第八章　圆锥曲线方程阶段质量检测

1 第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 a 0 a R 则抛物线 y ax2的焦点坐标为 A 0 B 0 a 2 1 2a C 0 D 0 a 4 1 4a 解析 先把抛物线的方程化为标准方程的形式 由 y ax2得 x2 y 1 a 其焦点坐标为 0 1 4a 答案 D 2 如果双曲线 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 那么点 P 到右准线的距离 x2 13 y2 1213 是 A B 13 13 5 C 5 D 5 13 解析 由双曲线方程得 a2 13 b2 12 c2 25 e c a 5 13 由双曲线的第二定义知 e PF2 d 5 13 而 PF2 d 13 13 5 答案 A 3 抛物线 y2 2px p 0 的准线经过等轴双曲线 x2 y2 1 的左焦点 则 p A B 2 22 2 C 2 D 4 22 解析 双曲线 x2 y2 1 的左焦点为 0 故抛物线的准线为 2 x 2 p 22 p 2 2 答案 C 4 两个正数 a b 的等差中项是 等比中项是 则双曲线 1 的离心率 e 等 5 26 x2 a2 y2 b2 于 A B 或 5 2 5 3 5 2 C D 或 13 3 13 3 13 2 解析 由题意可得Error 解之得Error 或Error 当 a 3 b 2 时 e c a a2 b2 a 13 3 当 a 2 b 3 时 e c a a2 b2 a 13 2 答案 D 5 设椭圆 C1的离心率为 焦点在 x 轴上且长轴长为 12 若曲线 C2上的点到椭圆 C1的 5 6 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲线 C2的标准方程为 A 1 B 1 x2 16 y2 9 x2 10 y2 5 C 1 D 1 x2 9 y2 16 x2 5 y2 10 解析 由已知得 在椭圆 C1中 a 6 c 5 由此可得在双曲线 C2中的 a 4 c 5 故双曲线 C2中的 b 3 故双曲线 C2的方程为 1 x2 16 y2 9 答案 A 6 如图 有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆 与 的长 半 轴的长分别为 a1和 a2 半焦距分别为 c1和 c2 且椭圆 的右顶点为椭圆 的中心 则下列结论不正确的是 3 A a1 c1 a2 c2 B a1 c1 a2 c2 C a1c2a2c1 解析 由题意知 a1 2a2 c1 2c2 a1c20 n 0 的焦点在抛物线 y2 8x 的准线上 离心率为 则椭圆 x2 m2 y2 n2 1 2 的方程为 A 1 B 1 x2 12 y2 16 x2 16 y2 12 C 1 D 1 x2 48 y2 64 x2 64 y2 48 解析 抛物线的准线方程为 x 2 故椭圆的左焦点坐标为 2 0 显然椭圆的焦 点在 x 轴上 且 c 2 又因为离心率为 所以 a 4 故 b2 a2 c2 12 1 2 椭圆的方程为 1 x2 16 y2 12 答案 B 8 若直线 mx ny 4 与圆 O x2 y2 4 没有交点 则过点 P m n 的直线与椭圆 x2 9 y2 4 1 的交点个数为 A 至多一个 B 2 C 1 D 0 解析 直线与圆没有公共点 2 即 m2 n20 解得 k 1 又 x1 x2 4 解之得 k 2 或 k 1 舍 4 k 2 k2 答案 C 10 2010 宁德摸拟 已知抛物线 x2 2py p 0 的焦点 F 恰好是双曲线 1 的一个 y2 a2 x2 b2 焦 点 且两条曲线交点的连线过点 F 则该双曲线的离心率为 A B 1 22 C 1 D 无法确定 2 解析 由题意知 c 根据圆锥曲线图象的对称性 两条曲线交点的连线垂直于 y 轴 p 2 对双曲线来说 这两个交点连线的长度是 对抛物线来说 这两个交点连线的长 2b2 a 度 是 2p 即 4c 得 4c 得 b2 2ac 得 c2 a2 2ac 得 e2 2e 1 0 解得 2b2 a e 1 2 因为 e 1 所以 e 1 2 答案 C 11 2010 温州摸拟 在平面直角坐标系 xOy 中 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦 x2 