灰色模型介绍及应用

1 第十章 灰色模型介绍及应用 徐利艳 天津农学院 2 4 万字 10 1 灰色理论基本知识 10 1 1 概言 10 1 2 有关名词概念 10 1 3GM 建模机理 10 2 灰色理论模型应用 10 2 1GM 1 1 模型的应用 污染物浓度问题 10 2 2 GM 1 1 残差模型的应用 油菜发病率问题 10 2 3 GM 模型在复杂问题中的应用 SARS 疫情问题 10 2 4 GM 1 n 模型的应用 因素相关问题 本章小结 思考题 推荐阅读书目 2 第十章 灰色模型介绍及应用 10 1 灰色理论基本知识 10 1 1 概言 客观世界的很多实际问题 其内部的结构 参数以及特征并未全部被人们了解 人们 不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚 只能依据某种思维逻辑与推断来构造 模型 对这类部分信息已知而部分信息未知的系统 我们称之为灰色系统 本章介绍的方 法是从灰色系统的本征灰色出发 研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下 如何对实际问题 进行分析和解决 灰色系统的研究对象是 部分信息已知 部分信息未知 的 小样本 贫信息 不确定性系统 它通过对 部分 已知信息的生成 开发实现对现实世界的确切描述和认 识 信息不完全是 灰 的基本含义 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据 充分开发并利用 不多的数据中的显信息和隐信息 寻找因素间或因素本身的数学关系 通常的办法是采用 离散模型 建立一个按时间作逐段分析的模型 但是 离散模型只能对客观系统的发展做 短期分析 适应不了从现在起做较长远的分析 规划 决策的要求 尽管连续系统的离散 近似模型对许多工程应用来讲是有用的 但在某些研究领域中 人们却常常希望使用微分 方程模型 事实上 微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程 的本质 目前 灰色系统理论已成功地应用于工程控制 经济管理 未来学研究 生态系统及 复杂多变的农业系统中 并取得了可喜的成就 灰色系统理论有可能对社会 经济等抽象 系统进行分析 建模 预测 决策和控制 它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统 的一个新型的理论工具 10 1 2 有关名词概念 灰数 一个信息不完全的数 称为灰数 灰元 信息不完全或内容难以穷尽的元素 称为灰元 灰关系 信息不完全或机制不明确的关系 称为灰关系 具有灰关系的因素是灰因素 3 灰因素之间的量化作用 称为灰关联 灰色系统 含灰数 灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统 如果按照灰色理论去研 究它 则称此系统为灰色系统 累加生成 由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量 因此 为适应灰系统建模需要 提出 生成 的概念 生成 即指对原始数据做累加 或累减 处理 累加生成一般可写成 AGO 若计为原始数列 为次累加生成后数列 即 0 x r xr 0 0 0 0 1 2 xxxxn 1 2 rrrr xxxxn 则次累加生成算式为r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 k rrrrr i rrrrrr xkxxxkxi xxxkxkxkxk 一般常用的是一次累加生成 即 1 0 1 1 0 1 k i xkxi xkxk 10 1 3GM 建模机理 建立 GM 模型 实际就是将原始数列经过累加生成后 建立具有微分 差分近似指数规 律兼容的方程 成为灰色建模 所建模型称为灰色模型 简记为 GM Grey Model 如 GM m n 称为 m 阶 n 个变量的灰色模型 其中 GM 1 1 模型是 GM 1 n 模型的特例 是灰色系统最基本的模型 也是常用的预测模型 因此本章重点介绍几种 GM 1 1 模型 的建模过程和计算方法 并简单介绍 GM 1 n 建模过程 GM 1 1 的建模机理 GM 1 1 模型是 GM 1 N 模型的特例 其简单的微分方程形式 白化形式的微分 方程 是 dx axu dt 利用常数变易法解得 通解为 at u x tce a 4 若初始条件为 则可得到微分方程的特解为 0 0 tx tx 0 at uu x txe aa 或时间响应函数 1 1 1 at uu x txe aa 其中白化微分方程中的项中的为的背景值 也称为初始值 为常数axx dx dt a u 有时也将写成 ub 按白化导数定义有差分形式的微分方程 即 0 lim t dxx ttx t dtt 显然 当时间密化值定义为 1 即当时 上式可记为1 t 1 1 lim t dx x tx t dt 记为离散形式 1 dx x tx t dt 这显然表明是一次累计生成 因此上述方程可改写为 dx dt 1 1 0 1 1 dx xtxtxt dt 这实际也表明 模型是以生成数 是以的一次累加 为基础的 1 x 1 x 0 x 当足够小时 到不会发生突变 因此可取与的平均 t x t x tt x t x tt 值作为时的背景值 因此 背景值便可记为0 t 1 1 1 1 1 2 xxtxt 或 1 1 1 1 1 2 xxkxk 于是白化的微分方程可改写为 1 1 dx axu dt 0 1 1 1 1 1 2 