最新港澳台联考数学模拟试题

最新港澳台地区入学考试模拟试卷最新港澳台地区入学考试模拟试卷 这份试卷共三个大题 共这份试卷共三个大题 共 27 小题小题 满分满分 150 分分 考试时间为考试时间为 120 分钟分钟 第一部分第一部分 选择题选择题 共共 6060 分分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 设全集 集合 集合 则 0 1 2 3 4 U 0 1 2 A 2 3 B UA B A B C D 1 2 3 4 0 1 2 3 4 2 3 4 2 复数 则复数在复平面内对应的点位于 1 3iz 2 1iz 1 2 z z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几 何体的全面积为 A 3 2 B 2 C 3 D 4 4 设是定义在上的奇函数 且当时 则 f xR0 x 23 x f x 2 f A B C D 1 1 4 1 11 4 5 已知等差数列的公差 它的第 1 5 17 项顺次成等比数列 则这个等比数列的公比是 n a0d A B C D 432 1 2 6 函数的零点所在的大致区间是 2 ln 1 f xx x A B C D 0 1 1 2 2 e 3 4 7 已知命题 若则 为真 则下列命题中一定为真的是 pq A 若则B 若则 C 若则D 若则p q q p qpq p 8 如图 已知 从点射出的光线经直线反向后再射到直线上 最后经直线反射 4 0 A 0 4 B 2 0 PABOBOB 后又回到点 则光线所经过的路程是 P A B C D 2 1063 32 5 主视图左视图 俯视图 9 电流强度 安 随时间 秒 变化的函数 的图像如图所示 则当时 It sin 6 IAt 0A 0 1 50 t 电流强度是 A 安5 B 安5 C 安5 3 D 安10 10 若函数在上是增函数 则实数的取值范围是 2 3 kk h xx x 1 k A B C D 2 2 2 2 11 甲 乙两人各抛掷一次正方体骰子 它们的六个面分别标有数字 设甲 乙所抛掷骰子朝上的面1 2 3 4 5 6 的点数分别为 则满足复数的实部大于虚部的概率是 xyixy A B C D 1 6 5 12 7 12 1 3 12 在平面上 横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点 对任意 连接原点与点 用表xOyn NO 4 n P n n g n 示线段上除端点外的整点个数 则 n OP 2008 g A B C D 1234 二 填空题 本大题共 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 13 在中 分别为角 的对边 若 则边的长等于 ABC abAB60B 75C 8a b 14 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试 由于其中两所学校的考试时间相同 因此该 学生不能同时报考这两所学校 该学生不同的报考方法种数是 用数字作答 15 在中 两直角边分别为 设为斜边上的高 则 由此类比 三棱锥中的Rt ABC abh 222 111 hab SABC 三条侧棱 两两垂直 且长度分别为 设棱锥底面上的高为 则 SASBSCabcABCh 16 已知定义在区间上的函数的图像如图所示 对于满足的任意 给出下列结论 0 1 yf x 12 01xx 1 x 2 x 2121 f xf xxx 2112 x f xx f x 1212 22 f xf xxx f 其中正确结论的序号是 把所有正确结论的序号都填上 17 在极坐标系中 圆的圆心的极坐标是 它与方程 所表示的图形的交点的极坐标2cos 4 0 是 18 不等式选讲选做题 已知点是边长为的等边三角形内一点 它到三边的距离分别为 则 P2 3xyzx 所满足的关系式为 的最小值是 yz 222 xyz 19 图 1 2 3 4 分别包含 1 个 5 个 13 个 25 个第二十九届北京奥运会吉祥物 福娃迎迎 按同样 的方式构造图形 设第个图形包含个 福娃迎迎 则 n f n 5 f 1 f nf n 答案用数字或的解析式表示 n 20 通过点 2 1 3 做平面 x 2y 2z 11 0 的垂线 则平面上的垂足为 三 解答题 在第三题 三 解答题 在第三题 2121 2222 2323 题中任选两题 理工考生做 题中任选两题 理工考生做 2424 2525 题 文史考生做题 文史考生做 2626 2727 题 解答应写出文题 解答应写出文 字说明 演算步骤或推证过程 字说明 