高考数学试题分类详解概率与统计

用心 爱心 专心 高考数学试题分类详解高考数学试题分类详解 概率与统计概率与统计 一 选择题 1 山东文理 8 某班 50 名学生在一次百米测试中 成绩全部介 于 13 秒与 19 秒之间 将测试结果按如下方式分成六 组 每一组 成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒 第二 组 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒 第六组 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒 右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图 设成绩小于 17 秒 的学生人数占全班人数的百分比为 成绩大于等于x 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 则从频率分布直方y 图中可以分析出和分别为 xy A B 0 9 35 0 9 45 C D 0 135 0 145 答案答案 A 分析分析 从频率分布直方图上可以看出 1 0 060 04 0 9x 50 0 360 34 35y 2 山东文 12 设集合 分别从集合和中随机取一个数和 12 12 3 AB ABab 确定 平面上的一个点 记 点落在直线上 为事件 P ab P ab xyn 若事件的概率最大 则的所有可能值为 25 n Cnn N n Cn A 3B 4C 2 和 5D 3 和 4 答案答案 D 试题分析试题分析 事件的总事件数为 6 只要求出当 n 2 3 4 5 时 n C 的基本事件个数即可 当 n 2 时 落在直线上的点为 1 1 2xy 当 n 3 时 落在直线上的点为 1 2 2 1 3xy 当 n 4 时 落在直线上的点为 1 3 2 2 4xy 当 n 5 时 落在直线上的点为 2 3 5xy 013 14 15 16 17 18 19 秒 频率 组距 0 02 0 04 0 06 0 18 0 34 0 36 用心 爱心 专心 显然当 n 3 4 时 事件的概率最大为 n C 1 3 3 广东理8 在一个袋子中装有分别标注数字1 2 3 4 5的五个小球 这些小球除 标注的数字外完全相同 现从中随机取出2个小球 则取出的小球标注的数字之和为3或6 的概率是 解析 随机取出2个小球得到的结果数有种 提倡列举 取出的小球标注的 1 5 410 2 数字之和为3或6的结果为共3种 故所求答案为 A 1 2 1 5 2 4 4 山东理 12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动 质点每次移动一个单位 移 动的方向为向上或向右 并且向上 向右移动的概率都是 质点 P 移动 5 次后位于点 1 2 的概率为 2 3 A B C D 5 1 2 25 5 1 2 C 33 5 1 2 C 235 55 1 2 C C 答案答案 B 分析分析 质点在移动过程中向右移动 2 次向上移动 3 次 因此质点 P 移动 5 次后位于点的概率为 2 3 223 5 11 1 22 PC 5 安徽理 10 以表示标准正态总体在区间 内取值的概率 若随机变量 x x 服从正态分布 则概率等于 2 N P A B 1 1 C D 1 2 解析 以表示标准正态总体在区间 内取值的概率 若随机变量服从正态 x x 分布 则概率 2 N P PP 选 B 1 1 6 福建理 12 如图 三行三列的方阵有 9 个数 i 1 2 3 j 1 2 3 从中任取 三个数 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 用心 爱心 专心 A B C D 7 3 7 4 14 1 14 13 解析 从中任取三个数共有种取法 没有同行 同列的取法有 至少84 3 9 C6 1 1 1 2 1 3 CCC 有两个数位于同行或同列的概率是 选 D 14 13 84 6 1 7 湖南理 5 设随机变量服从标准正态分布 已知 01 N 1 96 0 025 则 1 96 P A 0 025B 0 050C 0 950D 0 975 答案 C 解析 服从标准正态分布 01 N 1 96 1 961 96 PP 1 96 1 96 1 2 1 96 1 2 0 0250 950 8 湖南文 7 根据某水文观测点的历史统计数据 得到某条河流水位的频率分布直方图 如图 2 从图中可以看出 该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位 是 A 48 米 B 49 米 C 50 米 D 51 米 答案 C 解析 由频率分布直方图知水位为 50 米的频率 组距为 1 即水文观测点平均至少一百 年才遇到一次的洪水的最低水位是 50 米 9 江西理 10 将一骰子连续抛掷三次 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 图 2 用心 爱心 专心 1 9 1 12 1 15 1 18 解析 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个 其中为等差数列有三类 1 公差为 0 3 6 的有 6 个 2 公差为 1 或 1 的有 8 个 3 公差为 2 或 2 的有 4 个 共有 18 个 成等 差数列的概率为 选 B 12 1 6 18 3 10 江西文 6 一袋中装有大小相同 编号分别为的八个球 从中有放回地12 3 4 5 6 7 8 每次取一个球 共取 2 次 则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为 1 32 1 64 3 32 3 64 解析 从中有放回地取 2 次 所取号码共有 8 8 64 种 