xka xkxku 5 或 0 1 1 1 1 1 2 xka xkxku 即 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 xa xxu xa xxu xna xnxnu 因此 上述方程可以改写为矩阵方程形式 即 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2 1 1 1 2 a xx x a xx x au xn a xnxn 引入下列符号 设 0 0 0 2 3 N x x Y xn 1 1 1 E 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 a xx a xx X a xnxn 于是便有 N a YaXuEX E u 令 6 a a u 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 a xx a xx BX E a xnxn 则 N a YaXuEX EBa u 解得 1 TT N a aB BB Y u 将求解得到的代入微分方程的解式 也称时间响应函数 则 1 1 1 1 ak uu xkxe aa 由于 因此求导还原得 0 1 1 1 xx 0 0 1 1 ak u xka xe a 上述两式便为 GM 1 1 的时间响应式 及灰色系统预测模型的基本算式 当然上述 两式计算结果只是近似计算值 为简记 一般可以将 GM 1 1 的建模过程记为 0 0 1 0 1 1 1 IAGO GM AGOxGM xa uxkxk 10 2 灰色理论模型应用 10 2 1GM 1 1 模型的应用 污染物浓度问题 GM 1 1 模型是灰色系统最基本的模型 下面以污染物浓度问题说明 GM 1 1 模 型的建立及求解过程 例例 10 110 1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表 10 1 试建立 GM 1 1 模型 表表 10 1 某污染物质量浓度测量值某污染物质量浓度测量值 mg L 年 份200120022003200420052006 7 0 x 3 9364 5754 9685 0635 9685 507 解 第一步 设原始数据为 0 0 0 0 1 2 6 3 936 4 575 4 968 5 063 5 968 5 507 xxxx 第二步 对原始数据进行累加生成 即 1 0 xAGOx 1 0 1 1 3 936 xx 1 1 0 2 1 2 3 9364 5758 511 xxx 1 1 0 3 2 3 13 479 xxx 1 1 0 4 3 4 18 542 xxx 1 1 0 5 4 5 24 510 xxx 1 1 0 6 5 6 30 017 xxx 因此累加生成数据为 1 0 3 936 8 511 13 479 18 542 24 510 30 017 xAGOx 第三步 构造矩阵 N B Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 6 2235 1 0000 2 3 1 2 10 9950 1 0000 1 16 0105 1 0000 3 4 1 2 2 1 4 5 1 2 1 5 6 1 2 xx xx Bxx xx xx 1 5260 1 0000 27 2635 1 0000 0 0 0 2 3 6 4 575 4 968 5 063 5 968 5 507 TT N Yxxx 第四步 计算 1 TT N aB BB Y 先求 即 1 T B B 8 1622 6 82 0 82 0 5 T B B 根据逆矩阵的求解方法 得 1 0 0036 0 0592 0 0592 1 1706 T B B 再求的值 即 T N B Y 442 7641 26 0810 T N B Y 进而求得的值为 a 1 0 0036 0 0592 442 7641 0 0539a 0 0592 1 1706 26 0810 4 3322u TT N aB BB Y 计算 GM1 1 的程序如下 function 10toliti01 X0 m n size X0 X1 cumsum X0 X2 for i 1 n 1 X2 i X1 i X1 i 1 end B 0 5 X2 t ones n 1 1 B B t YN X0 2 end P t YN X1 1 length X0 1 A inv B B B YN a A 1 u A 2 B b1 B B b2 inv B B b3 B YN b4 u a b5 X1 1 b4 b6 a b5 第五步 将的值代入微分方程的时间响应函数 a u 令 得 1 1 1 0 3 936 xx 9 1 1 0 0539 1 1 84 326480 3904 akk uu xkxee aa 第六步 求导还原得 0 1 0 0539 1 1 4 5443 akk u xka xee a 第七步 对上述模型进行精度检验 常用的方法是回代检验 即分别用模型求出各时刻值 然后求相对误 1 1 1 0 xx 差 先利用时间响应函数模型求各时刻值 1 0 0539 1 84 326480 3904 k xke 并计算相对误差 结果如表 10 2 所示 1 2 5 k 表表 10 2 精度检验实测值 残差值表精度检验实测值 残差值表 1 2 5 k GM 计算值 1 1 xk 实测值 1 1 xk 残差 1 1 ek 相对残差 1 1 qk 8 6059 13 5344 18 7359 24 2254 30 