辽宁省大连市2010年高三数学第一次高考模拟考试（理） 新人教版

辽宁省大连市辽宁省大连市 20102010 年高三第一次模拟考试年高三第一次模拟考试 数数 学学 试试 题 理 题 理 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 其中第 II 卷第 22 24 题为选 做题 其它题为必考题 共 150 分 考试时间 120 分钟 考生作答时 将答案答大答题纸上 在本试卷上答题无效 参考公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 knkk nn PPCkP 1 锥体体积公式ShV 3 1 其中 S 为底面面积 h 为高柱 体体积公式ShV 其中 S 为底面面积 h 为高 第第 卷卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 lg 2 xyRyNxyRxM集合NM A 0 B 1C D 1 0 2 已知某几何体的三视如图 1 则这个几何体是 A 三棱锥B 四棱锥 C 四棱柱D 四棱台 3 已知复数iz3 1 和复数iz 6 3 2 1 2 则复数 21 zz A i 2 3 2 1 B i 2 1 2 3 C i 2 3 2 1 D i 2 1 2 3 4 在等差数列 n a中 若 80 108642 aaaaa则 6 a的值为 A 4B 6C 8D 16 5 平面 平面 的一个充分条件是 A 存在一条直线 a a a B 存在一条直线 a aa C 存在两条平行直线 a b a bab D 存在两条相交直线 babaa 6 设 F 为抛物线 0 2 2 ppxy的焦点 A B C 为该抛物线上三点 当 FCFBFA 0 且FCFBFA 3 时 此抛物线的方程为 A xy2 2 B xy4 2 C xy6 2 D xy8 2 7 在可行域内任取一点 yx 如果执行如下图 2 的程序框图 那么输出数对 yx的概率 是 A 8 B 4 C 6 D 2 8 在平面直角坐标系中 动点 满足条件 01 02 02 y yx yx 动点 在曲线 2 1 1 22 yx上 则 MQ 的最小值为 A 2B 2 23 C 2 2 1 D 2 1 5 9 已知平面向量OBOAOBOAOBOA与满足 2 的夹角为 2 又 21 OAOP 21 1 0 21 OB 则点 P 的集合所表示的图形面积为 A 8B 4C 2D 1 10 给出下列四个命题 0 2 xxRx的否定是 0 2 xxRx 对于任意实数 x 有 0 0 0 xgxfxxgxgxfxf时且 则 0 xgxfx 时 函数 1 0 3 3 log aa x x xf a 是偶函数 若对 Rx 函数 f x 满足 2 xfxf 则 4 是该函数的一个周期 其中真 命题的个数为 A 1B 2C 3D 4 11 由 0 1 2 3 4 5 这六个数字组成的不重复的六位数中 不出现 135 与 24 的 六位数的个数为 A 582B 504C 490D 486 12 若关于 x 的不等式xaxsin 2cos 在闭区间 6 3 上恒成立 则实数 a 的取值范围 是 A 1 2 1 B 0 1 C 0 2 3 D 0 1 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都 必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 73 1 2 x x 的展开式中常数项是 14 过双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点作一条渐近线的垂线 垂足恰好落在曲 线1 2 2 2 2 a y b x 上 则双曲线的离心率为 15 抛掷红 蓝两颗均匀的骰子 已知点数不同 则红色骰子的点数比蓝色骰子的点数恰好 多两点的概率为 16 已知函数1 1 1 21 tx eylxlexf直线 t 为常数 且10 t 直线 21 l l与函数 xf的图 象围成的封闭图形 以及直线yl 2 轴与函数 xf的图 象围成的封闭图形如图 3 中阴影所示 当 t 变化时阴影部分 的面积的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 某选手进行 n 次射击训练 每次击中目标的概率为 P 且每次击中目标与否是相互 独立的 X 记为击中目标的次数 若随机变量 X 的数学期望 EX 3 方差 2 3 DX I 求 n P 的值 II 若这 n 次射击有 3 次或 3 次以上未击中目标 则需继续训练 求该选手需要继续训 练的概率 18 本小题满分 12 分 在ABC 中 点 M 是 BC 的中点 AMC 的三边长是连续三个正整数 且 cottanBAMC I 判断ABC 的形状 II 求BAC 的余弦值 19 本小题满分 12 分 如图 4 