其中和不小于 15 的有 3 种 分别是 7 8 8 7 8 8 故所求概率为选 D 3 64 P 11 湖北理 9 连掷两次骰子得到的点数分别为和 记向量与向量mn mn a 的夹角为 则的概率是 11 b 0 A B C D 5 12 1 2 7 12 5 6 答案 选 C 解析 由向量夹角的定义 图形直观可得 当点位于直线上及其下方时 满 A m nyx 足 点的总个数为个 而位于直线上及其下方的点0 A m n6 6 yx 有个 故所求概率 选 C A m n 1111 2345 6 121CCCC 217 3612 12 湖北理 6 为了了解学校学生的身体发育情况 抽查了该校 100 名高中男生的体重情 况 根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右 图所示 根据此图 估计该校 2000 名高中男生中体 重大于 70 5 公斤的人数为 A 300 B 350 C 420 D 450 答案 选 B 解析 70 5 公斤以上的人数的频率为 0 04 0 035 0 018 2 0 166 70 5 公斤以上的人 数为 2000 0 166 332 选 B 图形数据不太准确 13 湖北文 7 将 5 本不同的书全发给 4 名同学 每名同学至少有一本书的概率是 用心 爱心 专心 A B 64 15 128 15 C D 125 24 125 48 答案 选 A 解析 将 5 本不同的书全发给 4 名同学共有 45种发法 其中每名同学至少有一本书的发法 有 故每名同学至少有一本书的概率是 P 选 A 4 4 2 5A C 64 15 45 4 4 2 5 AC 14 浙江理 5 已知随机变量服从正态分布 2 2 N 则 4 0 84P 0 P A B C D 0 160 320 680 84 答案答案 A A 分析分析 由又 22 4 22 0 84 PPP 故选A A 2222 0 22 1 0 16 PPPP 15 浙江文8 甲 乙两人进行乒乓球比赛 比赛规则为 3局2胜 即以先赢2局者为 胜 根据经验 每局比赛中甲获胜的概率为0 6 则本次比赛甲获胜的概率是 A1 0 216 B 0 36 C 0 432 D 0 648 答案答案 D 分析分析 甲获胜有两种情况 一是甲以2 0获胜 此时 2 1 0 60 36p 二是甲以2 1获胜 此时 故甲获胜的概率 1 22 0 6 0 4 0 60 288pC 12 0 648ppp 16 海 宁理 11 文 12 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次 三人的测 试成绩如下表 123 sss 分别表示 甲 乙 丙三名运 动员这次测试成绩 的标准差 则有 312 sss 213 sss 123 sss 231 sss 答案答案 B 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 用心 爱心 专心 分析分析 789 10 5 8 5 20 x 甲 2222 2 1 5 78 5 88 5 98 5 108 5 1 25 20 s 7 10 6 89 4 8 5 20 x 乙 2222 2 2 6 78 5 108 5 4 88 5 98 5 1 45 20 s 7 10 4 89 6 8 5 20 x 丙 2222 2 3 4 78 5 108 5 6 88 5 98 5 1 05 20 s 22 213213 ssssss 2 由得 17 重庆理 6 文 7 从 5 张 100 元 3 张 200 元 2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 A B C D 4 1 120 79 4 3 24 23 答案答案 C 分析分析 可从对立面考虑 即三张价格均不相同 111 532 3 10 3 1 4 C C C P C 18 辽宁理 9 文 10 一个坛子里有编号为 1 2 12 的 12 个大小相同的球 其中 1 到 6 号球是红球 其余的是黑球 若从中任取两个球 则取到的都是红球 且至少有 1 个 球的号码是偶数的概率是 A B C D 1 22 1 11 3 22 2 11 解析 从中任取两个球共有种取法 其中取到的都是红球 且至少有 1 个球的号66 2 12 C 码是偶数的取法有种取法 概率为 选 D12 2 3 2 6 CC 11 2 66 12 19 四川理 12 已知一组抛物线 其中为 2 4 6 8 中任取的一个 2 1 1 2 yaxbx a 数 为 1 3 5 7 中任取的一个数 从这些抛物线中任意抽取两条 它们在与直线b 交点处的切线相互平行的概率是 1x A B C D 1 12 7 60 6 25 5 16 用心 爱心 专心 解析 选 B 这一组抛物线共条 从中任意抽取两条 共有种不同的4 416 2 16 120C 方法 它们在与直线交点处的切线的斜率 若 有两种情1x 1 xkyab 5ab 形 从中取出两条 有种取法 若 有三种情形 从中取出两条 有种取 2 2 C7ab 2 3 C 法 若 有四种情形 从中取出两条 有种取法 若 有三种情形 9ab 2 4 C11ab 从中取出两条 有种取法 若 有两种情形 从中取出两条 有种取 2 3 C13ab 2 2 C 法 由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种 故 22222 23432 14CCCCC 所求概率为 7 60 20 四川文 3 某商场买来一车苹果 从中随机抽取了 10 个苹果 其重量 单位 克 分 别为 150 152 153 149 148 146 151 150 152 147 由此估计这车苹果单个重 量的期望值是 A 150 2 克 B 149 8 克 C 149 4 克 D 147 8 克 解析 选 21 陕西文 6 