第六章第二节一元二次不等式及其解法

1 第六章第六章 第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 题组一一元二次不等式的解法 1 不等式 2 的解集是 x 5 x 1 2 A 3 B 3 1 2 1 2 C 1 1 3 D 1 1 3 1 2 1 2 解析 法一 首先 x 1 在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为 x 5 2 x 1 2 即 2x2 5x 3 0 即 2x 1 x 3 0 解得 x 3 故原不等 1 2 式的解集是 1 1 3 1 2 法二 特殊值检验法 首先 x 1 排除 B 显然 x 0 x 2 是不等式的解 排除 A C 答案 D 2 解关于 x 的不等式 12x2 ax a2 a R 解 由 12x2 ax a2 0 4x a 3x a 0 x x 0 a 4 a 3 a 0 时 a 4 a 3 解集为 x x a 4 a 3 a 0 时 x2 0 解集为 x x R 且 x 0 a a 4 a 3 解集为 x x a 3 a 4 题组二一元二次不等式的实际应用 3 某产品的总成本 y 万元 与产量 x 台 之间的函数关系是 y 3 000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每台产品的售价为 25 万元 则生产者不亏本 销售收 入不小于总成本 时的最低产量是 2 A 100 台 B 120 台 C 150 台 D 180 台 解析 依题意得 25x 3 000 20 x 0 1x2 整理得 x2 50 x 30 000 0 解得 x 150 或 x 200 因为 0 x 240 所以 150 x 240 即最低产量是 150 台 答案 C 4 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元 辆 出厂价为 1 2 万元 辆 年销 售量为 1000 辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成 本 若每辆车投入成本增加的比例为 x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为 0 75x 同时预计年销售量增加的比例为 0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年 销售量 1 写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内 解 1 由题意得 y 1 2 1 0 75x 1 1 x 1000 1 0 6x 0 x 1 整理得 y 60 x2 20 x 200 0 x 1 2 要保证本年度的年利润比上年度有所增加 必须有Error Error 即Error Error 解得 0 x 1 3 投入成本增加的比例应在 0 范围内 1 3 题组三不等式的恒成立问题 5 若不等式 ax2 4x a 1 2x2对任意实数 x 均成立 则实数 a 的取值范围是 A a 2 或 a 3 B a 2 或 a 3 C a 2 D 2 a 2 解析 原不等式可化为 a 2 x2 4x a 1 0 显然 a 2 时不等式不恒成立 所 以要使不等式对于任意的 x 均成立 必须有 a 2 0 且 0 即Error Error 解得 a 2 答案 C 6 2010 宁波模拟 设奇函数 f x 在 1 1 上是单调函数 且 f 1 1 若函数 f x t2 2at 1 对所有的 x 1 1 都成立 当 a 1 1 时 则 t 的取值范围是 3 解析 f x 为奇函数 f 1 1 f 1 f 1 1 又 f x 在 1 1 上是单调函数 1 f x 1 当 a 1 1 时 t2 2at 1 1 恒成立 即 t2 2at 0 恒成立 令 g a t2 2at a 1 1 Error Error Error Error t 2 或 t 0 或 t 2 答案 2 0 2 7 已知函数 f x x2 ax 3 1 当 x R 时 f x a 恒成立 求 a 的范围 2 当 x 2 2 时 f x a 恒成立 求 a 的范围 解 1 f x a 恒成立 即 x2 ax 3 a 0 恒成立 必须且只需 a2 4 3 a 0 即 a2 4a 12 0 6 a 2 2 f x x2 ax 3 x 2 3 a 2 a2 4 当 2 即 a 4 时 f x min f 2 2a 7 a 2 由 2a 7 a 得 a a 7 3 当 2 2 即 4 a 4 时 f x min 3 a 2 a2 4 由 3 a 得 6 a 2 4 a 2 a2 4 当 2 即 a 4 时 f x min f 2 2a 7 a 2 由 2a 7 a 得 a 7 7 a 4 综上得 a 7 2 题组四一元二次不等式的综合应用 4 8 不等式 x2 x 2 0 的解集是 A x 2 x 2 B x x2 C x 1 x 1 D x x1 解析 原不等式 x 2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 0 2 x4 的解集为 x xb 1 求 a b 2 解不等式 ax2 ac b x bc4 的解集为 x xb 所以 x1 1 与 x2 b 是 方程 ax2 3x 2 0 的两个实数根 且 b 1 由根与系数的关系 得 Error Error 解得Error Error 所以Error Error 2 所以不等式 ax2 ac b x bc 0 即 x2 2 c x 2c 0 即 x 2 x c 2 时 不等式 x 2 x c 0 的解集为 x 2 x c 当 c 2 时 不等式 x 2 x c 0 的解集为 x c x 2 当 c 2 时 不等