高三数学高考复习：直线与圆四考向

用心 爱心 专心 直线与圆四考向直线与圆四考向 直线与圆是解析几何中相对独立的内容 相关高考试题灵活性较大 本文结合近几年 命题特点 归纳为四类问题 编者注 感觉同学们易出错的例题已给出解答 同学们可仔细品读 相对简单的只写 了分析 同学们可根据分析思路再动笔训练一下效果会更好 1 距离问题 例 1 湖南卷 若圆 22 44100 xyxy 上至少有三个不同的点到直线 0l axby 的距离为2 2 则直线l的倾斜角的取值范围是 A B 5 C 3 D 0 分析 圆的半径为3 2 至少有三个不同点 则圆心 2 2 到直线l的距离不大于 2 结合图形 由直线l斜率的范围可求出倾斜角的范围 选 B 2 最值问题 例 2 辽宁卷 已知点 11 A xy 22 B xy 12 0 x x 是抛物线 2 2 0 ypx p 上的两个动点 O是坐标原点 向量OA OB 满足 OAOBOAOB 设圆C的方程为 22 1212 0 xyxx xyyy 1 证明线段AB是圆C的直径 2 当圆C的圆心到直线20 xy 的距离的最小值为 2 5 5 时 求p的值 解 1 将AB 的坐标代入OAOBOAOB 可得 1212 0 x xy y 即 OAOB 由方程 22 1212 0 xyxx xyyy 知圆C过原点及AB 两点 又 OAOB 故线段AB是圆C的直径 2 由 22 12 1212 2 4 y y y yx x p 得 2 12 4y yp 222 1212 12 8 22 yyyyp xx pp 又圆心 1212 22 xxyy 到直线20 xy 的距离为 用心 爱心 专心 12 22122 12 2 42 52 554 54 5 xx yy yyppp d pp 解得2p 点评 将圆与向量结合命题很有新意 第二问解答中 数与式子的变化很多 在计算 时我们要保持清醒的头脑 方向明确 紧盯目标 确保无误 3 轨迹问题 例 3 已知 3 0 A 及圆 22 25xy 以点A为直角顶点作 RtABC 且BC 在圆周上 求BC中点M的轨迹方程 分析 如图 设 M xy BC 在圆周上 在 RtOMB 中 222 OMMBOB 又由于在RtABC 中 MBMA 从而可得所求的轨迹方程为 22 380 xyx 点评 恰当运用平面几何的有关结论 对于简化求轨迹运算 往往有意想不到的效果 4 交汇问题 例 4 直线xya 与圆 22 1xy 交于 11 A xy 22 B xy O为坐标原点 是否存在实数a使 25 3 OA OB A若存在 求出a 若不存在 说明理由 分析 联立直线与圆的方程 得 22 2210 xaxa 显然AB 重合时 不合题意 由0 及二次方程根与系数的关系 得 22 a 12 xxa 2 12 1 2 a x x 代入 25 3 OA OB A化简 得 2 21 3 a 因为所求出的22a 故实数a不存在 注意 若忽略0 结果就大相径庭了 例 已知圆 22 1O xy 和直线 2l yxb 交于AB 两点 若x轴正方向到 OA OB的角分别为 求sin 的值 解 设 cossin A cossin B 用心 爱心 专心 联立直线与圆的方程 得 22 54 1 0 xbxb 由一元二次方程根与系数的关系 得 4 coscos 5 b 2 1 coscos 5 b 又AB 在直线l上 得sin2cosb sin2cosb s