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别 有 40 种 10 种 30 种 20 种 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 若采 用分层抽样的方法抽取样本 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 共有食品 100 种 抽取容量为 20 的样本 各抽取 故抽取植物油类与果蔬类 5 1 食品种数之和为 2 4 6 选 C 二 填空题 1 天津文 11 从一堆苹果中任取了 20 只 并得到它们的质量 单位 克 数据分布表如 下 分组 90100 100110 110120 120130 130140 140150 频数123101 则这堆苹果中 质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的 解 70 解析 由表中可知这堆苹果中 质量不小于 120 克的苹果数为 20 1 2314 故约占苹果总数的 00 14 0 7070 20 2 全国 1 文 13 从自动打包机包装的食盐中 随机抽取 20 袋 测得各袋的质量分别为 单位 g 用心 爱心 专心 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理 该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497 5g 501 5g 之间的概率约为 解 自动包装机包装的袋装食盐质量在 497 5g 501 5g 之间的概率约为 P 0 25 5 20 3 广东理 9 甲 乙两个袋子中均装有红 白两种颜色的小球 这些小球除颜色外完全相 同 其中甲袋装有 4 个红球 2 个白球 乙袋装有 1 个红球 5 个白球 现分别从甲 乙两 袋中各随机抽取 1 个球 则取出的两球是红球的概率为 答案用分数表示 答案 2 9 解析 412 669 4 全国 2 理 14 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 若 在 0 1 内取值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 解 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 正态分布图象的对称轴 为 x 1 在 0 1 内取值的概率为 0 4 可知 随机变量 在 1 2 内取值的概率于 在 0 1 内取值的概率相同 也为 0 4 这样随机变量 在 0 2 内取值的概率为 0 8 5 全国 2 文 13 一个总体含有 100 个个体 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容 量为 5 的样本 则指定的某个个体被抽到的概率为 解 一个总体含有 100 个个体 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本 则指定的某个个体被抽到的概率为 1 20 6 安徽文 14 在正方体上任意选择两条棱 则这两条棱相互平行的概率为 解析 在正方体上任意选择两条棱 有种可能 这两条棱相互平行的选法有 2 12 66C 种 所以概率 2 4 318C 183 6611 P 7 上海文 9 在五个数字中 若随机取出三个数字 则剩下两个数字都是奇数1 2 3 4 5 的概率是 结果用数值表示 答案答案 3 0 解析解析 剩下两个数字都是奇数 取出的三个数为两偶一奇 所以剩下两个数字都是奇数 的概率是 21 23 3 5 3 0 3 10 C C P C 8 福建理 15 两封信随机投入 A B C 三个空邮箱 则 A 邮箱的信件数 的数学期望 用心 爱心 专心 解析 的取值有 0 1 2 9 1 2 9 4 9 1 9 4 9 22 0 1 2 1 2 p CC pp 所以 E 3 2 9 1 2 9 4 1 9 4 0 9 湖北文理 14 某篮运动员在三分线投球的命中率是 他投球 10 次 恰好投进 3 个球 1 2 的概率 用数值作答 答案 15 128 解析 由题意知所求概率 37 3 10 1115 22128 pC 10 浙江理 15 随机变量的分布列如下 1 01 P abc 其中成等差数列 若则的值是 abc 1 3 E D 答案答案 5 9 分析分析 成等差数列 有abc 2 bac 1 abc 1 11 3 Eacca 联立三式得 111 632 abc 222 1111215 1 3633329 D 11 浙江文13 某校有学生2000人 其中高三学生500人 为了解学生的身体素质情况 采 用按年级分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个200人的样本 则样本中高三学生的人数 为 答案答案 50 分析分析 分层抽样即是按比例抽样 易知抽样比例为10 1 故500名高三学生应抽取的人 数为50人 三 解答题 1 重庆理 18 本小题满分 本小题满分 13 分 其中 分 其中 小问 小问 4 分 分 小问 小问 9 分 分 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金 对900 在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位可获元的赔偿 假设每辆车最多只赔偿一次 9000 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 且各车是否发生事故相 1 9 1 10 1 11 用心 爱心 专心 互独立 求一年内该单位在此保险中 获赔的概率 获赔金额的分布列与期望 18 本小题 13 分 解 设表示第辆车在一年内发生此种事故 由题意知 独立 k Ak12 3k 1 A 2 A 3 A 且 