高三数学专题测试（9）：空间向量及运算

用心 爱心 专心 高三数学专题测试高三数学专题测试 第九单元第九单元 空间向量及运算空间向量及运算 一 选择题 一 选择题 1 已知 5 21 1 2 2 A xxxBxx 当AB 最取最小值时 x的值等于 A 19 B 8 7 C 8 7 D 19 14 2 正四棱维 P ABCD 中 O 为底面中心 设 ABi BCj OPk E 为 PC 的中点 则 AE 可表示为 A 333 444 ijk B 331 442 ijk C 131 442 ijk D 3 4 ijk 3 已知向量 1 3 2 ax ybz 且a b 则xzyz 的值是 A 6 B 5 C 4 D 3 4 已知向量 0 1 1 1 0 2 ab 若向量kab 与向量ab 互相垂直 则k的值是 A 3 2 B 2 C 5 4 D 7 4 5 下面命题正确的个数是 若23pxy 则p与x y共面 若23MPMAMB 则 M P A B 共面 若0OAOBOCOD 则 A B C D 共面 若 151 263 OPOAOBOC 则 P A B C 共面 A 1 B 2 C 3 D 4 6 已知点 A 在基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中 aij bjk cki 则 点 A 在基底 i j k 下的坐标是 A 12 14 10 B 10 12 14 C 14 12 10 D 4 3 2 7 已知点 1 0 0 0 1 1 AB 向量 6 6 OCOAOB 则向量OB 的OC 夹角是 用心 爱心 专心 A 2 3 B 2 C 3 D 6 8 已知向量 2 2 1 a 向量 0 3 4 b 则向量a 在向量b 上的射影的长是 A 1 B 2 C 5 D 10 9 已知 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ABC若BDAC A 且DCAB A 则点 D 的坐标为 A 1 1 2 B 1 1 2 C 1 1 2 D 1 1 2 10 已知 OABC 是四面体 G 是 ABC 的重心 若OAOBOCOG 则 的值是 A 1 B 2 C 3 D 4 11 设 A B C 是空间中不共面的四点 且满足0AB AC 0AC AD 0AB AD 则 BCD 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 形状不能确定 12 在平面内 自一点 O 至多能引三条射线 OA OB OC 使它们两两所成角相等 且两两 所成的角为 2 3 那么在空间中 自一点 O 至多能引四条射线 使它们两两所成角相 等 则两两所成的角为 A 3 4 B 5 6 C 1 arcsin 3 D 1 arccos 3 二 填空题 二 填空题 13 在三棱维 A BCD 中 若 BCD 是正三角形 E 为其中心 则 13 22 ABBCDEAD 的化简结果为 14 已知点 2 3 1 5 6 4 ABO为坐标原点 则以 OA OB 为邻边的平行四边形的面积是 15 一正方体 1111 ABCDABC D P M 为空间中任意两点 若 11 67PMPBAABA 11 4AD 那么点 M 一定在 平面内 16 已知力 12 23 23Fijk Fijk 3 345Fijk 若 123 F F F 共同作用 用心 爱心 专心 于一物体上 使物体从点 1 1 2 1 M 移到点 2 3 1 2 M 则合力所作的功是 三 解答题 三 解答题 17 已知向量 1 0 1 2 2 0 ab 若 1 atbt ab 求实数t的值 若 xabayb A 试求 x y的值 18 已知 a b 是非零向量 t是实数 设uatb 当u 最小时 试用 a b 表示实数t的值 在u 最小时 证明 batb 19 已知正三棱柱 ABCA B C 的侧棱长为 2 底面的边长为 1 M 是 BC 的中点 在直 线 CC上是否存在一点 N 使得 MNAB 若存在 请你求出它的位置 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心 20 正方形 ABCD ABEF 的边长都是 1 而且平面 ABCD ABEF 互相垂直 点 M 在 AC 移动 点 N 在 BF 上移动 若 02 CMBNaa 求 MN 的长 求a为何值时 MN 的长最小 当 MN 长最小时 求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的大小 21 已知o是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心 点 E F 分别是 AD BC 的中点 沿对角线 AC 把正方形 ABCD 折成直二面角 D AC B 求 EOF 的大小 求二面角 E OF A 的大小 F A C D E B O AB CD FEO F AF ED N C B 用心 爱心 专心 求点 D 到面 EOF 的距离 22 如图 平行六面体 1111 