点 求 MN 的最大值 11 在直角坐标系 xOy 中 圆 C1和 C2的参数方程分别是 为参数 和 为参数 以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆 C1和 C2的极坐标方程 2 射线 OM a 与圆 C1的交点为 O P 与圆 C2的交点为 O Q 求 OP OQ 的 最大值 12 已知曲线 C1的参数方程为 其中 为参数 以坐标原点为极点 x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 cos sin 1 0 1 分别写出曲线 C1与曲线 C2的普通方程 2 若曲线 C1与曲线 C2交于 A B 两点 求线段 AB 的长 第 3 页 共 27 页 13 已知曲线 C1的参数方程为 t 为参数 当 t 1 时 曲线 C1上的点为 A 当 t 1 时 曲线 C1上的点为 B 以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 1 求 A B 的极坐标 2 设 M 是曲线 C2上的动点 求 MA 2 MB 2的最大值 14 已知曲线 C1的参数方程为 t 为参数 当 t 0 时 曲线 C1上对应的点为 P 以原点 O 为极点 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 I 求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程 设曲线 C1与 C2的公共点为 A B 求 PA PB 的值 15 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 为参数 实数 a 0 曲线 C2 为参数 实数 b 0 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中 射线 l 0 0 与 C1交于 O A 两点 与 C2交于 O B 两 点 当 0 时 OA 1 当 时 OB 2 求 a b 的值 求 2 OA 2 OA OB 的最大值 16 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的方程是 y 6 圆 C 的参数方程是 为 参数 以原点 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程 射线 OM 0 与圆 C 的交点为 O P 两点 与直线 l 的交于点 M 射线 ON 与圆 C 交于 O Q 两点 与直线 l 交于点 N 求 的最 大值 17 已知曲线 C 的参数方程是 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 A B 的极坐标分别为 A 2 求直线 AB 的直角坐标方程 设 M 为曲线 C 上的动点 求点 M 到直线 AB 距离的最大值 第 4 页 共 27 页 18 在直角坐标系 xOy 中 设倾斜角为 的直线 t 为参数 与曲线 C 为参数 相交于不同的两点 A B 1 若 求线段 AB 的长度 2 若直线的斜率为 且有已知点 P 2 求证 PA PB OP 2 19 以坐标原点 O 为极点 O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 C 的极坐标方程 为 2 sin cos 1 写出曲线 C 的参数方程 2 在曲线 C 上任取一点 P 过点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为 A B 求矩形 OAPB 的面积的最大值 20 已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴 建 立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 判断直线 l 与曲线 C 的位置关系 并说明理由 若直线 l 和曲线 C 相交于 A B 两点 且 AB 3 求直线 l 的斜率 21 已知在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 以坐标原点 为 极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 设点 P 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线 l 的距离 d 的取值范围 22 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 它与曲线 C y 2 2 x2 1 交于 A B 两点 1 求 AB 的长 2 以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设点 P 的极坐标为 2 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 第 5 页 共 27 页 23 已知在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 为参数 以坐标 原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程 设 M 是直线 l 上任意一点 过 M 做圆 C 切线 切点为 A B 求四边形 AMBC 面 