山西省太原五中2012-2013学年高二数学3月月考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年山西省太原五中高二 下 学年山西省太原五中高二 下 3 3 月月考数学试卷 理科 月月考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 答案填在答卷纸上 1 3 分 下面是关于复数的四个命题 其中真命题为 A z 的虚部为 B z 为纯虚数 C z 2D 考点 复数代数形式的混合运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 由条件可得 A B C 都不正确 求得 z2 i 从而得出结论 解答 解 复数 可得 z 的虚部为 z 1 z 不是纯虚数 故 A B C 都不正确 求得 z2 i2 i i 故选 D 点评 本题主要考查复数的基本概念 复数的乘方 属于基础题 2 3 分 2010 安庆模拟 i 是虚数单位 已知 则复数 Z 对应点 落在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数代数形式的混合运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 首先进行复数的除法运算和乘方运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 整理成 最简形式 写出复数对应的点的坐标 根据坐标看出位置 解答 解 2 4 i 对应的点的坐标是 4 1 复数的对应点落在第二象限 故选 B 点评 本题考查复数的运算和复数的几何意义 这种题目是近几年高考卷中必出的一种题 目 题目的知识点比较简单 是一个送分题目 3 3 分 若函数在 x0处的导数等于 0 那么 x0等于 A mB mC mD m2 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的概念及应用 分析 利用求导数的公式和导数的运算法则 得导函数 又由 f x0 0 所得到的解即 为本题答案 解答 解 由于函数 则 又由函数在 x0处的导数等于 0 即 f x0 0 亦即 解得 x0 m 故答案为 C 点评 本题着重考查了求导数的公式和导数的运算法则等知识 属于基础题 4 3 分 下列求导数运算正确的是 A B x2cosx 2xsinx C D 2sin2x 2cos2x 考点 导数的运算 专题 导数的综合应用 分析 利用导数的运算法则可得 A 即可判断出 B x2cosx 2xcosx x2sinx 即可判断出 3 C 即可判断出 D 2sin2x 4cos2x 即可判断出 解答 解 A A 不正确 B x2cosx 2xcosx x2sinx B 不正确 C 因此 C 正确 D 2sin2x 4cos2x 因此 D 不正确 故选 C 点评 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 5 3 分 用反证法证明命题 三角形的内角至多有一个钝角 时 假设正确的是 A 假设至少有一个钝角 B 假设没有一个钝角 C 假设至少有两个钝角 D 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 考点 反证法与放缩法 专题 应用题 分析 根据命题 三角形的内角至多有一个钝角 的否定为 三角形的内角至少有两个钝 角 从而得出结论 解答 解 由于命题 三角形的内角至多有一个钝角 的否定为 三角形的内角至少有两 个钝角 故用反证法证明命题 三角形的内角至多有一个钝角 时 应假设至少有两个钝角 故选 C 点评 本题考查用反证法证明数学命题 把要证的结论进行否定 得到要证的结论的反面 是解题的突破口 6 3 分 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 n 个 金鱼 图需要火柴 棒的根数为 4 A 6n 2B 8n 2C 6n 2D 8n 2 考点 归纳推理 专题 规律型 分析 由图形间的关系可以看出 每多出一个小金鱼 则要多出 6 根火柴棒 则组成不同 个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是 8 公差是 6 的等差数列 写出通项 求 出第 n 项的火柴根数 解答 解 第一个图中有 8 根火柴棒组成 第二个图中有 8 6 个火柴棒组成 第三个图中有 8 2 6 个火柴组成 以此类推 组成 n 个系列正方形形的火柴棒的根数是 8 6 n 1 第 n 个图中的火柴棒有 6n 2 故选 C 点评 本题考查归纳推理 考查等差数列的通项 解题的关键是看清随着小金鱼的增加 火柴的根数的变化趋势 看出规律 7 3 分 2005 朝阳区一模 定义运算 则符合条件的复 数 z 为 A 3 iB 1 3iC 3 iD 1 3i 考点 二阶行列式的定义 复数代数形式的混合运算 专题 计算题 分析 根据定义 将已知转化 可以得出 z 1 i 4 2i 再利用复数的除法运算法则求出 复数 z 即可 解答 解 根据定义 可知 1 zi 1 z 4 2i 即 z 1 i 4 2i z 3 i 故选 A 点评 本题考查了复数的代数运算 利用所给的定义将已知转化为 z 1 i 4 2i 是关 键 5 8 3 分 2013 浙江模拟 设函数 f x x3 4x a 0 a 2 若 f x 的三个零点为 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 则 A x1 1 B x2 0 C x2 0 D x3 2 考点 利用导数研究函数的极值 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 再根据 f x 的三个零点为 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 