电影院座位设计问题[1]

电影院座位设计问题电影院座位设计问题 一 问题的提出一 问题的提出 下图为影院的剖面示意图 座位的满意程度主要取决于视角 和仰角 视角 是观 众眼睛到屏幕上 下边缘视线的夹角 越大越好 仰角 是观众眼睛到屏幕上边缘视线 与水平线的夹角 太大使人的头部过分上仰 引起不舒适感 一般要求 不超过 o 30 设影院屏幕高 h 上边缘距地面高 H 地板线倾角 第一排和最后一排座位与屏幕水 平距离分别为 d 和 D 观众平均坐高为 c 指眼睛到地面的距离 已知参数 h 1 8 H 5 d 4 5 D 19 c 1 1 单位 m 如图所示 1 地板线倾角 试问最佳的座位在什么地方 o 10 2 求地板线倾角 一般不超过 使所有观众的平均满意程度最大 o 20 3 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度 二 问题的分析二 问题的分析 观众在电影院观赏电影 感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否 而且还取决于座位设计的舒适程度 座位的设计应满足什么要求 是一个非常 现实的问题 根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角 经调查可知这两者都要满足一定的条件 但在实际生活中又不可能同时满足 只 能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况 根据题意很容易得 知和的正切值呈递减趋势 这对问题的解决很有帮助 下文针对题目提出的 三个问题逐一进行分析 针对问题针对问题 1 1 为方便求解 可以以屏幕所在的墙壁的剖面为 y 轴 向上 为正方向 以与之垂直的地面为 x 轴 以交点为原点 O 建立直角坐标系 当地 板线倾角时 根据已知条件通过计算得知 最前排视角和仰角的值 o 10 均为最大 最后排视角和仰角的值均为最小 那么仰角时的位置是 0 30 否是最佳位置呢 我们可以先将离散的座位连续化 根据条件求出的表达 tg 式 作出对的变化图象以及其变化率图象 计算的最大值 找到最佳座 x tg 位点 然后再将问题离散化 对求得的最佳座位点进行优化 针对问题针对问题 2 2 一般地 人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念 本 文观众对座位是否满意也是一个模糊概念 根据模糊数学隶属度的概念和心理学 的相关知识 我们可以引入满意度函数的概念 构造一个满意度函数 通过这 一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离的变化趋势 在倾斜角固x 定的情况下 满意度函数值随的变化而变化 不同的有不同的满意度 有了xx 满意度函数这一衡量标准后 我们可以求出所有座位的平均满意度 当平均满意 度最大时 求出此时对应的倾斜角 即为所要求的平均满意度最大时地板线 的倾斜角度 三三 模型的假设模型的假设 1 假设座位在地板线上严格等距 且均匀分布 2 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量 因而可将离散问题连续化 3 假设视角对观众的满意度影响较大 四四 符号说明符号说明 当人坐下时眼睛到屏幕上 下边缘视线的夹角 当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标 yxp 关于距离和倾斜角的正切函数 xF x 关于距离和倾斜角的正切函数 xG x 满意度函数 xM 第 个位置的满意程度 i xMi 平均满意程度M 满意度函数的相关因子 即满意因子 五五 模型的建立模型的建立 1 建模的准备建模的准备 1 1 建立坐标系建立坐标系 为了建立合适的数学模型 我们先建立如下坐标系 由题意及坐标图得 直线 L 的方程 cdxtgy 1 直线 L 上任意一点的仰角 的正切值为 yxP x tgdxcH tg 2 又由图可知 x tgdxhcH tg 3 由 2 3 得 x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h tg 1 2 2 2 1 2 构造满意度函数构造满意度函数 一般说来 人们的心理变化是一个模糊的概念 本文中观众对某个座位是否 满意的看法就是一个典型的模糊概念 由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关 知识 根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律 不妨定义观 众对座位的满意度为 4 0 2 0 xx exM 其中表示观众满意度的相关因子 称为满意因子满意因子 一般为常数 表示最佳 0 x 座位点 即最佳座位处的横坐标值 2 2 模型的建立模型的建立 2 1 问题问题 1 的模型的模型 座位的满意程度主要取决于视角 和仰角 越大越好 太大使人 的头部过分上仰 引起不舒适感 一般要求 不超过 要确定最佳座位 o 30 必须同时兼顾视角 和仰角 由上文不难发现和均是的函数 这里不妨令 tg tgx tgxF 则可得到 tgxG x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h xF 1 2 2 2 5 x tgdxcH xG 6 由 即得 0 30 0 30tgtg tgtg dtgcH x 6 又由题意知 