1 1 9 P A 2 1 10 P A 3 1 11 P A 该单位一年内获赔的概率为 123123 89103 1 1 1 9101111 P A A AP A P A P A 的所有可能值为 090001800027000 123123 89108 0 9101111 PP A A AP A P A P A 123123123 9000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 19108110891 910119101191011 24211 99045 123123123 18000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 1110191811 910119101191011 273 990110 123123 27000 PP A A AP A P A P A 1111 91011990 综上知 的分布列为 090001800027000 用心 爱心 专心 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求的期望有两种解法 解法一 由的分布列得 81131 090001800027000 1145110990 E 元 29900 2718 18 11 解法二 设表示第辆车一年内的获赔金额 k k12 3k 则有分布列 1 1 09000 P 8 9 1 9 故 1 1 90001000 9 E 同理得 2 1 9000900 10 E 3 1 9000818 18 11 E 综上有 元 123 1000900818 182718 18EEEE 2 四川理 18 本小题满分 12 分 厂家在产品出厂前 需对产品做检验 厂家将一批产 品发给商家时 商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验 以决定是否接收这 批产品 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0 8 从中任意取出 4 件进行检验 求至少有 1 件是合格品的概率 若厂家发给商家 20 件产品 其中有 3 件不合格 按合同规定该商家从中任取 2 件 都进行检验 只有 2 件都合格时才接收这批产品 否则拒收 求该商家可能检验出不合格产 品数的分布列及期望 并求该商家拒收这批产品的概率 E 本题考察相互独立事件 互斥事件等的概率计算 考察随机事件的分布列 数学期望 等 考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力 解 记 厂家任取 4 件产品检验 其中至少有 1 件是合格品 为事件 A 用对立事件 A 来算 有 4 11 0 20 9984P AP A 可能的取值为 0 1 2 用心 爱心 专心 2 17 2 20 136 0 190 C P C 11 317 2 20 51 1 190 C C P C 2 3 2 20 3 2 190 C P C 1365133 012 19019019010 E 记 商家任取 2 件产品检验 都合格 为事件 B 则商家拒收这批产品的概率 13627 11 19095 PP B 所以商家拒收这批产品的概率为 27 95 3 天津理 18 本小题满分 12 分 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球 现从甲 乙两个盒内各任取 2 个球 求取出的 4 个球均为黑球的概率 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 设为取出的 4 个球中红球的个数 求的分布列和数学期望 本小题主要考查互斥事件 相互独立事件 离散型随机变量的分布列和数学期望等基 础知识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 为事件 从乙盒内取出的 2 个球均为A 黑球 为事件 由于事件相互独立 且 BAB 2 3 2 4 1 2 C P A C 2 4 2 6 2 5 C P B C 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 121 255 P A BP A P B 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 从乙盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 为事件 从甲盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 从乙盒内取C 出的 2 个球均为黑球 为事件 由于事件互斥 DCD 且 211 324 22 46 4 15 CC C P C CC 12 34 22 46 1 5 CC P D CC 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 417 15515 P CDP CP D 解 可能的取值为 由 得 012 3 1 0 5 P 7 1 15 P 0 12 P 136 190 51 190 3 190 用心 爱心 专心 从而 1 3 22 46 11 3 30 C P CC 3 2 1 0 1 3 10 PPPP 的分布列为 0123 P 1 5 7 15 3 10 1 30 的数学期望 17317 0123 51510306 E 4 天津文 18 本小题满分 12 分 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球 乙盒 内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球 现从甲 乙两个盒内各任取 2 个球 求取出的 4 个球均为红球的概率 