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数学模型姜启源第四版答案【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】t第二章(1)（2008年9月16日） 1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.dhondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3 p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1 方法一（按比例分配） q1? p1n 3 ?2.35,q2? p2n 3 ?3.33, q3? p3n 3 ?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi ? i?1 pi 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3 ?9204.17, q2? 333 2 3?4 ?9240.75, q3? 432 2 4?5 ?9331.2 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（dhondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t?t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t n n 2 2 ) ?t? 2?rkv n? ?wkv 2 n. 2 第二章(2)（2008年10月9日） 15速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系. 解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0， 其量纲表达式为: p=ml2t?3, v=lt 量纲矩阵为： ?2?1?3(p) 10?1(v) 200(s) ?3?(l) ? 1(m)? ?0?(t)(? ?1 ,s=l2,?=ml?3,这里l,m,t是基本量纲. a= 齐次线性方程组为： ?2y1?y2?2y3?3y4?0? ?0 ?y1?y4 ?3y?y?012? 它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得 ?p?1v3s1?1，?p?v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数. 16雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为v=lm0t-1，?=l-3mt0，?=mlt-2（lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，g=lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为 ?1 ?0?a=?1 (v) ?310(?) ?11?1(?) 1?(l) ? 0(m)? ?2?(t)?(g) 齐次线性方程组ay=0 ，即 ? y1-3y2-y3?y4?0 ? ?0 ?y2?y3 ?-y-y-2y?0 34?1 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理 得 ?v? * ?3 ?1 ?g. ?v?g? ，其中?是无量纲常数. 16雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为 v=lmt，?=lmt，?=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，?=lmt ，g=lmt 其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为 ?1 ?0a=? ?1 (v) 100(?) ?310(?) ?11?1(?) 1?(l) ? 0(m)? ?2?(t)?(g) -1 -3 -2 -1-1 -1 -2 -2-2 -1 -1 00 0-2 齐次线性方程组ay=0 即 ?y1?y2?3y3?y4?y5?0 ? y3?y4?0 ? ?y1?y4?2y5?0? 的基本解为 ? ?y1?(1,? ?y2?(0,? )2 1 ,?1,1,?)22231,0,0,? 1 得到两个相互独立的无量纲量 ?1?v?1/2g?1/2 ?3/2?1?1/2 ?g?2? 即 v? ?g?1, ? 3/2 ?g 1/2 ? ?1 ?2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1?(?2) 3/2 ?1 ?1 ? ?g?(? ?g 1/2 ? ?1 ) , 其中?是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为 f(t,l,m,g,k)?0 其量纲表达式为： t?lmt,l?lmt,m?lmt,g?lmt ?2 ,k?fv ?1 ?mlt ?2 (lt ?1 ) ?1 ?lmt 0?1 ， 其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为 ?0?0a=? ?1 100 010 10?2 0?(l) ? 1(m)? ?1?(t) (t)(l)(m)(g)(k) 齐次线性方程组 y2?y4?0? ? y3?y5?0 ? ?y?2y?y?0 45?1 的基本解为 11? y?(1,?,0,0)?1 22 ? 11 ?y2?(0,?1,?,1) 22? 得到两个相互独立的无量纲量 ?tl?1/2g1/2?1 ?1/2?1?1/2 k?2 ?lmg t? lg ?1, ?1?(?2), ?2? klmg 1/21/2 klmg 1/21/2 t? lg () ，其中?是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为 l?g kl? 1/21/2 t,t；l,l;m,m. 又t? ( m?g ) 当无量纲量 m?m ? l?l 时， 就有 t?t ? l?g ? gl ? l?l . 数学模型作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货 批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少【篇二：数学建模陈东彦版课后答案】t2.9-3.7 3.6-5.144.1-7.14.4-7.35.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14 第1章 建立数学模型 1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源数学模型第6页） 1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源数学模型第7页） 1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？ 1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？ 1.6 某城市的logistic模型为 dndt?125n?1 25?10 6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990 年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t?时发生什么情况。 1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t?t时间内人口数量与xm?x(t)成正 比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。 1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？ 1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？ 1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？ 第2章 初等模型 2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的q值方法. （3）dhondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2, 3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较. （4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成 本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 (2)给出单位重量价格c与w的关系。画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小。解释实际意义是什么。 2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。 2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。 2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。 2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是 ?。用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?的关系。 2.9 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与 速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v的表达式。 2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大气压强p有关（设t?0时r?0）。用量纲分析方法 ?et2 证明，r? ?p5t6?e2?3? ，?是未定函数。 2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失 的热量。记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h? kd?v?d?,?c? k? ，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1? c时的热量交换。 2.12 在小说格里佛游记中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么? 2.13 战后olympic运动会女子铅球记录如下: 你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩. 第3章 简单的优化模型 3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。 3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?r在每个生产周期t内，开始的一段时间(0?t?t0)一边生产一边销售，后来的一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k?r和k?r的情况。 3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。 3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m，厚 c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5m/s， 雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑步速度为v。按以下 步骤进行讨论： （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内， 且与人体的夹角为?，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a， b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量 最少。计算?0?，?30? 时的总淋雨量。 （3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且 与人体的夹角为?，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a， b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算?30? 时总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考 虑?的影响），并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什 么变化。图1图2 3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数f( xx?y)和f(yx?y )。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的 利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使 利润最大。 （1）令t?x x?y ，则f(t)?f(1?t)?1。画出f(t)的示意图。 （2）写出甲公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。 （1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高 ?s2l(s?l) （2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。 （3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走 n? 3mg 4ml 步作功最小。mm?4,l?1m分析这个结果合理吗。 （4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。证明结果应为n? mg 4ml 步。分析这个结果合理。 3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。 3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰 3.9 别为p，q室（如图所示）少应宽多少？ 3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。 （1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。 （2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin?sin? ksin(?) 。 （3）根据实际观察 c tan?0.2，试对不同的k值（1.5，2，3）， 根据消耗能量最小的准则 估计最佳的?值。 b【篇三：作业1数学建模,姜启源版】、实验目的与要求 掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。 1、 用excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、 用excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、 用excel求解动态系统模型并估计均