积的最小值 24 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2 4 sin cos 4 0 写出直线 l 的极坐标方程 求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 0 0 2 25 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 t 是参数 以原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 8cos 1 求曲线 C2的直角坐标方程 并指出其表示何种曲线 2 若曲线 C1与曲线 C2交于 A B 两点 求 AB 的最大值和最小值 26 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的方程是 y 8 圆 C 的参数方程是 为 参数 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求直线 l 和圆 C 的极坐标方程 2 射线 OM 其中 与圆 C 交于 O P 两点 与直线 l 交于点 M 射 线 ON 与圆 C 交于 O Q 两点 与直线 l 交于点 N 求的最大 值 27 已知曲线 E 的极坐标方程为 倾斜角为 的直线 l 过点 P 2 2 1 求 E 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程 2 设 l1 l2是过点 P 且关于直线 x 2 对称的两条直线 l1与 E 交于 A B 两点 l2与 E 交于 C D 两点 求证 PA PD PC PB 28 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以 O 为极 点 x 轴正半轴为极轴 并取相同的单位长度建立极坐标系 写出 C1的极坐标方程 第 6 页 共 27 页 设曲线 C2 y2 1 经伸缩变换后得到曲线 C3 射线 0 分 别与 C1和 C3交于 A B 两点 求 AB 29 已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos 0 以极点为原点 极轴为 x 轴正半轴建立平面 直角坐标系 直线 l 过点 M 3 0 倾斜角为 1 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程 2 设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点 求 MA MB 30 在平面直角坐标系中 椭圆 C 的参数方程为 为参数 已知以坐标原 点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 射线 l 的极坐标方程为 0 注 本题限定 0 0 2 1 把椭圆 C 的参数方程化为极坐标方程 2 设射线 l 与椭圆 C 相交于点 A 然后再把射线 l 逆时针 90 得到射线 OB 与椭圆 C 相交于点 B 试确定是否为定值 若为定值求出此定值 若不为定值请说 明理由 第 7 页 共 27 页 2017 年年 01 月月 03 日坐标系与参数方程组卷日坐标系与参数方程组卷 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2016 福建模拟 选修 4 4 坐标系与参数方程 曲线 C1的参数方程为 为参数 在以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin 1 求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程 2 若射线 l y kx x 0 与曲线 C1 C2的交点分别为 A B A B 异于原点 当斜 率 k 1 时 求 OA OB 的取值范围 解答 解 1 曲线 C1的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 即 x2 y2 2x 0 曲线 C1的极坐标方程为 2 2 cos 0 即 2cos 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin 即 2cos2 sin 曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y 2 设射线 l 的倾斜角为 则射线 l 的参数方程为 t 为参数 把射线 l 的参数方程代入曲线 C1的普通方程得 t2 2tcos 0 解得 t1 0 t2 2cos OA t2 2cos 把射线 l 的参数方程代入曲线 C2的普通方程得 cos2 t2 tsin 解得 t1 0 t2 OB t2 OA OB 2cos 2tan 2k k 1 2k 2 2 OA OB 的取值范围是 2 2 2 2016 南安市校级模拟 已知曲线 C1的极坐标方程是 曲线 C2的参数方程是 是参数 1 写出曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的普通方程 2 求 t 的取值范围 使得 C1 C2没有公共点 第 8 页 共 27 页 解答 解 1 曲线 C1的直角坐标方程是 x2 y2 2 表示以原点 0 0 为圆心 半 径等于 的圆 曲线 C2的普通方程是 表示一条垂直于 x 轴的线段 包括端点 5 