第六章第二节算术平均数与几何平均数

1 100100 第六章第六章 第二节第二节 算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 题组一利用均值不等式求最值 1 设 x y 均为正实数 且 1 则 xy 的最小值为 3 2 x 3 2 y A 4 B 4 3 C 9 D 16 解析 由 1 可得 xy 8 x y 3 2 x 3 2 y x y 均为正实数 xy 8 x y 8 2 当且仅当 x y 时等号成立 xy 即 xy 2 8 0 xy 可解得 4 即 xy 16 故 xy 的最小值为 16 xy 答案 D 2 2009 天津高考 设 a 0 b 0 若是 3a与 3b的等比中项 则 的最小值为 3 1 a 1 b A 8 B 4 C 1 D 1 4 解析 是 3a与 3b的等比中项 2 3a 3b 33 即 3 3a b a b 1 此时 2 2 2 4 当且仅当 a b 取等号 1 a 1 b a b a a b b b a a b 1 2 答案 B 3 已知不等式 x y 9 对任意正实数 x y 恒成立 则正实数 a 的最小值为 1 x a y A 8 B 6 C 4 D 2 解析 x y 1 a a 1 x a y x y y x a 1 2 a 2 1 a x y y xa 当且仅当 a 等号成立 x y y x 2 所以 2 2 1 9 aa 即 2 2 8 0 得 2 或 4 舍 aaaa 所以 a 4 即 a 的最小值为 4 答案 C 4 若直线 ax by 2 0 a 0 b 0 和函数 f x ax 1 1 a 0 且 a 1 的图象恒过同一 个定点 则当 取最小值时 函数 f x 的解析式是 1 a 1 b 解析 函数 f x ax 1 1 的图象恒过 1 2 故 a b 1 a b 1 2 1 a 1 b 1 2 1 a 1 b 3 2 当且仅当 b a 时取等号 将 b a 代入 a b 1 得 a 2 b a a 2b 3 22 2 2 2 2 1 22 2 故 f x 2 2 x 1 1 2 答案 f x 2 2 x 1 1 2 题组二利用均值不等式证明不等式 5 2010 佛山模拟 已知 a 0 b 0 且 a b 2 则 A ab B ab 1 2 1 2 C a2 b2 2 D a2 b2 3 解析 法一 由 得 ab 2 1 又 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a b 2 a b 2ab a b 2 a2 b2 2 法二 特值法 取 a 0 b 2 满足 a b 2 代入选项可排除 B D 又取 a b 1 满足 a b 2 但 ab 1 可排除 A 答案 C 6 设 a b 是正实数 以下不等式 a a b b a2 b2 4ab 3b2 ab 2 恒成立的序号为 ab 2ab a b 2 ab A B C D 解析 a b 是正实数 a b 2 1 当且仅当 a b 时 ab 2 ab a bab 2ab a b 取等号 不恒成立 a b a b a a b b 恒成立 a2 b2 4ab 3b2 3 a 2b 2 0 当 a 2b 时 取等号 不恒成立 ab 2 2 2 ab ab 2 ab2 2 恒成立 答案 D 7 已知关于 x 的不等式 2x 7 在 x a 上恒成立 则实数 a 的最小值为 2 x a 解析 因为 x a 所以 2x 2 x a 2a 2 2a 2 x a 2 x a 2 x a 2 x a 2a 4 即 2a 4 7 所以 a 即 a 的最小值为 3 2 3 2 答案 3 2 8 已知 a b c R 且 a b c 1 求证 1 1 1 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c R 且 a b c 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c abc 8 b c a c a b abc 2 bc 2 ac 2 ab abc 当且仅当 a b c 时取等号 1 3 题组三均值不等式的实际应用 9 某公司租地建仓库 每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货 物的运费 y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站 10 千米处建仓库 这两项费 用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车 站 千米处 解析 设仓库建在离车站 d 千米处 由已知 y1 2 得 k1 20 y1 k1 10 20 d y2 8 k2 10 得 k2 y2 d 4 5 4 5 4 y1 y2 2 8 20 d 4d 5 20 d 4d 5 当且仅当 即 d 5 时 费用之和最小 20 d 4d 5 答案 5 10 文 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方x 米的三级污水处理池 池 的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙 建造单价为 400 元 米 中间两道隔墙建造单价为 248 元 米 池底 建造单价为 80 元 米 2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过 16 米 试设计污水池的长和宽 使 总 造价最低 并求出最低总造价 解 1 设污水处理池的宽为 x 米 则长为米 162 x 则总造价 f x 400 2x 248 2x 80 162 1 2 162 x 296x 12 1 296 100 x 960 1 296 x 12 960 100 x 1 296 2 12 960 38 880 元 x 100 x 当且仅当 x x 0 即 x 10 时取等号 100 x 当长为 16 2 米 宽为 10 米时总造价最低 最低总造价为 38 880 元 2 由限制条件知Error 10 x 16 1 8 设 g x x 10 x 16 100 x 1 8 由函数性质易知 g x 在 10 16 上是增函数 1 8 当 x 10 时 此时 16 1 8 162 x g x 有最小值 即 f x 有最小值 5 1 296 10 12 960 38 882 元 1 8 800 81 当长为 16 米 宽为 10 米时 总造价最低 为 38 882 元 1 8 理 为了提高产品的年产量 某企业拟在 2010 年进行技术改革 经调查测算 产品 当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元 m 0 满足 x 3 k 为常数 k m 1 如 果不搞技术改革 则该产品当年的产量只能是 1 万件 已知 2010 年生产该产品的固 定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 由于市场行情较好 厂 家生产的产品均能销售出去 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1 5 倍 生产成本包括固定投入和再投入两部分资金 1 将 2010 年该产品的利润 y 万元 利润 销售金额 生产成本 技术改革费用 表示 为技术改革费用 m 万元的函数 2 该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时 厂家的利润最大 解 1 由题意可知 当 m 0 时 x 1 万件 1 3 k k 2 x 3 2 m 1 每件产品的销售价格为 1 5 元