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCAB P 为 A1C1的中点 AB BC kPA I 当 k 1 时 求证 1C BPA II 当 k 为何值时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 4 1 并求此时二面角 A PC B 的余弦值 20 本小题满分 12 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率 2 1 e 右焦点到直线1 b y a x 的距 离 7 21 dO 为坐标原点 I 求椭圆 C 的方程 II 过点 O 作两条互相垂直的射线 与椭圆 C 分别交于 A B 两点 证明点 O 到直线 AB 的距离为定值 并求弦 AB 长度的最小值 21 本小题满分 12 分 如图 5 已知曲线 2 1 1 Nn x yC x yC n n 从 C 上的点 Qn nn yx 作 x 轴的垂线 交 n C于点 n P 再从 n P作 y 轴的垂线 交 C 于点 111 nnn yxQ 设 1 111 nnnnnn yybxxax I 求 321 aaa的值 II 求数列 n a的通项公式 III 设 1 NiQQP iii 和面积为 n i ii SnfS 1 记 求证 6 1 nf 请考生在题 22 23 24 中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做题时 用 2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4 1 几何证明选讲 22 本小题满分 10 分 如图 6 AB 是 O 的弦 C F 是 O 上的点 OC 垂直于弦 AB 过 F 点作 O 的切 线交 AB 的延长线于 D 连结 CF 交 AB 于 E 点 I 求证 DE2 DB DA II 若 BE 1 DE 2AE 求 DF 的长 选修 4 4 坐标系与参数方程 23 本小题满分 10 分 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 已知点 P 的直角坐标为 1 5 点 M 的极坐标为 2 4 若直线 l 过点 P 且倾斜角为 3 圆 C 以 M 为圆心 4 为半径 I 求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程 II 试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 选修 4 5 不等式选讲 24 本小题满分 10 分 已知对于任意非零实数 a 和 b 不等式 2 2 2 2 xxababa 恒成立 试求实数 x 的取值范围 参考答案 一 选择题 BBADDABABCCD 二 填空题 13 14 14 2 15 15 2 16 2 1 e 三 解答题 17 解 I 由 2 3 1 3 pnpDXnpEX 4 分 得 2 1 6 2 1 1 pnp从而 6 分 II 记 需要继续训练 为事件 A 则 3 XPAP 8 分 得 64 201561 Ap 32 21 12 分 18 解 I 设 MACBAM 则由 90cottanCC 得 90B 1 分 ABM 中 由正弦定理得 sin sin sinsinMB AMB B AMBM 即 同理得 sin sin MC AMC 3 分 MCMB sin sin sin sin CB BCsinsinsinsin 90 90 BC cossincossin 5 分 即 2sin2sin 90 或 当 90 时 2 1 MCBCAM 与AMC 的三边长是连续三个正整数矛盾 CB ABC 是等腰三角形 7 分 II 地直角三角形 AMC 中 设两直角边分别为 1 1 nnn斜边为 由 222 1 1 nnn得 n 4 9 分 由余弦定理或二倍角公式得 25 7 cos BAC 或 25 7 cos BAC 12 分 19 解 方法一 以点 B 为坐标原点 分别以直线 BA BC BB1为 x 轴 y 轴建立空间直 角坐标系 Oxyz I 设 AB 2 则 AB BC PA 2 根据题意得 2 1 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 PBcA 所以 22 0 2 1 1 1 CBAP 0220 11 CBPACBAP 4 分 II 设 AB 2 则 2 k AP 根据题意 0 2 0 0 0 2 CA 又因为 2 2 1 111 CAPA 所以 2 4 2 2 1 2 1 k PAAPAA 2 4 0 0 2 1 k B 2 4 1 1 2 k P AB k AP 2 4 1 1 2 平面 B1C 所以由题意得 4 1 cos ABAP 即 4 1 22 4 11 