求得各个零点所在的区间 从而得出结论 解答 解 函数 f x x3 4x a 0 a 2 f x 3x2 4 令 f x 0 可得 x 当 x 时 f x 0 在 上 f x 0 在 上 f x 0 故函数在 上是增函数 在 上是减函数 在 上是增函数 故 f 是极大值 f 是极小值 再由 f x 的三个零点为 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 可得 x1 x2 x3 根据 f 0 a 0 且 f a 0 可得 x2 0 故选 C 点评 本题主要考查函数的零点的定义 函数的零点与方程的根的关系 利用导数研究函 数的单调性 利用导数求函数的极值 属于中档题 9 3 分 2013 烟台二模 设 p f x lnx 2x2 mx 1 在 0 内单调递增 q m 5 则 p 是 q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 阅读型 6 分析 先利用导数求命题 f x lnx 2x2 mx 1 在 0 内单调递增的充要条件 再 利用充要条件的定义判断结果即可 解答 解 若 f x lnx 2x2 mx 1 在 0 内单调递增 则 f x 4x m 0 在 0 上恒成立 即 m 4x 在 0 上恒成立 4x 2 4 m 4 m m 4 m m 5 p 是 q 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查了充要条件的定义运用和导数在函数单调性中的应用 解题时要注意已知 函数单调性 求参数范围题型的解决办法 10 3 分 对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 定义 f x 是 y f x 的导 函数 y f x 的导函数 若方程 f x 0 有实数解 x0 则称点 x0 f x0 为函数 y f x 的 拐点 有的同学发现 任何三次函数都有 拐点 任何三次函数都有对称 中心 且对称中心就是 拐点 请你根据这一发现判断下列命题 1 任意三次函数都关于点对称 2 存在三次函数 f x 0 有实数解 x0 x0 f x0 点为函数 y f x 的对称中 心 3 存在三次函数有两个及两个以上的对称中心 4 若函数 则 其中正确命题的序号为 A 1 2 4 B 1 2 3 4 C 1 2 3 D 2 3 考点 命题的真假判断与应用 专题 新定义 分析 1 利用新定义 可知 1 正确 2 由 1 知 x0 代入 f x 0 可得 b2 3ac 由此可得结论 3 由 1 知 三次函数有且只有一个对称中心 4 求出对称中心 即可得到结论 解答 解 1 由题意 f x 3ax2 2bx c a 0 f x 6ax 2b a 0 令 f x 0 可得 x 任意三次函数都关于点 7 对称 故 1 正确 2 由 1 知 x0 代入 f x 0 可得 b2 3ac 此时 存在三次函数 f x 0 有实数解 x0 x0 f x0 点为函数 y f x 的对称中心 故 2 正确 3 由 1 知 三次函数有且只有一个对称中心 即不存在三次函数有两个及两 个以上的对称中心 故 3 不正确 4 g x x2 x g x 2x 1 令 g x 0 可得 x g 1 的对称中心为 g x g 1 x 1 即 4 正 确 故选 A 点评 本小题考查新定义 考查函数与导数等知识 考查化归与转化的数学思想方法 考 查计算能力 属于中档题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 20 分 将答案填在答卷纸上 11 4 分 若 1 i 2 i a bi 其中 a b R i 为虚数单位 则 a b 4 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 由条件可得 3 i a bi 根据两个复数相等的充要条件气的 a 和 b 的值 即可求得 a b 的值 解答 解 1 i 2 i a bi 即 3 i a bi a 3 b 1 a b 4 故答案为 4 点评 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法 虚数单位 i 的幂运算性质 两个复数相 等的充要条件 属于基础题 12 4 分 2013 深圳二模 若直线 y kx 是 y lnx 的切线 则 k 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 8 分析 欲 k 的值 只须求出切线的斜率的值即可 故先利用导数求出在切处的导函数值 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率 从而问题解决 解答 解 y lnx y 当 x 1 时 设切点为 m lnm 得切线的斜率为 所以曲线在点 m lnm 处的切线方程为 y lnm x m 它过原点 lnm 1 m e 故答案为 点评 本小题主要考查直线的方程 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识 考查运算求解能力 属于基础题 13 4 分 在 Rt OAB 中 O 90 则 cos2A cos2B 1 根据类比推理的方法 在三棱 锥 O ABC 中 OA OB OB OC OC OA 分别是三个侧面与底面所成的二面 角 则 cos2 cos2 cos2 1 考点 类比推理 二面角的平面角及求法 专题 空间角 分析 确定三个侧面两两互相垂直 利用类比的方法 即可得到结论 解答 解 在 Rt OAB 中 cos2A cos2B 1 OA OB OB OC OC OA 三个侧面两两互相垂直 于是类比到三棱锥 O ABC 中 猜想三棱锥 O ABC 中 若三个侧面分别与底面所成 的角为 则 cos2 cos2 cos2 1 故答案为 