湖北省2012年高考数学压轴卷试卷 理

用心 爱心 专心 1 绝密 启用前 20122012 年湖北省高考压轴卷年湖北省高考压轴卷 数学理数学理 本试卷共 5 页 共 22 题 其中第 15 16 题为选考题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试题卷 草稿纸 上无效 3 填空题和解答题的作答 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 选考题的作答 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑 考生应根据自己选做的题目准确填涂题号 不得多选 答题答在答题卡上对应的答 题区域内 答在试题卷 草稿纸上无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设集合 则使M N N成立的的值是 1 0 1 M 2 aaN a A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 2 若 2 ai ibi 其中 a bR i是虚数单位 复数abi A 12i B 12i C 1 2i D 1 2i 3 如果随机变量 N 2 且E 3 D 1 则P 1 1 A 2 1 1 B 4 2 C 2 4 D 4 2 4 设kR 下列向量中 与向量 Q 1 1 一定不平行的向量是 A b k k B c k k C d k2 1 k2 1 D e k2一 l k2 1 5 一个棱锥的三视图如图 尺寸的长度单位为m 则该棱锥的全面积是 m2 正视图 侧视图 俯视图 用心 爱心 专心 2 A 624 B 64 C 224 D 24 6 设函数 22 0 sin 3 xxf的图像关于直线 3 2 x对称 它的周期 是 则 A xf的图象过点 2 1 0 B xf在 3 2 12 上是减函数 C xf的一个对称中心是 0 12 5 D 将 xf的图象向右平移 个单位得到函数 xy sin3 的图象 7 执行如图所示的程序框图 则输出的 S A 258 B 642 C 780 D 1538 8 双曲线 22 22 1 1 1 yx ab ab 的离心率为 2 则 2 1 3 b a 的最小值为 A 3 34 B 3 33 C 2 D 2 31 9 若a满足4lg xx b满足410 x x 函数 0 2 0 2 2 x xxbax xf 则 关于x的方程xxf 的解的个数是 A 4B 3C 2D 1 10 设O是正三棱锥ABCP 的底面 ABC的中心 过O的动平面与PC交于S 与PA PB的延长线分别交于Q R 则 PSPRPQ 111 A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C 无最大值也无最小值 D 是与平面QRS无关的常数 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填 在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 11 14 题 11 对任意的实数 x 有 323 0123 2 2 2 xaa xaxax 则 a2的值是 12 若点 cos sin P 在直线 2yx 上 则sin2 2cos2 用心 爱心 专心 3 13 如图所示高脚杯的轴截面是方程为 0 2 2 ppyx的抛物线 现放一 半径为 r 小球到高脚杯中 若小球能落到杯子底部 则小球的半径 r 的 取值范围为 14 由 9 个正数组成的数阵 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 每行中的三个数成等差数 列 且 131211 aaa 232221 aaa 333231 aaa 成等比数列 给出下列结论 第二列中的 322212 aaa必成等比数列 第一列中的 312111 aaa不一定成等比数列 23213212 aaaa 若 9 个数之和大于 81 则 22 a 9 其中正确的序号有 填写所有正确结论的序号 二 选考题 请考生在第 15 16 两题中任选一题作答 请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑 如果全选 则按第 15 题作答结果计分 15 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB是半圆O的直径 点C在半圆上 CDAB 垂足为D 且 5ADDB 设COD 则tan 的值为 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直角坐标系xoy中 直线l的参数方程为 为参数 t ty tx 3 3 以直角坐标系xOy中的原点O为极点 x轴的非负半轴为极轴 圆C 的极坐标方程为03cos4 2 则圆心C到直线l距离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 11 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c q q a2 1 p p cb 2 Ccos 且qp 求 I 求 sin A 的值 II 求三角函数式1 tan1 2cos2 C C 的取值范围 用心 爱心 专心 4 18 本小题满分12分 某高中为了推进新课程改革 满足不同层次学生的需求 决定从高一年级开始 在 每周的周一 周三 周五的课外活动期间同时开设数学 物理 化学 生物和信息技术 辅导讲座 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座 也 可以放弃任何一门科目的辅导讲座 规定 各科达到预先设定的人数时称为满座 否 则称为不满座 统计数据表明 各学科讲座各天的满座的概率如下表 根据上表 1 求数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座的概率 2 设周三各辅导讲座满座的科目数为 求随机变量 的分布列和数学期望 19 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥P ABCD的底面是边长为 1 的正方形 PA CD PA 1 PD E为PD上一点 PE 2ED 2 求证 PA 平面ABCD 求二面角D AC E的余弦值 在侧棱PC上是否存在一点F 使得BF 平面AEC 若存在 指出F点的位置 并证明 若不存在 说明理由 20 本小题满分 13 分 如图 F1 F2分别为椭圆的焦点 椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右准线l与x轴交于 A 点 若 