辽宁省沈阳市2013届高考数学领航考试五 理

1 沈阳市第二十中学沈阳市第二十中学 20132013 届高考领航试卷届高考领航试卷 5 5 数学试卷 理 数学试卷 理 第 第 I I 卷卷 选择题 选择题 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 设集合 则满足的集合 46 327Ax yxyBx yxy CAB 的个数 C A 0 B 1 C 2 D 3 2 若复数满足 且复数在复平面上对应的点位于第二象限 则实数 a 的z 11i zai z 取值范围是 A B C D 或1a 11a 1a 1a 1a 3 在中 分别为三个内角 所对应的边 设向量 ABC a b c A B C mbc ca 若 则角的大小为 nb ca mn A A B C D 6 3 2 2 3 4 若 则大小关系是 2 2 0 ax dx 2 3 0 bx dx 2 0 sincxdx a b c A a cb B a bc C c ba D c ab 5 已知数列是公比为的等比数列 且成等差数列 则 n aq 243 a a aq A 1 B C 或 1 D 或 1 2 1 2 1 1 2 6 平面 平面的一个充分条件是 A 存在一条直线a aa B 存在一条直线a aa C 存在两条平行直线a babab D 存在两条异面直线a babab 7 如上图是一个算法的程序框图 该算法输出的结果是 A B C D 1 2 2 3 3 4 4 5 2 8 若 mxxf cos 2 对任意实数t都有 4 tftf 且 1 8 f 则实数 m的值等于 A 1 B 3 C 3 或 1 D 1 或 3 9 已知函数 f x x2 ax b a b R 在 x 2 时有极值 其图象在点 1 1 处的切线与 直线 3x y 0 平行 则函数 f x 的单调减区间为 A 0 B 0 2 C 2 D 10 将 3 个相同的黑球和 3 个相同的白球自左向右排成一排 如果满足 从任何一个位置 含这个位置 开始向左数 黑球的个数大于等于白球的个数 就称这种排列为 有效 排列 则出现 有效排列 的概率为 A B C D 1 2 1 4 1 5 1 10 11 函数的定义域为 R 对任意实数x满足 且 f x 13f xfx 当时 则的单调减区间是 13f xf x 12x f x 2 x f x A 2 2 1 B 2 1 2 C 2 2 2 kkkZ kkkZ kkkZ D 2 2 2 kkkZ 12 函数的定义域为 若满足 在内是单调函数 存在 f xD f xD 使得在上的值域也是 则称为闭函数 a bD ab f x a b a b yf x 若是闭函数 则实数k的取值范围是 f xkx A B C D 1 4 1 2 1 0 4 11 24 3 第 卷 非选择题共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在中 a b c 分别为角 A B C 的对边 则的值ABC 2 cos 22 Abc c cos 2 AB 等于 14 如果直线与圆交于 M N 两点 且 M N 关于直线1ykx 22 40 xykxmy 对称 则不等式组 表示的平面区域的面积0 xy 10 0 0 kxy kxmy y 是 15 如图 直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2 正视图和俯视图如图 所示 则其左视图的面积为 16 在平面直角坐标系中已知 ABC 的顶点 A 6 0 和 C 6 0 顶点 B 在双曲线xoy 的左支上 则 22 1 2511 xy sinsin sin AC B 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设数列的前项和为 且 n a n n S 11 1 41 nn aSak knN 1 设 求证 是等比数列 1 2 nnn baa n b 2 设 且是公差为 1 的等差数列 求及的值 2 n n n a c n ck n S 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD CD E 是 PC 的中点 1 证明 PA 平面 BDE 2 求二面角 B DE C 的平面角的余弦值 3 在棱 PB 上是否存在点 F 使 PB 平面 DEF 证明你的结论 19 本小题满分 12 分 某校设计了一个实验学科的实验考查方案 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题 按照 题目要求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中 2 题的便可提高通过 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成 2 题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 且 正视 图 俯视 图 A B DC DC AB 4 每题正确完成与否互不影响 求 1 分别写出甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算数学期望 2 试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 点 P 1 1 在抛物线 C 上 过点 P 作斜率为 k1 k2 的两条直线 2 C yax 分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 且满足 1122 A x yB xy 12 0kk I 求抛物线 C 的焦点坐标 II 若点 M 满足 MABM 求点 M 的轨迹方程 21 本小题满分 12 分 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上是增函数 求实数 a 的值组成的集合 A 设关于 x 的方程 f x x 1 的两个非零实根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得不等 式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求 m 的取值范围 若 不 存在 请说明理由 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明讲 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 BAC 的平分线 AD 交 O 于点 D DE AC 交 AC 的延长线于点 E OE 交 AD 于点 F 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 5 3 AB AC 求DF AF 的值 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知点 