分 2 结合图象 根据直线和圆的位置关系可得 当且仅当时 C1 C2没有公共点 解得 即 t 的取值范围为 0 10 分 3 2016 湖南模拟 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标 方程为 2 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 与 y 轴交于点 P 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 求的值 解答 解 1 由曲线 C 的极坐标方程 2 展开为 2 2 sin 2 cos 普通方程是 x2 y2 2y 2x 即 x 1 2 y 1 2 2 2 设直线与曲线 C 交于 A B 两点 与 y 轴交于点 P 第 9 页 共 27 页 把直线的参数方程 代入曲线 C 的普通方程 x 1 2 y 1 2 2 中 得 t2 t 1 0 4 2016 三亚校级模拟 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 1 5 点 M 的极坐标为 4 若直线 l 过点 P 且倾斜角为 圆 C 以 M 为圆心 半径为 4 求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程 试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 解答 解 1 直线 l 过点 P 1 5 倾斜角为 设 l 上动点坐标为 Q x y 则 tan 因此 设 得直线 l 的参数方程为 t 为参数 圆 C 以 M 4 为圆心 4 为半径 圆心坐标为 0 4 圆的直角坐标方程为 x2 y 4 2 16 圆 C 的极坐标方程为 8sin 2 将直线 l 化成普通方程 得 点 C 到直线 l 的距离 d 4 r 直线 l 和圆 C 相交 第 10 页 共 27 页 5 2016 呼伦贝尔一模 己知圆 C1的参数方程为 为参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 圆 C2的极坐标方程为 2cos 将圆 C1的参数方程他为普通方程 将圆 C2的极坐标方程化为直角坐标方程 圆 C1 C2是否相交 若相交 请求出公共弦的长 若不相交 请说明理由 解答 解 I 由圆 C1的参数方程 消去参数 可得 x2 y2 1 由圆 C2的极坐标方程 2cos 化为 x2 y2 2x 2y 即 x 1 2 y 1 2 2 II 由 x2 y2 1 x2 y2 2x 2y 可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x 2y 1 圆心 0 0 到此直线的距离 d 弦长 AB 2 6 2016 衡水模拟 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 l 过定点与圆 C 相交于 A B 两点 求 1 若 AB 8 求直线 l 的方程 2 若点为弦 AB 的中点 求弦 AB 的方程 解答 解 1 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的斜率为 k 则 由圆 C 消去参数 化为 x2 y2 25 圆心 C 0 0 半径 r 5 圆心 C 0 0 到直线 l 的距离 d AB 8 8 2 化为 直线 l 的方程为 即 3x 4y 15 0 当直线 l 的斜率不存在时 l 的方程为 x 3 满足 AB 8 适合题意 第 11 页 共 27 页 2 kOP AB OP kAB 2 直线 AB 的方程为 化为 4x 2y 15 0 联立 解得 弦 AB 的方程为 4x 2y 15 0 7 2016 衡水校级模拟 在极坐标系中 圆 C 的圆心坐标为 C 2 半径为 2 以 极点为原点 极轴为 x 的正半轴 取相同的长度单位建立平面直角坐标系 直线 l 的参数 方程为 t 为参数 求圆 C 的极坐标方程 设 l 与圆 C 的交点为 A B l 与 x 轴的交点为 P 求 PA PB 解答 解 I 在直角坐标系中 圆心的坐标为 圆 C 的方程为即 把 x cos y sin 代入可得 即 II 法一 把 t 为参数 代入得 t2 4 点 A B 对应的参数分别为 t1 2 t2 2 令得点 P 对应的参数为 PA PB t1 t0 t2 t0 法二 把把 t 为参数 化为普通方程得 令 y 0 得点 P 坐标为 P 4 0 又 直线 l 恰好经过圆 C 的圆心 C 故 第 12 页 共 27 页 8 2016 郑州校级模拟 直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 为参数 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 经过点 M 2 1 作直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 若 M 恰好为线段 AB 的三等分 点 求直线 l 的斜率 解答 解 1 变形曲线 C 的参数方程可得 cos2 sin2 1 曲线 C 的直角坐标方程为 1 2 设直线 l 的倾斜角为 可得直线 l 的参数方程为 t 为参数 代入曲线 C 的直角坐标方程并整理得 cos2 4sin2 t2 4cos 8sin t 8 0 由韦达定理可得 t1 t2 t1t2 由题意可知 t1 