0190 8 5110 13 4790 18 5420 24 5100 30 0170 0 0949 0 0554 0 1939 0 2846 0 0020 0 0112 0 0041 0 0105 0 0116 0 0001 再利用时间响应函数模型求各时刻值 0 0 0539 1 4 5443 k xke1 2 5 k 并计算相对误差 结果如表 10 3 所示 表表 10 3 计算值与实验原始数据值对照表计算值与实验原始数据值对照表 1 2 5 k GM 计算值 0 1 xk 实测值 0 1 xk 残差 0 1 ek 相对残差 0 1 qk 4 7960 5 0616 5 3419 5 6377 5 9499 4 5750 4 9680 5 0630 5 9680 5 5070 0 2210 0 0936 0 2789 0 3303 0 4429 0 0483 0 0188 0 0551 0 0553 0 0804 10 从残差检验结果看 累计生成数列曲线拟合较好 相对误差在 0 01 即 1 左右 而还 原数列的相对误差较大 其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化 正负误差有抵 消的 当数据再被还原回来时便表现出来 10 2 2 GM 1 1 残差模型的应用 油菜发病率问题 当 模型的精度不符合要求时 可用残差序列建立 模型 对原来的模型进行修正 以提高精度 即建立残差 模型 步骤如下 第一步 利用原始数据建立 GM 1 1 模型 得时间响应式 1 1 1 1 ak uu xkxe aa 0 0 1 1 ak u xka xe a 其中第二个式子也成为导数还原值 鉴于导数还原值与原始数据 累减还原值 不一致 为减少往返运算造成的误差 往 往用原始数据与导数还原值的残差修正的模拟值 0 x 0 x 第二步 利用残差数列建立新的 GM 1 1 模型 建立残差模型的过程和计算方法同于 GM 1 1 建模过程 只不过建立残差模型所用 的原始数列采用的是残差数据 令为残差 则 0 gk 0 0 0 gkxkxk 即 0 0 0 0 1 1 ggkgkgnki in 或 0 0 0 0 1 2 1 ggggni 利用残差序列建立新的 GM 1 1 模型 求解得时间响应式 0 g 1 1 0 1 a k uu gkgke aa 0 1 0 1 a k u gka gke a 第三步 结合上两步的 GM 1 1 模型 建立残差 GM 1 1 模型 结合上两步的 GM 1 1 模型 则相应的残差修正时间响应式为 11 0 0 0 0 1 00 1 1 1 ak aka k u a xekk a xk uu a xeagkekk aa 称为导数还原式的残差修正模型 例例 10 210 2 某县油菜发病率数据如表 10 4 所示 试建立残差 GM 模型并进行求解 表表 10 4 某县油菜发病率数据某县油菜发病率数据 序 号12345678910111213 0 x 620402540453521141815 51715 解 第一步 建立原始数据的 GM 1 1 模型 设原始数据为 0 0 0 0 1 2 13 0 01 6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15 5 17 15 xxxx 建立 GM 1 1 模型 利用 GM 1 1 的求解程序得时间响应式为 1 0 06486 15 6805 740 k xke 0 0 06486 10 368 k xke 第二步 误差检验 利用时间响应函数模型计算各时刻值 0 0 06486 10 368 k xke1 2 12 k 并计算相对误差 程序如下 function 10toliti02 X0 format long X0 0 01 6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15 5 17 15 m n size X0 s 1 1 for i 1 12 y i 1 0 368 exp 0 06486 i z i 1 X0 i 1 y i 1 12 w i 1 z i 1 X0 i 1 s i 1 i 1 end y X0 z w z z sum abs w 12 计算结果如表10 5所示 表表 10 5 计算值与实验原始数据值对照表计算值与实验原始数据值对照表 1 2 12 k GM 计算值 0 1 xk 实测值 0 1 xk 残差 0 1 ek 相对残差 0 1 qk 0 3449 0 3232 0 3029 0 2839 0 2661 0 2494 0 2337 0 2190 0 2053 0 1924 0 1803 0 1690 0 2 0 4 0 25 0 4 0 45 0 35 0 21 0 14 0 18 0 155 0 17 0 15 0 1449 0 0768 0 0529 0 1161 0 1839 0 1006 0 0237 0 0790 0 0253 0 0374 0 0103 0 0190 0 7244 0 1919 0 2117 0 2902 0 4087 0 2875 0 1129 0 5645 0 1404 0 2412 0 0606 0 1265 由表可以看出 最大误差高达 72 44 最低的也达到 6 06 模拟误差较大 进一步 计算平均相对误差 13 0 2 1 28 01 12 k qk 13 平均相对误差很较大 相对精度约 70 因此为了提高远原点 即现时 精度 即将最后 一个误差减小 需采用残差模型进行修正 第三步 以部分残差数据为原始数据建立新的 