p x y 是圆上的动点 1 求 2x y 的取值范围 F E D C BA O 5 2 若 x y a 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 12f xxx 1 解不等式 3f x 2 若对恒成立 求实数的取值范围 f xa xR a 6 沈阳市第二十中学沈阳市第二十中学 20132013 届高考领航试卷届高考领航试卷 5 5 数学试卷 理 数学试卷 理 一 选择题 1 C 2 A 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 B 10 B 11 A 12 C 二 填空题 13 2 2 14 1 4 15 2 3 16 6 5 三 解答题 17 解 I 121 4 4 nnnn Sak Sak 21 44 nnn aaa 21 1 22 2 2 nnnnnn aaaabb 211212121 44321Sakaaakakbaak 1 10kb n b 是等比数列 由 I 知 1 1 2n n bk 1 1 2 1 2n nn aak 1 1 1 224 nn nn aak n C 的公差为 1 1 13 4 k k 1 3 32 2 n n Sn 18 解 1 以 D 为坐标原点 分别以 DA DC DP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直 角坐标系 设 PD CD 2 则 A 2 0 0 P 0 0 2 E 0 1 1 B 2 2 0 2 0 2 PA 0 1 1 2 2 0 DE DB 设 x y z 是平面 BDE 的一个法向量 n 则由 得 取 1 1 1 1 y z 0 2x 2y 0 n1 2 2 0 又 PA 平面 BDE PA 平面 BDE n PA n1 2 由 1 知 1 1 1 是平面 BDE 的一个法向量 又 2 0 0 是平面 DEC 的一个法向 n1 n2 DA 量 设二面角 B DE C 的平面角为 由图可知 n1 n2 7 cos cos 故二面角 B DE C 余弦值为 n1 n2 3 2 2 2 0 1 1 0 2 2 0 PB DE PB DE PB DE 假设棱 PB 上存在点 F 使 PB 平面 DEF 设 0 1 PF PB 则 2 2 2 2 2 2 2 PF DF DP PF 由 0 得 4 2 4 2 2 2 2 0 PF DF 0 1 此时 PF PB 即在棱 PB 上存在点 F PF PB 使得 PB 平面 DEF 1 3 1 3 1 3 19 解 1 设考生甲 乙正确完成实验操作的题数分别为 则 取值分别为 1 2 3 取值分别为 0 1 2 3 5 1 1 3 6 2 2 1 4 C CC P 5 3 2 3 6 1 2 2 4 C CC P 5 1 3 3 6 0 2 3 4 C CC P 考生甲正确完成题数的概率分布列为 2 5 1 3 5 3 2 5 1 1 E 0 P 27 1 3 2 1 30 3 C 同理 27 6 1 P 27 12 2 P 27 8 3 P 考生乙正确完成题数的概率分布列为 2 27 8 3 27 12 2 27 6 1 27 1 0 E 2 5 2 5 1 32 5 3 22 5 1 12 222 D 3 2 27 8 32 27 12 22 27 6 12 27 1 02 2222 D 或 3 2 3 1 3 2 3 npqD DD 8 0 5 1 5 3 2 P 74 0 27 8 27 12 2 P 2 2 PP 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从做对题数的方差考察 甲较稳定 从至少完 成 2 题的概率考察 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 说明 只根据数学期望与方差得出结论 也给分 20 解 I 将 P 1 1 代入抛物线 C 的方程 2 axy 得 a 1 抛物线 C 的方程为 2 xy 即 2 yx 123 p 5 1 5 3 5 1 0123 p 27 1 27 6 27 12 27 8 8 焦点坐标为 F 0 4 1 4 分 II 设直线 PA 的方程为 1 1 1 xky 联立方程 1 1 2 1 xy xky 消去 y 得 01 11 2 kxkx 则 1 11 1111 kxkx即 由 2 0 2 1 4 1 2 11 2 1 kkkk得 6 分 同理直线 PB 的方程为 1 1 2 xky 联立方程 1 1 2 2 xy xky 消去 y 得 01 22 2 kxkx 则 2 1 11 22222 kkxkx且即 又 2 0 121 kkk 8 分 设点 M 的坐标为 x y 由 2 21 xx xMABM 则 2 2 2 11 2121 kkkk x 又 1 0 21 xkk 10 分 5 2 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 121 yk k kkkkxxyy y 又 所求 M 的轨迹方程为 51 1 yyx且 12 分 21 解 解 f x 22 2 2 224 x xax 22 2 2 2 2 x axx f x 在 1 1 上是增函数 f x 0 对 x 1 1 恒成立 即 ax 2 0 对 x 1 1 恒成立 2 x 设 x ax 2 2 x 方法一 1 1 a 2 0 1 1 a 2 0 1 a 1 9 对 x 1 1 f x 是连续函数 且只有当 a 1 时 f 1 0 以及当 a 1 时 f 1 0 A a 1 a 1 方法二 2 a 0 2 a 0 2 x 2 a x1 x2 是方程 ax 2 0 的两非零实根 2 x x1 x2 a x1x2 2 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 2 m 当且仅当 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 2 m 即 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 2 m 设 g t tm 2 mt 2 2 m 2 m 方法一 g 1 m 2 0 2 m g 1 m 2 0 2 m m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 2 m 其取值范围是 m m 2 或 m 2 方法二 当 m 0 时 显然不成立 当 m 0 时 10 m 0 m 0 g 1 m2 m 2 0 或 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 2 m 其取值范围是 m m 2 或 m 2 22 略证 连结 OD 可得 ODA OAD DAC 2 分 OD AE 又 AE DE 3 分 DE OD 又 OD 为半径 DE 是的 O 切线 5 分