江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 7 立体几何VIP

1 专题专题 7 7 立体几何立体几何 一 填空题 例例 1 1 下列结论正确的是 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则该棱锥可能是六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 答案 简单几何体基本概念与性质 例例 2 2 在正方体 1111 ABCDABC D 各个表面的 12 条对角线中 与 1 BD 垂直的有 条 答案 答案 6 异面直线垂直判断 例例 3 3 已知正四棱锥的底面边长是 6 高为 这个正四棱锥的侧面积是 7 答案 答案 24 正四棱锥的结构特征 侧面积的计算方法 例例 4 4 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且AB 6 BC 则棱锥 23 O ABCD的体积为 答案 答案 球与其它几何体的组合问题 8 3 例例 5 5 如图 在三棱锥中 三条棱 两两垂直 OABC OAOBOC 且 分别经过三条棱 作一个截面平分三棱OA OB OCOAOBOC 锥的体积 截面面积依次为 则 的大小关系为 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 答案 答案 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长 方体验证结论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 例例6 6 若m n为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题中的真命 题是 若m n都平行于平面 则m n一定不是相交直线 若m n都垂直于平面 则m n一定是平行直线 已知 互相垂直 m n互相垂直 若 m 则 n m n在平面 内的射影互相垂直 则m n互相垂直 答案 答案 为假命题 为真命题 在 中 n 可以平行于 也可以在 内 是假命题 中 m n 也可以不互相垂直 为假命题 故答案为 例例 7 7 为两个互相垂直的平面 a b为一对异面直线 下列四个条件中是 a b 的 充分条件的有 a b a b a b a b 且a与 的距离 等于b与 的距离 2 答案 答案 本题主要考查空间线面之间的位置关系 特别是判断平行与垂直的常用方法 例例 8 8 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 半径为 18 cm 的扇形 则圆锥母线与底面所 4 3 成角的余弦值为 答案 答案 2 3 例例 9 9 已知圆锥的底面半径为 R 高为 3R 在它的所有内接圆柱中 全面积的最大值是 答案 答案 将全面积表示成底面半径的函数 即可求出函数的最大值 2 9 R 4 设内接圆柱的底面半径为 r 高为 h 全面积为 S 则有 3Rhr h3R3r 3RR 22222 339 S2 rh2 r2 r 3R3r2 r4rRr4rRR 244 当时 S 取的最大值 故选 B 3 rR 4 2 9 R 4 例例 1010 如图 有一圆柱形的开口容器 下表面密封 其轴截面是边长为 2 的正方形 P 是 BC 重点 现有一只蚂蚁位于外壁 A 处 内壁 P 处有一米粒 则这只蚂蚁取得米粒所需经 过的最短路程为 答案 答案 倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方 再展开如图 则可得最短路程 2 9 为 2 9 例例 1111 正四面体 ABCD 的棱长为 1 棱 AB 平面 则正四面体上的所有点在平面 内的 射影构成的图形面积的取值范围是 答案 答案 当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时 不管怎么转动 投影的三 21 42 角形的一个边始终是 AB 的投影 长度是 1 而发生变化的是投影的高 体会高的变化 得 到结果 正四面体的对角线互相垂直 且棱 AB 平面 当 CD 平面 这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积 根据正四面体的性质 面 3 积此时最大 是 132 31 2232 当面 ABC 平面 面积最小时构成的三角形底边是 1 高是正四面体的高 面积是 2 2 2 4 正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是 21 42 例例 1212 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 当该棱锥的体积最大时 它的高为 答案 答案 本试题主要考察椎体的体积 考察函数的最值问题 设底面边长为 a 则高 所以体积 设 2 22 2 12 22 aa hSA 246 111 12 332 Va haa 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 46 1 12 2 yaa 35 483yaa 35 483yaa 时 体积最大 此时 2 122 2 a h 例例 1313 如图 在三棱锥中 两两垂直 且PABC PAPBPC 设是底面内一点 定义3 2 1PAPBPC MABC 其中 分别是三棱锥 三 f Mm n p mnpMPAB 棱锥 三棱锥的体积 若 MPBC MPCA 1 2 f Mx y 且恒成立 则正实数的最小值为 1 8 a xy a 答案 答案 1 由题意可知 又 得恒 1 2 xy 1 8 a xy 111 8 58 22 axx xx 成立 再由基本不等式可知当是取最小值 1 1 4 xy a 例例 1414 如图 