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第二章一阶微分方程的初等解法 2 1变量分离方程与变量变换 定义1 2 1 1变量分离方程的求解 例 分离变量 两边积分 原方程的解为 解 注 解 积分得 分离变量 故方程的所有解为 化简整理 得 解 分离变量后得 两边积分得 整理后得通解为 解 将变量分离后得 两边积分得 由对数的定义有 即 故方程的通解为 例4 解 两边积分得 因而通解为 再求初值问题的通解 所以所求的特解为 我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解 另外 对有的微分方程 虽然表面上看不是变量分离方程 但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程 则原方程也可用初等解法求解 下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换 化为变量分离的微分方程类型 2 1 2可化为变量分离方程的类型 齐次方程 形如 方程称为齐次方程 求解方法 形如 解 方程变形为 这是齐次方程 分离变量 得 即 两边积分得 代入原来变量 得原方程的解为 即当时 解 方程变形为 这是齐次方程 将变量分离后得 两边积分得 整理后得 变量还原得 故初值问题的解为 分三种情况讨论 为齐次方程 由 I 可化为变量分离方程 这就是变量分离方程 作变量代换 坐标变换 则方程化为 为 10 的情形 可化为变量分离方程求解 则 解的步骤 解 解方程组 将变量分离后得 两边积分得 变量还原并整理后得原方程的通解为 注 上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型 此外 诸如 以及 解 代入方程并整理得 即 分离变量后得 两边积分得 变量还原得通解为 2 1 3应用举例 例8 雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例 且在融化过程中它始终为球体 该雪球在开始时的半径为6cm 经过2小时后 其半径缩小为3cm 求雪球的体积随时间变化的关系 解 根据球体的体积和表面积的关系得 分离变量并积分得方程的通解为 由初始条件得 代入得雪球
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