且 1 1 0F 12 2AFAF 求椭圆的方程 过 F1 F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P Q M N 四点 求四边形 PMQN 面积的取值范围 E P D C B A 用心 爱心 专心 5 21 本小题满分 13 分 已知数列 n a满足 4 1 1 a 2 1 1 1 n n n n a a a Nnn 2 求数列 n a的通项公式 设 2 1 n n a b 求 n b的前 n 项和 n S 设 2 12 sin n ac nn 数列 n c的前 n 项和 n T 求证 对 7 4 n TNn 22 本小题满分 14 分 已知函数 ln0 xa f xaxa x 求此函数的单调区间及最值 求证 对于任意正整数n 均有 为自然对数的底数 111 1ln 23 n e nn e 当a 1 时 是否存在过点 1 1 的直线与函数的图象相切 若存 yf x 在 有多少条 若不存在 说明理由 数学 理 试题参考答案及评分标准数学 理 试题参考答案及评分标准 用心 爱心 专心 6 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 CBDCA CBABD 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填 在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 11 6 12 2 13 pr 0 14 15 5 2 16 5 3 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 I qp cbCa 2cos2 根据正弦定理 得CBCAsinsin2cossin2 又 sinsinsincoscossinBACACAC 1 sincossin 2 CAC 0sin C 2 1 cos A 又0A 3 A sinA 2 3 5 分 II 原式CCC C C CC C C cossin2cos21 cos sin 1 sin cos2 11 tan1 2cos2 2 22 4 2sin 22cos2sin CCC 3 2 0 C 12 13 4 2 4 C 1 4 2sin 2 2 C 2 4 2sin 21 C Cf的值域是 2 1 11 分 18 解 I 设数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座为事件 A 则 1221 1 1 1 23318 P A 4 分 II 的可能值得为 0 1 2 3 4 5 4 121 0 1 1 2348 P A 134 4 112121 1 1 1 1 223238 PC A AAA 22213 44 1121127 2 1 1 1 22322324 PCC AAAAA 33222 44 1121121 3 1 1 1 2232233 PCC AAAAAA 用心 爱心 专心 7 433 4 121121 4 1 1 2322316 PC AAAA 4 121 5 2324 P A 9 分 所以随机变量 的分布列如下 012345 P 1 48 1 8 7 24 1 3 3 16 1 24 故 1171318 012345 48824316243 E AAAAAA 12 分 19 解 PA PD 1 PD 2 PA2 AD2 PD2 即 PA AD 2 分 又 PA CD AD CD 相交于点 D PA 平面 ABCD 4 分 过 E 作 EG PA 交 AD 于 G 从而 EG 平面 ABCD 且 AG 2GD EG PA 5 分 1 3 1 3 连接 BD 交 AC 于 O 过 G 作 GH OD 交 AC 于 H 连接 EH GH AC EH AC EHG 为二面角 D AC E 的平面角 6 分 tan EHG 二面角 D AC E 的平面角的余弦值为 3 6 8 分 EG GH 2 2 以 AB AD PA 为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 P 0 0 1 E 0 AC 2 3 1 3 1 1 0 AE 0 9 分 2 3 1 3 设平面 AEC 的法向量n x y z 则 0 0 AEn ACn 即 02 0 zy yx 令 y 1 则n 1 1 2 10 分 假设侧棱 PC 上存在一点 F 且CF CP 0 1 使得 BF 平面 AEC 则BF n 0 用心 爱心 专心 8 又因为 BF BC CF 0 1 0 1 BF n 1 2 0 1 2 所以存在 PC 的中点 F 使得 BF 平面 AEC 12 分 20 解 I 由 F1 1 0 得 A 点坐标为 2 分1c 2 0 a 是的中点 12 2AFAF 2 F 1 AF 22 3 2ab 椭圆方程为 5 分 22 1 32 xy II 当直线MN与PQ之一与轴垂直时 四边形 PMQN 面积 x 1 4 2 SMN PQ A 6 分 当直线 PQ MN 均与轴不垂直时 不妨设 PQ x 10yk xk 联立代入消去得 22 1 1 32 yk x xy y 2222 236360kxk xk 设 则 8 分 1122 P x yQ xy 22 1212 22 636 2323 kk xxx x kk 同理 2 2 12 2 4 31 1 23 k PQkxx k 2 2 1 4 31 1 23 k MN k 四边形 PMQN 面积 10 分 2 2 2 2 1 242 1 12 613 k k SMN PQ k k 令 则 易知 S 是以为变量的增函数 2 2 1 uk k 2424 2 4 613613 u uS uu u 所以当时 1 2ku min 96 25 S 96 4 25 S 综上可知 四边形 PMQN 面积的取值范围为 13 分 96 4 25 S 96 4 25 用心 爱心 专心 9 21 解 1 2 1 1 n n n aa 1 1 1 1 2 1 1 n n n n aa 又 3 1 1 1 a 数列 n n a 1 1 是首项为 3 公比为 2 的等比数列 n n a 1 1 1 2 3 n 即 123 1 1 1 n n n a 4 分 12649 123 1121 nnn n b n S n nn 21 21 1 6 41 41 1 9 92643 n nn 8 分 2 12 sin n n 1 123 1 1 2 3 1 11 1 nnn n n c 当 n 3 时 n T 123 1 123 1 123 1 13 1 12 n 132 23 1 23 1 23 1 7 1 4 1 n 2 1 1 2 1 1 12 1 28 11 2 n 2 2 1 1 6 1 28 11 n 7 4 84 47 6 1 28 11 12