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 18 本小题主要考查互斥事件 相互独立事件等概率的基础知识 考查运用概率知识解 决实际问题的能力 满分 12 分 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为红球 为事件 从乙盒内取出的 2 个球均为A 红球 为事件 由于事件相互独立 且BAB 2 3 2 7 C1 C7 P A 2 3 2 9 C5 C18 P B 故取出的 4 个球均为红球的概率是 155 718126 P A BP A P B AA 解 设 从甲盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 从乙盒内取出的 2 个 红球为黑球 为事件 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 从乙盒内取出的 2 个球中 1C 个是红球 1 个是黑球 为事件 由于事件互斥 且DCD 112 344 22 79 C CC2 CC21 P C A 112 524 22 75 C CC10 CC63 P D A 故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为 21016 216363 P CDP CP D 5 陕西文 18 本小题满分 12 分 某项选拔共有三轮考核 每轮设有一个问题 能正确 回答问题者进入下一轮考试 否则即被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三轮的问 题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响 5 4 5 3 5 2 求该选手被淘汰的概率 该选手在选拔中回答问题的个数记为 求随机变量 的分布列与数数期望 注 用心 爱心 专心 本小题结果可用分数表示 解法一 记 该选手能正确回答第 轮的问题 的事件为 则i 12 3 i A i 1 4 5 P A 2 3 5 P A 3 2 5 P A 该选手被淘汰的概率 112223112123 PP AA AA A AP AP A P AP A P A P A 142433101 555555125 的可能值为 12 3 1 1 1 5 PP A 1212 428 2 5525 PP A AP A P A 1212 4312 3 5525 PP A AP A P A 的分布列为 123 P 1 5 8 25 12 25 181257 123 5252525 E 解法二 记 该选手能正确回答第 轮的问题 的事件为 则i 12 3 i A i 1 4 5 P A 2 3 5 P A 3 2 5 P A 该选手被淘汰的概率 123123 1 1 PP A A AP A P A P A 432101 1 555125 同解法一 6 陕西文 18 本小题满分 12 分 某项选拔共有四轮考核 每轮设有一个问题 能正确 回答问题者进入下一轮考核 否则 即被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三 四轮的问题的概率分别为 5 4 且各轮问题能否正确回答互不影响 5 3 5 2 5 1 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率 用心 爱心 专心 求该选手至多进入第三轮考核的概率 注 本小题结果可用分数表示 解 记 该选手能正确回答第 轮的问题 的事件为 则 i 12 3 4 i A i 1 4 5 P A 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 2 3 5 P A 3 2 5 P A 4 1 5 P A 412341234 432496 5555625 PP A A A AP A P A P A P P 该选手至多进入第三轮考核的概率 3112123 PP AA AA A A 112123 P AP A P AP A P A P A 142433101 555555125 7 山东理 18 本小题满分 12 分 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 用随bc 机变量表示方程实根的个数 重根按一个计 2 0 xbxc 求方程有实根的概率 2 0 xbxc 求的分布列和数学期望 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下 方程有实根的概率 2 0 xbxc 标准答案标准答案 I 基本事件总数为 6 636 若使方程有实根 则 即 2 40bc 2bc 当时 1c 2 3 4 5 6b 当时 2c 3 4 5 6b 当时 3c 4 5 6b 当时 4c 4 5 6b 当时 5c 5 6b 当时 6c 5 6b 目标事件个数为54332219 用心 爱心 专心 因此方程 有实根的概率为 2 0 xbxc 19 36 II 由题意知 则0 1 2 17 0 36 P 21 1 3618 P 17 2 36 P 故的分布列为 012 P17 36 1 18 17 36 的数学期望 17117 0121 361836 E III 记 先后两次出现的点数中有 5 为事件 M 方程 有实根 为事件 2 0axbxc N 则 11 36 P M 7 36 P MN 7 11 P MN P N M P M 8 全国 II 理 18 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机 抽取 1 件 假设事件 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 A 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 