GM 1 1 模型 取得残差尾端 即取最后 5 个数据的残差 0 0790 0 0253 0 0374 0 0103 0 0190 0 9k 用此尾段可建立残差尾段模型 取绝对值 得残差数列 0 0 0 0790 0 0253 0 0374 0 0103 0 0190 gq 以上述的残差数列为原始数据建立新的 GM 1 1 模型 得残差的时间响应式 A 1 0 1894 10 17320 2522 k gke A 0 0 1894 10 0328 k gke 第四步 将原始数据和部分残差数据的两个 GM 1 1 模型即 0 0 06486 10 368 k xke 和 A 0 0 1457 10 1876 k gke 结合 得到修正后的残差 GM 1 1 模型 0 0 06486 0 064860 1894 0 368 9 1 0 3680 0328 9 k kk ek xk eek 第五步 用修正后的模型对的模拟值进行修正 结果为 8 9 12 k 0 0 0 9 10 13 0 2118 0 1993 0 1874 0 1762 0 1656 xxx 第六步 精度检验 建立如下程序 function 10toliti021 X0 format long X0 0 01 6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15 5 17 15 m n size X0 s 1 1 for i 8 12 y i 1 0 368 exp 0 06486 i 0 0328 exp 0 1894 i 14 z i 1 X0 i 1 y i 1 w i 1 z i 1 X0 i 1 s i 1 i 1 end y X0 z w z z sum abs w 5 计算结果如表10 6所示 表表 10 6 修正后计算值与实验原始数据值检验结果修正后计算值与实验原始数据值检验结果 8 9 12 k GM 计算值 0 1 xk 实测值 0 1 xk 残差 0 1 ek 相对残差 0 1 qk 0 2118 0 1993 0 1874 0 1762 0 1656 0 14 0 18 0 155 0 17 0 15 0 0718 0 0193 0 0324 0 0062 0 0156 0 5130 0 1073 0 2093 0 0366 0 1040 按此模型 可对五个模拟值进行修正 修正后的平均相对误差9 10 11 12 13 k 精度有明显的提高 尤其对于原点附近的两个数据 13 0 9 1 19 4 5 k qk 0 17 0 15 相对误差分别降低为 3 66 和 10 4 低于允许误差要求 这说明 对原点数据 GM 1 1 模型修正是有必要的 10 2 3GM 模型在复杂问题中的应用 SARS 疫情问题 例例 10 310 3 SARS 疫情问题 2003年的SARS疫情对我国的发展产生了一定影响 尤其在经济发展方面产生了很大的 影响 下面就SARS疫情对我国经济的影响问题建立GM模型并求解 15 10 2 3 1 问题的提出 2003年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响 特别是对部分疫情 较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的 经济影响主要分为直接经济影响和间接 影响 直接经济影响涉及商品零售业 旅游业 综合服务等行业 很多方面难以进行定量 地评估 现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业 旅游业和综合服务业的影响进行定量 的评估分析 究竟 SARS 疫情对商品零售业 旅游业和综合服务业的影响有多大 已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额 接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表 10 7 10 9所示 表表 10 7 商品的零售额商品的零售额 亿元 亿元 月份 年份1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 83 0 79 8 78 1 85 1 86 6 88 2 90 3 86 7 93 3 92 5 90 9 96 9 101 7 85 1 87 8 91 6 93 4 94 5 97 4 99 5 104 2 102 3 101 0 123 5 92 2 114 0 93 3 101 0 103 5 105 2 109 5 109 2 109 6 111 2 121 7 131 3 105 0 125 7 106 6 116 0 117 6 118 0 121 7 118 7 120 2 127 8 121 8 121 9 139 3 129 5 122 5 124 5 135 7 130 8 138 7 133 7 136 8 138 9 129 6 133 7 137 5 135 3 133 0 133 4 142 8 141 6 142 9 147 3 159 6 162 1 153 5 155 9 163 2 159 7 158 4 145 2 124 0 144 1 157 0 162 6 171 8 180 7 173 5 176 5 表表 10 8 接待海外旅游人数接待海外旅游人数 万人 万人 月份 年份1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 9 4 11 