2t2 代入上式得 12sin2 16sin cos 3cos2 0 即 12k2 16k 3 0 解方程可得直线的斜率为 k 9 2016 衡阳县模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 动点 A 的坐标为 2 3sin 3cos 2 其中 R 在极坐标系 以原点 O 为极点 以 x 轴非负半轴为极轴 中 直线 C 的方程为 cos a 写出动点 A 的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状 若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点 求实数 a 的值 解答 解 I 设动点 A x y 则 A 的轨迹的参数方程为 为参 数 化成普通方程为 x 2 2 y 2 2 9 A 的轨迹为以 2 2 为圆心 以 3 为半径的 圆 II cos a cos a 曲线 C 的直角坐标方程为 第 13 页 共 27 页 直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点 3 解得 a 3 或 a 3 10 2016 江西模拟 选做题 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 P 为 C1上的动点 Q 为线段 OP 的中点 求点 Q 的轨迹 C2的方程 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 两坐标系取相同的长度单位 的极坐标系中 N 为曲线 2sin 上的动点 M 为 C2与 x 轴的交点 求 MN 的最大值 解答 解 设 Q x y 则 Q 为线段 OP 的中点 点 P 2x 2y 又 P 为 C1上的动点 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 t 为参数 点 Q 的轨迹 C2的方程为 t 为参数 由 可得点 M 1 0 曲线 2sin 2 2 sin x2 y2 2y x2 y 1 2 1 即曲线 2sin 的直角坐标方程为 x2 y 1 2 1 MN 的最大值为 11 2016 柳州模拟 在直角坐标系 xOy 中 圆 C1和 C2的参数方程分别是 为参数 和 为参数 以 O 为极点 x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 1 求圆 C1和 C2的极坐标方程 2 射线 OM a 与圆 C1的交点为 O P 与圆 C2的交点为 O Q 求 OP OQ 的 最大值 解答 解 1 圆 C1 为参数 第 14 页 共 27 页 转化成直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 即 x2 y2 4x 0 转化成极坐标方程为 2 4 cos 即 4cos 圆 C2 为参数 转化成直角坐标方程为 x2 y 1 2 1 即 x2 y2 2y 0 转化成极坐标方程为 2 2 sin 即 2sin 2 射线 OM 与圆 C1的交点为 O P 与圆 C2的交点为 O Q 则 P 2 2cos 2sin Q cos 1 sin 则 OP OQ 则 OP OQ 设 sin cos t 则 则关系式转化为 4 由于 所以 OP OQ max 12 2016 大庆校级模拟 已知曲线 C1的参数方程为 其中 为参数 以 坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 cos sin 1 0 1 分别写出曲线 C1与曲线 C2的普通方程 2 若曲线 C1与曲线 C2交于 A B 两点 求线段 AB 的长 解答 解 1 曲线 C1的参数方程为 其中 为参数 消去参数 可 得 曲线 第 15 页 共 27 页 曲线 C2的极坐标方程为 cos sin 1 0 可得直角坐标方程 曲线 C2 x y 1 0 2 联立 得 7x2 8x 8 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 于是 故线段 AB 的长为 13 2016 郑州校级模拟 已知曲线 C1的参数方程为 t 为参数 当 t 1 时 曲 线 C1上的点为 A 当 t 1 时 曲线 C1上的点为 B 以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 1 求 A B 的极坐标 2 设 M 是曲线 C2上的动点 求 MA 2 MB 2的最大值 解答 解 1 当 t 1 时 即 A 的直角坐标为 A 1 当 t 1 时 即 B 的直角坐标为 B 1 A 的极坐标为 A B 的极坐标为 B 2 由 得 2 4 5sin2 36 曲线 C2的直角坐标方程为 1 设曲线 C2上的动点 M 的坐标为 M 3cos 2sin 则 MA 2 MB 2 10 cos2 16 26 MA 2 MB 2的最大值为 26 第 16 页 共 27 页 14 2016 曲靖校级模拟 已知曲线 C1的参数方程为 t 为参数 当 t 0 时 曲线 C1上对应的点为 P 以原点 O 为极点 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 I 求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程 设曲线 C1与 C2的公共点为 