表示取出的 2 件产品中二等品的件数 求的分布列 解 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 01 P AP AA 用心 爱心 专心 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 的可能取值为 012 若该批产品共 100 件 由 1 知其二等品有件 故100 0 220 2 80 2 100 C316 0 C495 P 11 8020 2 100 C C160 1 C495 P 2 20 2 100 C19 2 C495 P 所以的分布列为 012 P 316 495 160 495 19 495 9 全国 II 文 19 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机 抽取 1 件 假设事件 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 A 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件 取出的 2 件产品中至少有一B 件二等品 的概率 P B 解 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 用心 爱心 专心 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 B 则 0 BB 若该批产品共 100 件 由 1 知其中二等品有件 故100 0 220 2 80 0 2 100 C316 C495 P B 00 316179 1 1 495495 P BP BP B 10 全国 I 文 18 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 顾客可采用一次性付款或分期 付款购买 根据以往资料统计 顾客采用一次性付款的概率是 0 6 经销一件该商品 若顾 客采用一次性付款 商场获得利润 200 元 若顾客采用分期付款 商场获得利润 250 元 求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率 求 3 位顾客每人购买 1 件该商品 商场获得利润不超过 650 元的概率 解 记表示事件 位顾客中至少 位采用一次性付款 则表示事件 A31A 位顾客中无人采用一次性付款 3 2 1 0 6 0 064P A 1 1 0 0640 936P AP A 记表示事件 位顾客每人购买 件该商品 商场获得利润不超过元 B31650 表示事件 购买该商品的位顾客中无人采用分期付款 0 B3 表示事件 购买该商品的位顾客中恰有 位采用分期付款 1 B31 则 01 BBB 用心 爱心 专心 3 0 0 60 216P B 12 13 0 60 40 432P BC 01 P BP BB 01 P BP B 0 2160 432 0 648 11 全国 I 理 18 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用 的付款期数的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 A P A 求的分布列及期望 E 解 由表示事件 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 A 知表示事件 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 A 2 1 0 4 0 216P A 1 1 0 2160 784P AP A 的可能取值为元 元 元 200250300 200 1 0 4PP 250 2 3 0 20 20 4PPP 300 1 200 250 1 0 40 40 2PPP 的分布列为 200250300 P0 40 40 2 200 0 4250 0 4300 0 2E 用心 爱心 专心 元 240 12 宁夏理 20 本小题满分 12 分 如图 面积为的正方形中有一个不规则的SABCD 图形 可按下面方法估计的面积 在正方形中随机投掷个点 若个点中MMABCDnn 有个点落入中 则的面积的估计值为 假设正方mMM m S n 形的边长为 2 的面积为 1 并向正方形中随ABCDMABCD 机投掷个点 以表示落入中的点的数目 10000XM I 求的均值 XEX II 求用以上方法估计的面积时 的面积的估计值与实MM 际值之差在区间内的概率 0 03 附表 10000 10000 0 0 250 75 k ttt t P kC k2424242525742575 P k0 04030 04230 95700 9590 解 每个点落入中的概率均为 M 1 4 p 依题意知 1 10000 4 XB 1 100002500 4 EX 依题意所求概率为 0 034 10 03 10000 X P 0 034 10 03 24252575 10000 X PPX 2574 10000 10000 2426 0 250 75 ttt t C 25742425 1000010000 1 1000010000 24260 0 250 750 250 75 ttttt tt CC 0 95700 04230 9147 DC BA M 用心 爱心 专心 13 宁夏文 20 本小题满分 12 分 设有关于的一元二次方程 x 22 20 xaxb 若是从四个数中任取的一个数 是从三个数中任取的一个数 求上a012 3 b012 述方程有实根的概率 若是从区间任取的一个数 是从区间任取的一个数 求上述方程有实a 0 3 b 0 2 根的概率 解 设事件为 方程有实根 A 22 20aaxb 当 时 方程有实根的充要条件为 0a 0b 22 20 xaxb ab 基本事件共 12 个 