辽宁省沈阳市2013届高考数学领航预测（五）试题 理 新人教A版

1 20132013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷届省重点中学协作体领航高考预测试卷 5 5 理科数学理科数学 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设全集 R 若集合 则为 1 12 3 2 x xBxxA BACR A B 51 xx 51 xxx或 C D 51 xxx或 51 xx 2 复数 i 是虚数单位 在复平面上对应的点位于 i i z 1 2 2 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 3 在长为 10 的线段 AB 上任取一点 P 并以线段 AP 为边作正方形 这个正方形的面积介于 25cm2与 49 cm2 之间的概率为 A B C D 5 1 5 2 5 4 10 3 4 设等比数列的公比为q 前n项和为 若 成等差数列 则公 n a n S 1n S n S 2n S 比q为 A B C D 2 q1 q12 qq或12 qq或 5 已知与为互相垂直的单位向量 且与的夹角为锐角 则实数的取值范围i j 2aij bij a b 是 A B 1 2 1 2 C D 22 2 33 1 2 2 2 6 设f x 是 R 上的奇函数 且在 0 上递增 若f 0 f log4x 0 那么x的 2 1 取值范围是 A x 1 B x 2 C x 2 或 x 1 D x 1 或 1 x 2 2 1 2 1 2 1 7 有七名同学站成一排照毕业纪念照 其中甲必须站在正中间 并且乙 丙两位同学要站在一起 则不同的 站法有 A 240 种B 192 种C 96 种D 48 种 8 如果执行下面的程序框图 那么输出的 S 2450 2500 C 2550 2652 k 1 0S k50 2 SSk 1kk S输出 结束 开始 否 是 2 9 球面上有三个点 A B C A 和 B A 和 C 间的球面距离等于大圆周长的 B 和 C 间的球面距离等于大圆 1 6 周长的 如果球的半径是 R 那么球心到截面 ABC 的距离等于 1 4 A B C D 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 3 R 10 已知 满足 且目标函数的最大值为 7 最小值为 则 xy 0 4 1 cbyax yx x yxz 2 a cba 1 1 2 11 下列命题 若是定义在 1 1 上的偶函数 且在 1 0 上是增函数 则 xf 2 4 cos sin ff 若锐角 2 sincos 则满足 若 1 2 cos2 2 恒成立对则Rxxfxf x xf 要得到函数 42 sin 42 sin 个单位的图象向右平移只需将的图象 x y x y 其中真命题的个数有 A 1B 2C 3D 4 12 设函数 它们的图象在轴上的公共点处有公切线 则当时 与 x b axxgxxf ln x1 x xf 的大小关系是 xg A B C D 与的大小不确定 xgxf xgxf xgxf xf xg 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 200 辆汽车经过某一雷达地区 时速频率分 布直方图如图所示 则时速超过 60km h 的 汽车数量为 辆 3 14 若 的二项展开式中第 5 项为常数项 则的值是 2 1 n x x nN n 15 已知双曲线 若过右焦点 F 且倾斜角为 30 的直线与双曲线的右支有两个交点 22 22 1 0 0 xy ab ab 则此双曲线离心率的取值范围是 16 等差数列 an 的前n项和为Sn 且a4 a2 8 a3 a5 26 记Tn 如果存在正整数M 使得对一 2 n Sn 切正整数n Tn M都成立 则M的最小值是 三 解答题 17 本小题满分 12 分 在中 已知内角 边 设内角 的面积为 ABC 3 A 2 3BC Bx ABC y 求函数的解析式和定义域 yf x 当角 B 为何值时 的面积最大 ABC 18 本小题满分 12 分 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球 现从甲 乙两个 盒内各任取 2 个球 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 设 从甲盒内取出的 2 个球恰有 1 个为黑球 为事件A 从乙盒内取出的 2 个球都是黑球 为事件 B 求在事件 A 发生的条件下 事件 B 发生的概率 设为取出的 4 个球中红球的个数 求的分布列和数学期望 19 本小题满分 12 分 已知一四棱锥 P ABCD 的三视图如下 E 是侧棱 PC 上的动点 求四棱锥 P ABCD 的体积 当点 E 在何位置时 BD AE 证明你的结论 4 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 