A B 求 PA PB 的值 解答 解 I 因为曲线 C1的参数方程为 t 为参数 消去参数 t 得曲线 C1的普通方程为 3x 4y 4 0 又曲线 C2的极坐标方程为 2sin2 4 cos 化为普通方程是 y2 4x 所以曲线 C2的直角坐标方程为 y2 4x 4 分 II 当 t 0 时 x 0 y 1 所以点 P 0 1 由 I 知曲线 C1是经过点 P 的直线 设它的倾斜角为 则 所以 所以曲线 C1的参数方程为 T 为参数 将上式代入 y2 4x 得 9 T2 110 T 25 0 所以 10 分 15 2016 大连模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 为参数 实数 a 0 曲线 C2 为参数 实数 b 0 在以 O 为极点 x 轴的正 半轴为极轴的极坐标系中 射线 l 0 0 与 C1交于 O A 两点 与 C2交于 O B 两点 当 0 时 OA 1 当 时 OB 2 求 a b 的值 第 17 页 共 27 页 求 2 OA 2 OA OB 的最大值 解答 解 由曲线 C1 为参数 实数 a 0 化为普通方程为 x a 2 y2 a2 展开为 x2 y2 2ax 0 其极坐标方程为 2 2a cos 即 2acos 由题意可得当 0 时 OA 1 a 曲线 C2 为参数 实数 b 0 化为普通方程为 x2 y b 2 b2 展开可得极坐标方程为 2bsin 由题意可得当时 OB 2 b 1 由 I 可得 C1 C2的方程分别为 cos 2sin 2 OA 2 OA OB 2cos2 2sin cos sin2 cos2 1 1 2 1 的最大值为 1 当 2 时 时取到最大值 16 2016 河南模拟 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的方程是 y 6 圆 C 的参数方程是 为参数 以原点 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 分别求直线 l 与圆 C 的极坐标方程 射线 OM 0 与圆 C 的交点为 O P 两点 与直线 l 的交于点 M 射线 ON 与圆 C 交于 O Q 两点 与直线 l 交于点 N 求 的最 大值 解答 解 I 直线 l 的方程是 y 6 可得极坐标方程 sin 6 圆 C 的参数方程是 为参数 可得普通方程 x2 y 1 2 1 展开为 x2 y2 2y 0 化为极坐标方程 2 2 sin 0 即 2sin II 由题意可得 点 P M 的极坐标方程为 2sin OP 2sin OM 可得 同理可得 当时 取等号 第 18 页 共 27 页 17 2016 商丘三模 已知曲线 C 的参数方程是 为参数 以坐标原点为 极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 A B 的极坐标分别为 A 2 求直线 AB 的直角坐标方程 设 M 为曲线 C 上的动点 求点 M 到直线 AB 距离的最大值 解答 解 将 A B 化为直角坐标为 A 2cos 2sin 即 A B 的直角坐标分别为 A 2 0 即有 可得直线 AB 的方程为 即为 设 M 2cos sin 它到直线 AB 距离 其中 当 sin 1 时 d 取得最大值 可得 18 2016 春 丰城市校级期中 在直角坐标系 xOy 中 设倾斜角为 的直线 t 为参数 与曲线 C 为参数 相交于不同的两点 A B 1 若 求线段 AB 的长度 2 若直线的斜率为 且有已知点 P 2 求证 PA PB OP 2 解答 解 1 由曲线 C 为参数 可得 C 的普通方程是 1 当时 直线方程为 t 为参数 代入曲线 C 的普通方程 得 13t2 56t 48 0 第 19 页 共 27 页 则线段 AB 的长度为 2 证明 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 化为 cos2 4sin2 t2 8sin 4cos t 12 0 而直线的斜率为 则代入上式求得 PA PB 7 又 PA PB OP 2 19 2016 山西三模 以坐标原点 O 为极点 O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲 线 C 的极坐标方程为 2 sin cos 1 写出曲线 C 的参数方程 2 在曲线 C 上任取一点 P 过点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为 A B 求矩形 OAPB 的面积的最大值 解答 解 1 由得 2 2 sin cos 1 所以 x2 y2 2x 2y 2 即 x 1 2 y 1 2 4 故曲线 C 的参数方程 为参数 2 由 1 可设点 P 的坐标为 1 2cos 1 2sin 0 2 则矩形 OAPB 的面积为 S 1 2cos 1 2sin 1 2sin 2cos 4sin cos 令 t2 1 2sin cos 故当时 20 2016 广东模拟 已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 判断直线 l 与曲线 C 的位置关系 并说明理由 第 20 页 共 27 页 若直线 l 和曲线 C 相交于 A B 两点 且 AB 3 求直线 l 的斜率 解答 解 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin 2 2 cos 4 sin 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 4y 即 x 1 2 y 2 2 5 直线 l 过点 1 1 且该点到圆心的距离为 直线 l 与曲线 C 相交 当直线 l 的斜率不存在时 直线 l 过圆心 AB 2 3 因此直线 l 必有斜率 设其方程为 y 1 k x 1 即 kx y k 1 0 圆心到直线 l 的距离 解得 k 1 直线 l 的斜率为 1 21 2016 衡阳二模 已知在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参 数 以坐标原点为 极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 设点 P 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线 l 的距离 d 的取值范围 解答 解 I 根据直线 l 的参数方程为 t 为参数 消去 t 得 故直线 l 的普通方程为 依据曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 结合互化公式 得到 曲线的直角坐标方程为 x 2 2 y2 1 4 分 II 设点 P 2 cos sin R 则 第 21 页 共 27 页 所以 d 的取值范围是 10 分 22 2016 岳阳二模 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 它与曲线 C y 2 2 x2 1 交于 A B 两点 1 求 AB 的长 2 以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设点 P 的极坐标为 2 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 解答 解 1 设点 A B 的参数分别为 t1 t2 把直线 l 的参数方程 t 为参数 代入曲线 C y 2 2 x2 1 化为 t2 4t 10 0 t1 t2 4 t1t2 10 AB t1 t2 2 由点 P 的极坐标 2 可得 xP 2 yP 2 P 2 2 线段 AB 中点 M 所对的参数 t 2 xM 2 3 yM 2 M PM 2 23 2016 汉中二模 已知在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程 设 M 是直线 l 上任意一点 过 M 做圆 C 切线 切点为 A B 求四边形 AMBC 面 积的最小值 第 22 页 共 27 页 解答 解 圆 C 的参数方程为 为参数 所以圆 C 的普通方程为 x 3 2 y 4 2 4 2 分 由得 cos sin 2 cos x sin y 直线 l 的直角坐标方程 x y 2 0 4 分 圆心 C 3 4 到直线 l x y 2 0 的距离为 d 6 分 由于 M 是直线 l 上任意一点 则 MC d 四边形 AMBC 面积 S 2 AC MA AC 2 2 四边形 AMBC 面积的最小值为 10 分 24 2016 葫芦岛二模 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 以坐标原点 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2 4 sin cos 4 0 写出直线 l 的极坐标方程 求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 0 0 2 解答 解 直线 l 的参数方程为 t 为参数 消去参数 t 得到直线 l 的普通方程 x y 2 0 再将代入 x y 2 0 得 cos sin 2 5 分 联立直线 l 与曲线 C 的极坐标方程 0 0 2 解得或 第 23 页 共 27 页 l 与 C 交点的极坐标分别为 2 0 2 10 分 25 2016 张掖模拟 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 t 是参数 以原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 8cos 1 求曲线 C2的直角坐标方程 并指出其表示何种曲线 2 若曲线 C1与曲线 C2交于 A B 两点 求 AB 的最大值和最小值 解答 解 1 对于曲线 C2有 即 因此曲线 C2的直角坐标方程为 其表示一个圆 5 分 2 联立曲线 C1与曲线 C2的方程可得 t1 t2 2sin t1t2 13 因此 sin 0 AB 的最小值为 sin 1 最大值为 8 10 分 26 2016 赤峰模拟 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的方程是 y 8 圆 C 的参数方程是 为参数 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求直线 l 和圆 C 的极坐标方程 2 射线 OM 其中 与圆 C 交于 O P 两点 与直线 l 交于点 M 射 线 ON 与圆 C 交于 O Q 两点 与直线 l 交于点 N 求的最大 值 解答 解 直线 l 的方程是 y 8 直线 l 的极坐标方程是 sin 8 圆 C 的参数方程是 为参数 圆 C 的普通方程分别是 x2