其中第一个数表示的 0 0 01 0 2 10 11 12 2 0 21 2 2 3 0 31 3 2 a 取值 第二个数表示的取值 b 事件中包含 9 个基本事件 事件发生的概率为 AA 93 124 P A 试验的全部结束所构成的区域为 03 02abab 构成事件的区域为 A 03 02ababab 所以所求的概率为 2 1 3 22 2 2 3 23 14 辽宁文 17 本小题满分 12 分 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支 该公司对这些灯管的使用寿命 单位 小时 进行了统计 统计结果如下表所示 分组 500 90 0 900 11 00 1100 1 300 1300 1 500 1500 1 700 1700 1 900 1900 频数4812120822319316542 频率 I 将各组的频率填入表中 II 根据上述统计结果 计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率 III 该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支 若将上述频率作为概率 试求至少 有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率 本小题主要考查频率 概率 总体分布的估计 独立重复试验等基础知识 考查使用 统计的有关知识解决实际问题的能力 满分 12 分 I 解 分组 500 90 900 11 1100 1 1300 1 1500 1 1700 1 1900 用心 爱心 专心 0 00 300 500 700 900 频数4812120822319316542 频率0 0480 1210 2080 2230 1930 1650 042 4 分 II 解 由 I 可得 所以灯管使用寿命不足 15000 0480 121 0 2080 2230 6 小时的频率为 0 6 8 分 III 解 由 II 知 1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 根据在次独立0 6P n 重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得k 223 333 2 3 C 0 6 0 40 60 648PP AA 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0 648 12 分 15 江西理 19 本小题满分 12 分 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制 作过程必须先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制 两次烧制过程 相互独立 根据该厂现有的技术水平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概 率依次为 经过第二次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 50 60 4 0 60 50 75 1 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 2 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为 求随机变量的期望 解 分别记甲 乙 丙经第一次烧制后合格为事件 1 A 2 A 3 A 1 设表示第一次烧制后恰好有一件合格 则E 123123123 P EP A A AP A A AP A A A AAAAAA 0 5 0 4 0 60 5 0 6 0 60 5 0 4 0 40 38 2 解法一 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 0 3p 所以 3 0 3 B 故 3 0 30 9Enp 解法二 分别记甲 乙 丙经过两次烧制后合格为事件 则ABC 0 3P AP BP C 所以 3 0 1 0 3 0 343P 2 1 3 1 0 3 0 30 441P 2 2 3 0 30 70 189P 用心 爱心 专心 3 3 0 30 027P 于是 1 0 4412 0 1893 0 0270 9E 16 江西文 19 本小题满分 12 分 栽培甲 乙两种果树 先要培育成苗 然后再进行移 栽 已知甲 乙两种果树成苗的概率分别为 移栽后成活的概率分别为 0 60 50 7 0 9 1 求甲 乙两种果树至少有一种果树成苗的概率 2 求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率 解 分别记甲 乙两种果树成苗为事件 分别记甲 乙两种果树苗移栽成活为事件 1 A 2 A 1 B 2 B 1 0 6P A 2 0 5P A 1 0 7P B 2 0 9P B 1 甲 乙两种果树至少有一种成苗的概率为 1212 1 1 0 4 0 50 8P AAP A A A 2 解法一 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 AB 则 11 0 42P AP AB 22 0 45P BP A B 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 0 42 0 550 58 0 450 492P ABAB 解法二 恰好有一种果树栽培成活的概率为 11211221221212 0 492P AB AAB A BA A BA A B B 17 江苏 17 本小题满分 12 分 某气象站天气预报的准确率为 计算 结果保留80 到小数点后面第 2 位 1 5 次预报中恰有 2 次准确的概率 4 分 2 5 次预报中至少有 