在长方形中 为的中点 为线段ABCD2AB 1BC EDCF 端点除外 上一动点 现将沿折起 使平面平面 在平ECAFD AFABD ABC 面内过点作 为垂足 设 则 的取值范围是 ABDDDKAB KAKt t M C B A P 4 答案 答案 21 52 此题的破解可采用二个极端位置法 1 当F点位于DC的中点时 过点D作DG AF 连接BG E 0 901ADFADDF 2 2 AGDG 在 ABG中 0 2 45 2 BAGAGAB 2 2 220 225 222 cos45 222 BG 在Rt BDG中 2 25 3 22 BD ABD是直角三角形 11 cos1 22 tADDAB 2 当F点到C点时 过点D作DH AF 连接BH 0 901 2ADFADDF 5AC 12 55 AHDH 在 ABH中 21 cos 55 BAHAHAB 2 2 22 11213 222 5555 BH 在Rt BDH中 2 2 21317 555 BD 在 ABD中 22 17 12 2 5 cos 2 1 25 DAB 22 cos1 55 tADDAB 的取值范围是 t 21 52 5 二 解答题 例例 1515 如图 已知直四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面是直角梯形 AB BC ABCD E F 分别是棱BC 11 BC 上的动点 且 1 EFCC 1 1CDDD 2 3ABBC 证明 无论点E怎样运动 四边形 1 EFD D 都为矩形 当 1EC 时 求几何体 1 AEFD D 的体积 答案 答案 在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 11 DDCC 1 EFCC 1 EFDD 又 平面 ABCD 平面 1111 ABC D 平面 ABCD 平面 1 EFD DED 平面 1111 ABC D 平面 11 EFD DFD 1 EDFD 四边形 1 EFD D 为平行四边形 侧棱 1 DD 底面ABCD 又DE 平面ABCD内 1 DDDE 四边形 1 EFD D 为矩形 证明 连结AE 四棱柱 1111 ABCDABC D 为直四棱柱 侧棱 1 DD 底面ABCD 又AE 平面ABCD内 1 DDAE 在Rt ABE 中 2AB 2BE 则 2 2AE 在Rt CDE 中 1EC 1CD 则 2DE 在直角梯形中ABCD 22 10ADBCABCD 222 AEDEAD 即AE ED 又 1 EDDDD AE 平面 1 EFD D 由 可知 四边形 1 EFD D 为矩形 且 2DE 1 1DD 6 矩形 1 EFD D 的面积为 1 1 2 EFD D SDE DD 几何体 1 AEFD D 的体积为 11 114 22 2 333 A EFD DEFD D VSAE 例例 1616 在边长为的正方形ABCD中 E F分别为BC CD的中点 M N分别为AB CF6cm 的中点 现沿AE AF EF折叠 使B C D三点重合 构成一个三棱锥 1 判别MN与平面AEF的位置关系 并给出证明 2 求多面体E AFMN的体积 答案 答案 1 因翻折后B C D重合 如图 所以MN应是的一条中位线 则ABF MNAF MNAEFMNAEF AFAEF A A平面平面 平面 2 因为平面BEF 且 ABBE AB ABAF 6 3ABBEBF 9 A BEF V 又 3 4 E AFMNAFMN E ABFABC VS VS 27 4 E AFMN V 例例 1717 如图 弧 AEC 是半径为a的半圆 AC 为直径 点 E 为弧 AC 的中点 点 B 和点 C 为 线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED FB a5 1 证明 EB FD 2 求点 B 到平面 FED 的距离 答案 答案 1 证明 点 E 为弧 AC 的中点 2 ABEBEAC 即 又BEDBEBEDFC 平面 平面 FCBE M N F E B C AD A E F M N B 7 F G B D E A C 又FCACFBDFCAC C 平面 BEFBD FDFBD 平面 平面 EBFD 2 解 2222 FC BF BC 52aaa 2 11 2 22 Rt EBD SBE BDaaa 在 22 6Rt FBEFEBEBFa 中 由于 5FDEDa 所以 222 11621 65 2222 FDEFE a SFE haaa 由等体积法可知 11 33 Rt EBDFDE SFCSh 即 所以 22 21 2 2 aaah 4 21 21 ha 即点 B 到平面 FED 的距离为 4 21 21 a 例例1818 如图 三角形ABC中 AC BC AB 2 2 ABED是边长为1的正方 形 平面ABED 底面ABC 若G F分别是EC BD的中点 求证 GF 底面ABC 求证 AC 平面EBC 求几何体ADEBC的体积V 答案 答案 I 证法一 取 BE 的中点 H 连结 HF GH 如图 G F 分别是 EC 和 BD 的中点 HG BC HF DE 又 ADEB 为正方形 DE AB 从而 HF AB HF 平面 ABC HG 平面 ABC HF HG H 平面 HGF 平面 ABC GF 平面 ABC HF G B D E A C A E F M N B 8 证法二 取 BC 的中点 M AB 的中点 N 连结 GM FN MN 如图 G F 分别是 EC 和 BD 的中点 DANFDA NF BE GMBEGM 2 1 2 1 且 且 又 ADEB 为正方形 BE AD BE AD GM NF 且 GM NF MNFG 为平行四边形 GF MN 又ABCMN平面 GF 平面 ABC 证法三 连结 AE ADEB 为正方形 AE BD F 且 F 是 AE 中点 GF AC 又 AC 平面 ABC GF 平面 ABC AD