a2 y2 b2 点 F 作圆 x2 y2 a2的一条切线 切点为 T 交双曲线的右支于点 P 若 M 为 FP 的中点 则 OM MT 等于 A b a B a b C D a b a b 2 解析 如图 F 是双曲线的右焦点 由双曲线的定义得 PF PF 2a 又 M 为 PF 的中点 MF OM a 即 OM MF a 又直线 PF 与圆相切 5 FT b OF2 OT2 OM MT MF a MF FT FT a b a 答案 A 12 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A B 如图所示 交其准线 于点 C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 A y2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 x 3 解析 点 F 到抛物线准线的距离为 p 又由 BC 2 BF 得 点 B 到准线的距离为 BF 则 l 与准线夹角为 BF BC 1 2 30 则直线 l 的倾斜角为 60 由 AF 3 如图作 AH HC EF AH 垂足分别为 H E 则 AE 3 p 则 cos60 故 p 3 p 3 3 2 抛物线方程为 y2 3x 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题中横线上 13 2009 杭州模拟 直线 x 2y 2 0 经过椭圆 1 a b 0 的一个焦点和一个顶 x2 a2 y2 b2 点 则该椭圆的离心率等于 解析 直线过点 2 0 和 0 1 即为椭圆的一个焦点和一个顶点 又 a b 0 焦点 在 x 轴上 6 c 2 b 1 a e 22 125 2 5 5 答案 2 5 5 14 2009 湖南高考 过双曲线 C 1 a 0 b 0 的一个焦点作圆 x2 y2 a2的 x2 a2 y2 b2 两条切线 切点分别为 A B 若 AOB 120 O 是坐标原点 则双曲线 C 的离心率 为 解析 AOB 120 AOF 60 在 Rt OAF 中 OA a OF c e 2 c a OF OA 1 cos60 答案 2 15 抛物线 y x2上的点到直线 4x 3y 8 0 的距离的最小值等于 解析 由抛物线的方程 可设抛物线上点的坐标为 x x2 根据点到直线的距离 公式得 d x 2 所以当 x 时 d 取得最小值 4x 3 x2 8 42 32 3 5 2 3 4 3 2 3 4 3 答案 4 3 16 已知双曲线 1 的右焦点为 F 点 A 9 2 试在双曲线上求一点 M 使 x2 9 y2 16 MA 的值最小 那么这个最小值是 3 5 MF 解析 由已知 与双曲线的离心率 互为倒数 3 5 5 3 因而 MF d d 为点 M 到相应准线的距离 所以求 MA MF 的最小值 即 3 5 MF e 3 5 求 MA d 的最小值 作右准线 l 作 MN l 于 N AA l 于 A 由 1 可知 e x2 9 y2 16 5 3 MF MN 5 3 MA MF MA MN AA 3 5 因此 当 A M N 三点共线时 MA MN 最小 M 为 AA 与双曲线右支的交点 7 M 2 3 2 5 MA MF 的最小值为 9 9 3 5 a2 c 9 5 36 5 答案 36 5 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 离心率为 F1 4 5 F2分别为椭圆的左 右焦点 椭圆上有一点 P F1PF2 且 PF1F2的面积为 3 3 求椭圆的方程 3 解 设椭圆的方程为 1 a b 0 F1 c 0 F2 c 0 x2 a2 y2 b2 因为点 P 在椭圆上 所以 PF1 PF2 2a 在 PF1F2中 由余弦定理 得 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 3 PF1 PF2 2 3 PF1 PF2 即 4c2 4a2 3 PF1 PF2 又因 S PF1F2 3 所以 PF1 PF2 sin 3 得 PF1 PF2 12 3 1 2 33 所以 4c2 4a2 36 得 b2 9 即 b 3 又 e 故 a2 b2 25 c a 4 5 25 9 