1 2 1 1 2 1 E D C B A P 若点 E 为 PC 的中点 求二面角 D AE B 的大小 20 本小题满分 12 分 已知点 R 3 0 点 P 在 y 轴上 点 Q 在 x 轴的正半轴上 点 M 在直线 PQ 上 且满足 230PMMQ 0RP PM 当点 P 在 y 轴上移动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 设为轨迹 C 上两点 且 N 1 0 求实数 使 1122 A x yB xy 11 1 0 xy ABAN 且 16 3 AB 21 本小题满分 12 分 已知函数 4 2ln 2ln 2 1 恒成立且fxfxxtxf I 求x为何值时 上取得最大值 7 3 在xf 5 OD A C B E II 设是单调递增函数 求a的取值范围 1ln xFxfxaxF若 请考生在第 请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在中 平分交Rt ABC 0 90C BEABC 于点 点在上 ACEDABDEEB I 求证 是的外接圆的切线 ACBDE II 若 求的长 2 6AD 6 2AE EC 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立 cos4 平面直角坐标系 直线l的参数方程是 是参数 ty mtx 2 2 2 2 t I 将曲线 C 的极坐标方程和直线 参数方程转化为普通方程 l II 若直线l与曲线 C 相交于 A B 两点 且 试求实数值 14 ABm 6 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设关于的不等式 x1xax I 当 解上述不等式 2a II 若上述关于的不等式有解 求实数的取值范围 xa 7 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一一 选择题 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D 11 A 12 B 二 填空题 13 76 14 6 15 16 2 2 1 3 3 三 解答题 17 解 的内角和ABC ABC 即 3 A 2 0 3 B 2 0 3 x sinsin ACBC BA sin4sin sin BC ACBx A 6 分 12 sin4 3sin sin 23 yAB ACAxx 2 0 3 x y 231 4 3sin sin 4 3sin cossin 322 xxxxx 2 6sin cos2 3sinxxx 7 2 3sin 2 3 2 6666 xx 当即时 y 取得最大值 2 62 x 3 x 3 3 所以当角 B 为时 的面积取得最大值为 12 分 3 ABC 3 3 18 解 设 从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 从乙盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 为事件C 从甲盒内取出的 2 个球中 1 个是红球 1 个是黑球 从乙盒内取出的 2 个球均为黑球 为 事件D 由于事件C D互斥 则 3 分 211 324 22 46 4 15 CC C P C CC A A 12 34 22 46 1 5 CC P D CC A 所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 4 分 417 15515 P CDP CP D 解法一 由题可知 则 11 13 2 4 1 2 C C P A C 1 5 P ABP D 8 分 2 5 P AB P B A P A 解法二 由于事件A B相互独立 故 8 分 2 4 2 6 2 5 C P B AP B C 设可能的取值为 0 1 2 3 由 得 22 34 22 46 1 0 5 CC P CC A 7 1 15 P 1 3 22 46 11 3 30 C P CC 所以 11 分 3 2 1 0 1 3 10 PPPP 的分布列为 8 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 1 2 1 1 2 1 E D C B A P z y x E D C BA P 的数学期望 12 分 17317 0123 51510306 E 19 解 由该四棱锥的三视图可知 该四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 侧棱 PC 底面 ABCD 且 PC 2 2 分 12 33 P ABCDABCD VSPC A 不论点 E 在 PC 上何位置 都有 BD AE 3 分 证明如下 连结 AC ABCD 是正方形 BD AC PC 底面 ABCD 且平面 BD PC 5 分BD ABCD 又 BD 平面 PAC ACPCC 