2 次准确的概率 4 分 解 1 23 2 5 44161 1100 05 5525125 pC 2 4 1 5 44 1110 00640 99 55 PC 3 3 1 4 444 10 02 555 PC 3 5 次预报中恰有 2 次准确 且其中第次预报准确的概率 4 分 3 用心 爱心 专心 18 湖南理 17 本小题满分 12 分 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提 高下岗人员的再就业能力 每名下岗人员可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加 培训 已知参加过财会培训的有 60 参加过计算机培训的有 75 假设每个人对培训项 目的选择是相互独立的 且各人的选择相互之间没有影响 I 任选 1 名下岗人员 求该人参加过培训的概率 II 任选 3 名下岗人员 记为 3 人中参加过培训的人数 求的分布列和期望 解 任选 1 名下岗人员 记 该人参加过财会培训 为事件 该人参加过计算机培训 A 为事件 由题设知 事件与相互独立 且 BAB 0 6P A 0 75P B I 解法一 任选 1 名下岗人员 该人没有参加过培训的概率是 1 0 4 0 250 1PP A BP A P B AA 所以该人参加过培训的概率是 21 11 0 10 9PP 解法二 任选 1 名下岗人员 该人只参加过一项培训的概率是 3 0 6 0 250 4 0 750 45PP A BP A B AA 该人参加过两项培训的概率是 4 0 6 0 750 45PP A B A 所以该人参加过培训的概率是 534 0 450 450 9PPP II 因为每个人的选择是相互独立的 所以 3 人中参加过培训的人数服从二项分布 即的分布列是 3 0 9 B 3 3 0 90 1 kkk PkC 012 3k 0123 P0 0010 0270 2430 729 的期望是 1 0 0272 0 2433 0 7292 7E 或的期望是 3 0 92 7E 19 湖南文 17 本小题满分 12 分 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提 高下岗人员的再就业能力 每名下岗人员可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加 培训 已知参加过财会培训的有 60 参加过计算机培训的有 75 假设每个人对培训项 目的选择是相互独立的 且各人的选择相互之间没有影响 I 任选 1 名下岗人员 求该人参加过培训的概率 II 任选 3 名下岗人员 求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率 用心 爱心 专心 解 任选 1 名下岗人员 记 该人参加过财会培训 为事件 该人参加过计算机培训 A 为事件 由题设知 事件与相互独立 且 BAB 0 6P A 0 75P B I 解法一 任选 1 名下岗人员 该人没有参加过培训的概率是 1 0 4 0 250 1PP A BP A P B AA 所以该人参加过培训的概率是 1 11 0 10 9P 解法二 任选 1 名下岗人员 该人只参加过一项培训的概率是 2 0 6 0 250 4 0 750 45PP A BP A B AA 该人参加过两项培训的概率是 3 0 6 0 750 45PP A B A 所以该人参加过培训的概率是 23 0 450 450 9PP II 解法一 任选 3 名下岗人员 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 22 43 0 90 10 243PC 3 人都参加过培训的概率是 3 3 0 90 729P 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 45 0 2430 7290 972PP 解法二 任选 3 名下岗人员 3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 12 3 0 9 0 10 027C 3 人都没有参加过培训的概率是 3 0 10 001 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1 0 0270 0010 972 20 湖北理17 本小题满分 12 分 在生产过程中 测得纤维产品的纤度 表示纤维 粗细的一种量 共有 100 个数据 将数据分组如右表 I 在答题卡上完成频率分布表 并在给定的坐标系中画出频率分布直方图 用心 爱心 专心 II 估计纤度落在中的概率及纤度小于的 1 381 50 1 40 概率是多少 III 统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点值 例如区间的中点值是 作为代表 据此 1 301 34 1 32 估计纤度的期望 本小题主要考查频率分布直方图 概率 期望等概念和 用样本频率估计总体分布的统计方法 考查运用概率统计知 识解决实际问题的能力 解 纤度落在中的概率约为 纤度小于 1 40 的概率 1 381 50 0 300 290 100 69 约为 1 0 040 250 300 44 2 总体数据的期望约为 1 32 0 04 1 36 0 25 1 40 0 30 1 44 0 29 1 48 0 10 1 52 0 021 4088 21 广东理 17 本小题满分 12 分 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 吨 与相应的生x 产能耗 吨标准煤 的几组对照数据y x 3 4 5 6 分组频数 1 301 34 4 1 341 38 25 1 381 42 30 1 421 46 29 1 461 50 10 1 501 54 2 合计100 分组频数