ABCDABC D 的底面是菱形 11 CCBCCDBCD 600 证明 1 BDCC 若点 E 为 1 AB的中点 证明 1 D E 平面 1 BDC 若 1 3 2 2 CDCC 求二面角 1 CBDC 的大小 理科做 当比值 1 CD CC为多少时 能使 1 AC 平面 1 BDC 并给出证明 九 空间向量及运算参考答案九 空间向量及运算参考答案 一 选择题 A BC D A1 B1 E C1 D1 用心 爱心 专心 1 C 2 B 3 B 4 D 5 B 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 D 二 填空题 13 0 14 3 6 15 平面 1 1 BCD A 16 18 三 解答题 17 1 1 2 2 1 1 3 2 1 a tbt tt a btt 1 1 0a tbt a ba tbt a b 21 3 4 1 0tttt 解得26t 2 2 2 1 2 2 1 xa bxx aybyy 22 1 221 xx xa bayb yy A 化简得 1xy 18 1 当 2 2 2222 22 22 2 a ba b uata b t bb ta bb 当 2 a b t b 时 u 取最小值 2 当u 最小时 2 a b a tbab b 2 0 a b b a tba bb ba b a b b ba tb 19 假设在直线 CC上存在一点 N 使得 MNAB 设 CNxBB 由题意可得 1 2 MCBC ABABBB MNMC CN 2 3 AB B C 0ABMNAB MN 即 0ABBBMC CN 0AB MCBB MCAB CNBB CN 2 cos 0AB MCAB MCx BB 11 40 416 xx 即在直线 CC上存在一点 N 当 1 8 CN 时 ABMN Y Z B M C N C A A B X 用心 爱心 专心 20 1 作MP BCA交 AB 于点 P 连结 PN 则MP 平面 ABEF MPAB MPBN 由已 知 CM BN a CB AB BE 1 222 2 2 1 222 ACMPAPaa PBa MNMPPBBN 2 222 2 MNMPPBBNMP PBPB BNMP BN 2222 222221 1 2 222222 aaaa aa 2 21 02 22 MNaa 2 易求 2 21 22 MNa 当 2 2 a 时 2 2 MN 即 M N 分别移到 AC BD 的中点 时 MN 的长最小 最小值为 2 2 3 取 MN 的中点 G 则 2212 2424 Gaaa 22122212 1 24242424 GAaaa GBaaa 1 cos 3 GA GB GA GB 二面角为 1 arccos 3 21 1 以 O 点为原点 以 OB OC OD 的方向为 x y z轴的正 方向 建立如图所示的坐标系 设ABa 则 2222 0 0 4444 FaaEaa 22 0 44 OEaa 22 0 44 OFaa B 11 22 OEa OFa 12 cos 23 OE OF EOFEOF OE OF 2 设平面 EOF 的单位法向量为 x y z 则 F B Z C X Y D E AO 用心 爱心 专心 222 1 22 0 44 22 0 44 xyz ayaz axay 解得 333333 333333 x y zx y z 取 1 333 333 nx y z 又平面 FOA 的单位法向量 1 0 0 1 n 12 3 cos 3 n n 所求二面角的大小为 3 arccos 3 3 222 0 0 0 244 Da Eaa 22 0 44 DEaa 点 D 到平面 EOF 的距离为 1 6 6 DE na 22 1 1111 CC BDCCCD CBCC CD CC CB 1111 cos cos CCCDCC CDCCCBCC CB ABCD 是菱形 0 111 60 0CCDCCBCC BD 得 1 CCBD 2 由题意 点 E 是 1 AB的中点 则 11 11 11 DED AABBE 11 111 222 CB CDBBBACBCDCC 因为 11 BCCCCB BDCD CB 所以 11 CBCCBCBD 11 11 22 DEBCBD 因为 1 BC 与BD 不共线 所以 1 DE 与 1 BC BD 共面 得 1 DEA平面 1 BDC 3 设0ACBD 则点 O 为 BD 中点 由BCD 是等边三角形 知 COBD 又 11 BCDC 得 1 COBD 所以 1 COC 是二面角 1 CBD C 的平面角 依题意 有 2 2 2 111 3 COCOCOCC CDDO 用心 爱心 专心 222 111 222CCCDDOCC CDCD DODO CC 00 939 4 1 22cos1202 2cos120 424 所以 1 3 2 CO 所以 222 11 1 1 3 cos 23 COOCCC OC OC CO OC 二面角 1 CBD C 的大小是 3 cos 3 arc 4 理科做 由 1 已证 1 BDCC 又BDAC