不论点 E 在何位置 都有 AE平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 7 分 解法一 在平面 DAE 内过点 D 作 DG AE 于 G 连结 BG CD CB EC EC Rt ECD Rt ECB ED EB AD AB EDA EBA BG EA 为二面角 D EA B 的平面角 10 分DGB BC DE AD BC AD DE 在 R ADE 中 BG AD DE DG AE 2 3 在 DGB 中 由余弦定理得 222 2 22 1 3 cos 2 22 2 3 DBBGBD DGB DB BG 12 分DGB 2 3 解法二 以点 C 为坐标原点 CD 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系如图示 则 从 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 DABE 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 DEDABABE 0123 P 1 5 7 15 3 10 1 30 9 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ma b c na b c 由可得 0 0DE mDA m 0 0acb 同理得 令 则 0 0abc 1 1cc 1 1ab 10 分 1 0 1 0 1 1 mn 设二面角 D AE B 的平面角为 则 12 分 1 cos 2 m n mn 2 3 20 解 设点 M x y 由得 P 0 Q 230PMMQ 2 y 0 3 x 由得 3 0 即0 RP PM 2 y x 3 2 y xy4 2 又点 Q 在 x 轴的正半轴上 故点 M 的轨迹 C 的方程是 6 分0 x 2 4 0 yx x 解法一 由题意可知 N 为抛物线 C y2 4x 的焦点 且 A B 为过焦点 N 的直线与抛物线 C 的 两个交点 当直线 AB 斜率不存在时 得 A 1 2 B 1 2 AB 不合题意 7 分 16 4 3 当直线 AB 斜率存在且不为 0 时 设 代入 1 AB lyk x 2 4yx 得 2222 2 2 0k xkxk 则 AB 解得 10 分 2 12 22 2 2 416 224 3 k xx kk 3 2 k 代入原方程得 由于 所以 03103 2 xx1 1 x 12 1 3 3 xx 由 得 12 分ABAN 21 1 1 3 4 3 3 13 N xx xx 解法二 由题设条件得 5 3 16 4 3 1 2 4 1 4 2 12 2 12 112 112 2 2 2 1 2 1 yyxx yyy xxx xy xy 10 分化简后可得 并结合 代入 同样把 分 代入上式并化简得再把 得代入 得 由 11 7 3 16 1 1543 9 6 1 1 1 1 44 1 2 1 1 43 1 1 11 2 1 2 12 112 x x xxy yy xxx 由 6 7 解得或 又 故 3 3 4 1 x 3 1 4 1 x 1 1 x 3 4 21 解 I 恒成立 4 2ln 2ln 2 1 fxfxxtxf 且 的最小值 4 2 xffxf是且的定义域为 又 3 分 3 0 4 2 1 2 2 1 tf xx t xf解得 4 4 2 1 2 3 2 1 2 x x xx xf 24 0 4 0 2 4 4 3 7 111 3 7 3ln5ln1 3ln9ln5 ln625ln729 0 222 3 7 7 3 7 6 xfxxfx f x f x ff ffxf x 当时当时 在上是减函数在是增函数 在上的最大值应在端点处取得 即当时取得在上的最大值分 II F x 是单调递增函数 恒成立0 xf 又 4 1 1 45 1 4 4 1 2 2 2 xx axxa x x x a xF 显然在恒成立 0 4 1 2 2 xxxf上的定义域 恒成立 8 分 2 0 1 45 1 2 在axxa 下面分情况讨论的解的情况 aaxxa 2 0 1 45 1 2 上恒成立时在 当时 显然不可能有上恒成立 01 a 2 0 1 45 1 2 在axxa 当上恒成立 2 085 1 45 1 01 2 在时xaxxaa 当时 又有两种情况 01 a0 1 1 1652 aa 11 OD A C B E 由 得 无解 由 得 0 1 4252 1 2 1 2 5 2 aa a 且0916 2 a 1 01 4 1 aaa 综上所述各种情况 当上恒成立 2 0 1 45 1 1 2 在时axxaa 所求的a的取值范围为 12 分 1 22 证明 I 由知 是的外接圆的直径 DEEB BDBDE 取中点 连结 则点是的外接圆的圆心 BDOOEOBDE OBOE OBEBEO 又 平分 BEABC OBECBE BEOCBE BCOEA 0 90C OEAC 是的外接圆的切线 5 分ACBDE II 由是圆的切线知 AC