高三数学奥赛系列辅导资料：几何不等式测试题

用心 爱心 专心 几何不等式测试题几何不等式测试题 1 在 ABC 中 M 为 BC 边的中点 B 2 C C 的平分线交 AM 于 D 证明 MDC 45 2 设 NS 是圆 O 的直径 弦 AB NS 于 M P 为弧上异与 N 的任一点 PS 交 AB 于 R PM 的延长线交圆 O 于 Q 求证 RS MQ 3 在 ABC 中 设 A B C 的平分线交外接圆于 P Q R 证明 AP BQ CR BC CA AB 4 过 ABC 内一点 O 引三边的平行线 DE BC FG CA HI AB 点 D E F G I 都在 ABC 的边上 表示六边形 DGHEFI 的面积 表示 ABC 的面积 求证 5 求证 ABC 的内心 I 到各顶点的距离之和不小于重心 G 到各边距离之和的 2 倍 6 凸四边形 ABCD 具有性质 1 AB AD BC 2 在其内部有点 P P 点到 CD 的距离 为 h 并使 AP h AD BP h BC 求证 7 设 H 为锐角 ABC 的垂心 A1 B1 C1 分别为 AH BH CH 与 ABC 外接圆的交点 求证 其中等号当且仅当 ABC 为正三角形时成 立 8 一凸四边形内接于半径为 1 的圆 证明 四边形周长与其对角线之和的差值 u 满足 0 uAC 直线 EF 交 BC 于 P 过点 D 且平行于 EF 的直线分别交 AC AB 于 Q R N 是 BC 上的一点 且 NQP NRP 180 求证 BN CN 参考答案参考答案 同步达纲练习同步达纲练习 1 设 B 的平分线交 AC 于 E 易证 EM BC 作 EF AB 于 F 则有 EF EM AE EF EM 从而 EMA EAM 即 90 AMB EAM 又 2 MDC 2 MAC ACD 2 MAC ACM MAC AMB 90 AMD MAC 2 MDC MDC 45 2 连结 NQ 交 AB 于 C 连结 SC SQ 易知 C Q S M 四点共圆 且 CS 是该圆的直径 于是 CS MQ 再证 Rt SMC Rt SMR 从而 CS RS 故有 RS MQ 3 设的内心为 I 由 IA IB AB IB IC BC 即 2 AP IP BQ IQ CR IR AB BC CA 1 用心 爱心 专心 连 AR AIR IAR IR AR 又 AR BR 同理 2 由 1 2 即得 AP BQ CR AB BC CA 4 如图 8 设三边长分别为 a b c IF x EH y DG z 则依题意有 易知 OE CF 同理 所以 由柯西不等式 从而 于是 5 设 G 到各边距离为由 r 为内切圆半径 得又 艾尔多斯 莫德尔不等式 故 即 AI BI CI 2 r1 r2 r3 6 分别以 A B P 为圆心 AD BC h 为半径作圆 三圆两两外切 EF 为 A B 外 公切线 P 与 EF 相切时 h 最大 此时设 AD r BC R P 半径为 m 则 化简得 用心 爱心 专心 即 由知命题成立 7 由外接圆心 O 向 BC 作垂线 OD 于 D 则 AH 2 OD DOC A 故 HA 2OD 2RcosA 同理 HB 2RcosB HC 2RcosC 由 BC 是的垂直平分线 得 同理 于是原不等式等价于 而 2 cosBcosC cosCcosA cosAcosB 故 8 如图 引进有关边长 对角线 角的记号 则 a d e d c f c b e b a f 四式相加