cos2 cos2 cos2 1 点评 本题考查类比推理 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 14 4 分 已知 R 上可导函数 f x 的图象如图所示 则不等式 x2 2x 3 f x 0 的解集 1 3 9 考点 导数的运算 函数的图象 专题 导数的综合应用 分析 由 f x 的图象可知 当 x 1 或 x 1 时 函数 f x 单调递增 f x 0 当 1 x 1 时 函数 f x 单调递减 f x 0 不等式 x2 2x 3 f x 0 可化为或解 出即可 解答 解 由 f x 的图象可知 当 x 1 或 x 1 时 函数 f x 单调递增 f x 0 当 1 x 1 时 函数 f x 单调递减 f x 0 不等式 x2 2x 3 f x 0 可化为或 化为或 解得 或 1 x 3 不等式 x2 2x 3 f x 0 的解集是 1 3 故答案为 1 3 点评 熟练掌握函数的单调性与当时的关系 不等式的解法 数形结合的思想方法是解题 的关键 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 10 分 已知函数 y x3 ax2 5x b 在 x 1 处取得极值 2 I 求实数 a 和 b 求 f x 的单调区间 考点 利用导数研究函数的单调性 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的概念及应用 分析 I 先求函数 f x 的导函数 再根据函数 f x 在 x 1 处取得极值 2 得到 解方程即可 在函数的定义域内解不等式 f x 0 和 f x 0 求出单调区间即 可 解答 解 1 由于 f x 3x2 2ax 5 10 而函数 y x3 ax2 5x b 在 x 1 处取得极值 2 则 f 1 0 f 1 2 即解得 故实数 a 和 b 都为 1 2 由于 f x 3x2 2ax 5 3x 5 x 1 若令 f x 0 则 若令 f x 0 则 故 f x 的单调递增区间为 1 f x 的单调递减区 间为 点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 以及函数的零点和函数在某点取得极 值的条件 属于基础题 16 10 分 数列 an 的通项 an 1 n 1 n2 观察以下规律 a1 1 a1 a2 1 4 3 1 2 a1 a2 a3 1 4 9 6 1 2 3 试写出求数列 an 的前 n 项和 Sn的公式 并用数学归纳法证明 考点 数学归纳法 归纳推理 专题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 先根据所给等式 猜想结论 再根据数学归纳法的证题步骤 即可得到结论 解答 解 Sn a1 a2 a3 an 1 n 1 证明 1 当 n 1 时 Sn 1 命题成立 2 假设当 n k 时命题成立 即 Sk 1 k 1 则当 n k 1 时 Sk 1 Sk ak 1 1 k 1 1 k 2 k 1 2 1 k 2 即命题也成立 综上 1 2 命题成立 点评 本题考查数学归纳法 考查学生归纳推理能力 属于中档题 17 10 分 已知函数 11 求函数 f x 的最小值 证明 对任意 m n 0 都有 f m g n 成立 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 导数的综合应用 分析 I 利用导数的运算法则可得 f x lnx 1 x 0 进而得到当 时与当时 函数 f x 的单调性及极小值 也即 最小值 II 由 I 可知 同理利用导数即可得到 g x 的极大值即最 大值 只要证明对任意 n 0 都有即可 解答 I 解 f x xlnx f x lnx 1 x 0 当时 f x 0 函数 f x 单调递减 当时 f x 0 函数 f x 单调递增 因此 当 x 时 函数 f x 取得极小值 也即最小值 II 证明 由 I 可知 由 g x 得 当 x 0 1 时 g x 0 函数 g x 单调递增 当 x 1 时 g x 0 函数 g x 单调递减 函数 g x 在 x 1 时取得极大值即最大值 对任意 m n 0 都有 f m g n 成立 点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性 极值与最值等是解题的关键 18 12 分 设曲线 其中 a 0 在点 x1 f x1 及 x2 f x2 处的切线都过点 0 2 证明 当 x1 x2时 f x1 f x2 考 点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专 题 导数的综合应用 12 分 析 根据 f x x2 ax 由于点 t f t 处的切线方程 为 y f t f t x t 而点 0 2 在切线上 所以 2 f t f t t 由此利用反证法能够证明 f x1 f x2 解 答 解 f x f x x2 ax 由于点 t f t 处的切线方程为 y f t f t x t 而点 0 2 在切线上 所以 2 f t f t t 化简得 由于曲线 y f x 在点 x1 f x1 及 x2 f x2 处的切线都过点 0 2 即 x1 x2满足方程 下面用反证法证明结论 假设 f x1 f x2 则下列等式成立 由 3 得 x1 x2 a 由 1 2 得 又 此时 与 x1 x2矛盾 所以 f x1 f x2 点 评 本题主要考查函数 导数等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查化归 与转化思想 19 12 分 2011 湖南 设函数 f x x alnx a R 讨论函数 f x 的单调性 若 f x 有两个极值点 x1 x2 记过点 A x1 f x1 B x2 f x2 的直线斜 率为 k 问