演算步骤或推证过程 21 已知向量 函数 1sin2 sincos axxx 1 sincos bxx f xa b 求的最大值及相应的的值 本小题满分 14 分 f xx 若 求的值 8 5 f cos22 4 22 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处 小球将自由下落 小球在 下落的过程中 将 3 次遇到黑色障碍物 最后落入袋或袋中 已知小球每次遇到黑色障碍物时 向左 右两边下AB 落的概率都是 本小题满分 14 分 1 2 求小球落入袋中的概率 A P A 在容器入口处依次放入 4 个小球 记为落入袋中的小球个数 试求的概率和的数学期望 A3 E 23 如图所示的几何体中 平面 ABCDEDA EABCBDA2EADAABCB 是的中点 本小题满分 14 分 EAAB MEC 求证 DMEB 求二面角的余弦值 MBDA M C E D A B 24 本小题满分 15 分 文史类考生不做 在平面直角坐标系中 已知点 是平面内一动点 直线 2 0 A 2 0 B PPA 的斜率之积为 求动点的轨迹的方程 PB 3 4 PC 25 已知 直线 与函数 的图像都 lnf xx 2 17 22 g xxmx 0m l f x g x 相切 且与函数的图像的切点的横坐标为 1 本小题满分 15 分 文史类考生不做 f x 1 求直线 的方程及的值 lm 2 若 其中是的导函数 求函数的最大值 1 h xf xg x g x g x h x 26 在平面直角坐标系中 已知点 是平面内一动点 直线 2 0 A 2 0 B PPA 的斜率之积为 求动点的轨迹的方程 本小题满分 15 分 理工类考生不做 PB 3 4 PC 27 已知 直线 与函数 的图像都 lnf xx 2 17 22 g xxmx 0m l f x g x 相切 且与函数的图像的切点的横坐标为 1 本小题满分 15 分 理工类考生不做 f x 1 求直线 的方程及的值 lm 2 若 其中是的导函数 求函数的最大值 1 h xf xg x g x g x h x 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个备选项中 有且只有一项是符合要 求的 题号 123456789101112 答案 DBACBBCABABC 二 填空题 本大题共 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 三 13 14 15 4 616 2222 1111 habc 16 17 18 19 20 1 1 5 1 0 2 4 3xyz 3414 1 n 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 解 因为 所以 1sin2 sincos axxx 1 sincos bxx 22 1sin2sincos1sin2cos2f xxxxxx 2sin 21 4 x 因此 当 即 时 取得最大值 22 42 xk 3 8 xk k Z f x21 由及得 两边平方得 1sin2cos2f 8 5 f 3 sin2cos2 5 即 9 1sin4 25 16 sin4 25 因此 16 cos22cos4sin4 4225 22 解 记 小球落入袋中 为事件 小球落入袋中 为事件 则事件的对立事件为 而小球落AABBAB 入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下 故B 33 111 224 P B 从而 13 1 1 44 P AP B 显然 随机变量 故 3 4 4 B 3 3 4 3127 3 4464 PC 3 43 4 E 23 解 建立如图所示的空间直角坐标系 并设 则22EADAABCB 3 1 1 2 DM 2 2 0 EB 所以 从而得0DM EB DMEB 设是平面的 1 nx y z BDM 法向量 则由 及 1 nDM 1 nDB 3 1 1 2 DM 0 2 2 DB 得 可以取 1 1 3 0 2 220 nDMxyz nDByz 1 1 2 2 n 显然 为平面的法向量 2 1 0 0 n ABD 设二面角的平面角为 则此二面角的余弦值MBDA 12 12 12 1 cos cos 3 nn nn nn 24 26 解 依题意 有 化简得 3 224 PAPB yy kk xx 2x 22 1 43 xy 2x 这就是动点的轨迹的方程 PC 25 27 解 依题意知 直线 是函数在点处的切线 故其斜率l lnf xx 1 0 1 1 1 1 k f 所以直线 的方程为 l1y