所以所求椭圆的方程为 1 x2 25 y2 9 18 本小题满分 12 分 已知点 x y 在曲线 C 上 将此点的纵坐标变为原来的 2 倍 对 应的横坐标不变 得到的点满足方程 x2 y2 8 定点 M 2 1 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m m 0 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两个不同点 1 求曲线 C 的方程 2 求 m 的取值范围 解 1 在曲线 C 上任取一个动点 P x y 则点 x 2y 在圆 x2 y2 8 上 所以有 x2 2y 2 8 8 整理得曲线 C 的方程为 1 x2 8 y2 2 2 直线 l 平行于 OM 且在 y 轴上的截距为 m 又 kOM 1 2 直线 l 的方程为 y x m 1 2 由Error 得 x2 2mx 2m2 4 0 直线 l 与椭圆交于 A B 两个不同点 2m 2 4 2m2 4 0 解得 2 m 2 且 m 0 m 的取值范围是 2 m 0 或 0 mb 0 的一个顶点为 A 0 2 离心率 e x2 a2 y2 b2 6 3 1 求椭圆的方程 2 直线 l y kx 2 k 0 与椭圆相交于不同的两点 M N 且满足MP PN AP MN 0 求直线 l 的方程 解 1 设 c 依题意 a2 b2 得Error 即Error a2 3b2 12 即椭圆方程为 1 x2 12 y2 4 2 MP PN AP MN 0 AP MN 且点 P 是线段 MN 的中点 由Error 消去 y 得 x2 3 kx 2 2 12 即 1 3k2 x2 12kx 0 由 k 0 得方程 中 12k 2 144k2 0 显然方程 有两个不相等的实数根 设 M x1 y1 N x2 y2 线段 MN 的中点 P x0 y0 则 x1 x2 x0 12k 1 3k2 x1 x2 2 6k 1 3k2 y0 kx0 2 6k2 2 1 3k2 1 3k2 2 1 3k2 即 P 6k 1 3k2 2 1 3k2 k 0 直线 AP 的斜率为 k1 2 1 3k2 2 6k 1 3k2 2 2 1 3k2 6k 由 MN AP 得 k 1 2 2 1 3k2 6k 2 2 6k2 6 解得 k 3 3 10 故直线方程为 y x 2 3 3 21 本小题满分 12 分 抛物线的顶点在原点 焦点在 x 轴的正半轴上 直线 x y 1 0 与抛物线相交于 A B 两点 且 AB 8 6 11 1 求抛物线的方程 2 在 x 轴上是否存在一点 C 使 ABC 为正三角形 若存在 求出 C 点的坐标 若 不存在 请说明理由 解 1 设所求抛物线的方程为 y2 2px p 0 由Error 消去 y 得 x2 2 1 p x 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2 1 p x1 x2 1 AB 8 6 11 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 8 6 11 121p2 242p 48 0 p 或 舍 2 11 24 11 抛物线的方程为 y2 x 4 11 2 设 AB 的中点为 D 则 D 13 11 2 11 假设 x 轴上存在满足条件的点 C x0 0 ABC 为正三角形 CD AB kCD 1 x0 C 0 CD 15 11 15 11 2 2 11 又 CD AB 故矛盾 3 2 12 2 11 x 轴上不存在点 C 使 ABC 为正三角形 22 本小题满分 12 分 2010 启东模拟 已知椭圆 C 1 a b 0 直线 l 为圆 x2 a2 y2 b2 O x2 y2 b2的一条切线 且经过椭圆 C 的右焦点 记椭圆 C 的离心率为 e 11 1 若直线 l 的倾斜角为 求 e 的值 6 2 是否存在这样的 e 使得原点 O 关于直线 l 的对称点恰好在椭圆 C 上 若存在 请 求出 e 的值 若不存在 请说明理由 解 1 设椭圆 C 的右焦点为 c 0 则 c 所以直线 l 的方程为 y x c a2 b2 tan 6 即 x y c 0 因为直线 l 与圆 O 相切 所以圆心 O 到直线 l 的距离 b 即 b 3 c 2 c 1 2 所以 a2 b2 c2 c2 从而离心率 e 5 4 c a 2 5 5