Dx 则 x 的取值范围为 Dx tgtg dtgcH 6 7 从而得到求解最佳座位的数学模型 求解最佳座位的数学模型 x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h xMaxF 1 2 2 2 ts Dx tgtg dtgcH 6 8 当 10 度时求得模型的解 观众的满意度随位置变化曲线如图 4681012141618 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 众 众 众 众 众 众 x 众 众 众 众 众 众 众 10众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 2 2 问题问题 2 的模型的模型 为了求平均满意程度最大时地板的倾角 本文先设法求平均满意程度 M 由 4 记第 个座位满意度为 i 0 2 0 xx i i exM 9 则区间上个座位的满意度为 Ddn n i i xM 1 10 从而得座位的平均满意程度为 n xM M n i i 1 11 从而得到求解地板倾角的数学模型 求解地板倾角的数学模型 Max n xM M n i i 1 12 其中的表达式为 为常数 表示前后两个座位之间的距离 i xlidxi 1 l 的表达式为 n1 l dD n 观众满意度随地板线曲率变化如图 00 511 522 5 9 2 9 4 9 6 9 8 10 10 2 10 4 众 众 众 众 众 k tg 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 众 有图解得 8 1936 0arctan 2 32 3 问题问题 3 3 的模型的模型 为了进一步提高观众的满意程度 应当使总满意程度进一步增大 因此 利用最优化模型 使得每一名观众的满意程度达到最大 目标函数为 Max n xM M n i i 1 约束条件为 0 0 2 0 niexM xx i i 从而得到结果为 02468101214161820 1 0 1 2 3 4 5 附录 附录 第第 1 二问程序 二问程序 n 0 ku 0 q 5 t0 0 s 0 3 for k 0 0 01 0 37 m 0 for x 450 1900 y x x 100 k 2 1 2 3 4 5 k 2 0 81 2 x 100 k 3 4 5 k z x 0 9 y x w x atan z x f x atan 5 k x 100 4 5 1 1 x 100 x30 3 9 4 5 k k 3 0 5 3 if k 0 18 if xt0 t0 t x10 x 100 end end if x x30 t w x s q f x pi 6 if t t0 t0 t x10 x 100 end end x11 x 100 figure 1 plot x11 t grid xlabel 地板线横坐标x ylabel 观众的满意度值 title 10度时观众的满意度曲线 hold on end if xx30 m w x s q f x pi 6 100 m end end figure 2 plot k m grid xlabel 地板线斜率k tg ylabel 观众平均满意度 title 观众平均满意度随地板线斜率变化曲线 hold on m n n m ku k end plot x10 t0 第三问程序 第三问程序 h 1 8 H 5 d 4 5 D 19 c 1 1 q 1 s 0 3 para 0 stepx D d 20 stepy H c 25 y zeros 1 21 total 0 max 0 for i1 0 1 i 1 i1 for i2 0 1 i 2 i2 for i3 0 1 i 3 i3 for i4 0 1 i 4 i4 for i5 0 1 i 5 i5 for i6 0 1 i 6 i6 for i7 0 1 i 7 i7 for i8 0 1 i 8 i8 for i9 0 1 i 9 i9 for i10 0 1 i 10 i10 for i11 0 1 i 11 i11 for i12 0 1 i 12 i12 for i13 0 1 i 13 i13 for i14 0 1 i 14 i14 for i15 0 1 i 15 i15 for i16 0 1 i 16 i16 for i17 0 1 i 17 i17 for i18 0 1 i 18 i18 for i19 0 1 i 19 i19 for i20 0 1 i 20 i20 for i21 0 1 i 21 i21 for i22 0 1 i 22 i22 for i23 0 1 i 23 i23 for t 1 21 x t t 1 stepx d y 1 c if t 1 for r 2 t y t i r 1 stepy y t 1 end end x1 x t y1 y t de x1 2 H h 2 y1 2 h 2 2 w t atan h x1 de s q atan H y1 x1 pi 6 if x1 3 0 5 5 if y1max max total for e 1 20 if y e H h for v 1 e aa v 1 stepx d y e H h e 1 stepx d H h if aa1 for e 2 j m0 m e 1 m0 end end yopt j m0 stepy xopt j j 1 stepx d end