2 4 1 2 k ABAP ABAP 即 2 1 0 kk解得 即 2 1 k时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 4 1 8 分 1 APCPB面 平面 APC 的法向量 0 0 1 1 PB 设平面 BPC 的一个法向量为 14 1 1 0 2 0 BPBCzyxn 由 0 0 nBP nBC 得 014 02 zyx y 15 105 215 14 cos 1 1 1 PBn PBn PBn 所以此时二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 12 分 方法二 I 连接 B1P 因为在直三棱柱 ABC A1B1C1中 P 为 A1C1 的中点 AB BC 所以 PB1面 A1C 所以 1 APPB 又因为当 k 1 时 AB BC PA PC 90APCABC PCAP AP平面 B1PC 1C BPA 4 分 II 取线段 AC 中点 M 线段 BC 中点 N 连接 MN MC1 NC1 则 MN AB AB 平面 B1C MN平面 B1C NMC1 是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角 4 1 4 1 sin 1 1 AP MN MC MN NMC即 设 AB a 2 1 kPAABABMN 2 1 4 1 2 1 k k a a 即 2 1 k时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 4 1 8 分 此时 过点 M 作 MH 垂足为 H 连接 BH BM 平面 A1C 由三垂线定理得 BH PC 所以 BHM 是二面角 A PC B 的平面角 设 AB 2 则 BC 2 PA 4 AC 2 22 1 PAAM 在直角三角形 AA1P 中 14 2 1 2 1 PAAPAA 连接 MP 在直角三角形中 由 2 7 MHHMPCMPMC得 又由 BM 2 在直角三角形中 BMH 中 解得 2 15 BH 在直角三角形 BMH 中 15 105 2 15 2 7 cos BH MH MHB 所以二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 12 分 20 解 I 由 3 2 2 1 2 1 cbca a c e 即得 由右焦点到直线1 b y a x 的距离为 7 21 d 得 7 21 22 ba abbc 解得 3 2 ba 所以椭圆 C 的方程为 1 34 22 yx 4 分 II 设 2211 yxByxA 直线 AB 的方程为 mkxy 与椭圆1 34 22 yx 联立消去 y 得 012 2 43 2222 mkmxxkx 43 124 43 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 0 0 2121 2121 mkxmkxxx yyxxOBOA 即 0 1 2 2121 2 mxxkmxxk 0 43 8 43 124 1 2 22 2 2 2 m k mk k m k 整理得 1 127 22 km 所以 O 到直线 AB 的距离 7 212 7 12 1 2 k m d 8 分 OBOAABOBOAOBOA 2 222 当且仅当 OA OB 时取 号 由 2 2 AB OBOAABdOBOAABd 得 7 214 2 dAB 即弦 AB 的长度的最小值是 7 214 12 分 注 其他解法相应给分 21 解 I 由题意知 3 2 1 1 1 11 PQ 15 8 8 15 15 8 4 7 7 4 4 7 7 4 2 3 3 2 2 3 43322 QPQPQ 2 1 2 1 2 1 3 3 2 21 aaa 2 分 II 方法一 由 1 猜想 2 1 Nnan 下面用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 2 1 1 a已证得成立 2 假设当 n k 时 猜想成立 即 2 1 k k a 由已知得 2 1 1kk k k xxa 当 n k 1 时 由 12 121 11 kk kkk yy xxa 2 1 2 22 2 22 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 k k kkk kk kk k k k kk k k k k k k xx xxa x y x y 所以当 n k 1 时 猜想也成立 综合 1 2 得 2 1 Nna n n 6 分 III 112211 xxxxxxxx nnnnn n n nn 11 2 1 22 2 1 1 2 1 1 1222 8 分 22 1 22 1 2 1 11 2 1 1 11 nnn nn n nnnnnn xx yyxxba 122 222