3 16 8 19 8 20 3 18 8 20 9 24 9 24 7 24 3 19 4 18 6 9 6 11 7 15 8 19 9 19 5 17 8 17 8 23 3 21 4 24 5 20 1 15 9 10 1 12 9 17 7 21 0 21 0 20 4 21 9 25 8 29 3 29 8 23 6 16 5 11 4 26 0 19 6 25 9 27 6 24 3 23 0 27 8 27 3 28 5 32 8 18 5 11 5 26 4 20 4 26 1 28 9 28 0 25 2 30 8 28 7 28 1 22 2 20 7 13 7 29 7 23 1 28 9 29 0 27 4 26 0 32 2 31 4 32 6 29 2 22 9 15 4 17 1 23 5 11 6 1 78 2 61 8 8 16 2 20 1 24 9 26 5 21 8 16 表表 10 9 综合服务业累计数额综合服务业累计数额 亿元 亿元 月份 年份2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 96 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972 111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139 151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238 164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497 182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667 216 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 试根据这些历史数据建立预测评估模型 评估 2003 年 SARS 疫情给该市的商品零 售业 旅游业和综合服务业所造成的影响 10 2 3 2模型的假设与分析 模型假设 1 假设该市的统计数据都是可靠准确的 2 假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后 数据的变化只与SARS 疫情的影响有关 不考虑其它随机因素的影响 模型分析 根据所掌握的历史统计数据可以看出 在正常情况下 全年的平均值较好地反映了相 关指标的变化规律 这样可以把预测评估分成两部分 1 利用灰色理论建立GM 1 1 模型 由1997 2002 年的平均值预测2003 年平均值 2 通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系 从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值 再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响 10 2 3 3 建立灰色预测模型 GM 1 1 第一步 数据处理 1 原始数据 根据表中的已知数据 计算1997 2002年某项指标的年平均值 作为原始数据 记为 0 0 0 0 1 2 6 xxxx 17 并要求级比 0 0 1 0 7515 1 3307 1 2 6 ixixii 2 数据的累加生成 对原始数据进行一次累加生成 0 x 1 0 1 1 xx 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 k i xkxkxkxi kn 因此累加生成数据记为 1 x 1 0 1 1 1 1 2 6 xAGOxxxx 2 背景值的选择 取累加生成数据的加权平均值为背景值 即 1 x 1 z 1 1 1 1 1 1 1 2 5 zkxkxkk 其中为确定参数 背景值记为 1 z 1 1 1 1 2 3 6 zxxx 第二步 GM 1 1 模型的建立 1 建立 GM 1 1 的白化微分方程模型 1 1 dx axu dt 其中是a发展灰度 u是内生控制灰度 2 转化为灰微分方程 0 1 2 3 6 xkazku k 或 0 1 2 3 6 xkazku k 即矩阵形式为 a YBBA u 其中 18 1 1 0 0 0 1 2 1 3 1 2 3 6 6 1 z az YxxxBA u z 3 转化为时间响应函数 利用最小二乘法得到参数的估计值 进而得到灰微分方程的解 对求导 a u 1 x 1 x 还原得 即参数的估计值为 0 x a u 1 TT a AB BB Y u 微分方程的解式 也称时间响应函数 为 1 1 1 1 ak uu xkxe aa 0 0 1 1 ak u xka xe a 其中 称为还原值 0 1 1 1 xx 0 1 xk 第三步 利用模型预测指标值 根据时间响应函数可以预测出正常情况下2003年的平均值 则 则预测2003年的总x 值为 根据历史数据 可以计算出2003 年第i个月的指标值占全年总值的比例12 Zx 为 即 i u 6 1 126 11 1 2 12 ij j i ij ij a ui a 记为 于是可以可到2003年每一个月的指标值 1212 uu uu VZu 10 2 4 4 模型求解及结果分析 1 商品零售额 根据商品零售额的数据表 计算得年平均值 即原始数据 和一次累加生成值 0 1 x 分别为 1 1 x 19 0 1 87 6167 98 5 108 475 118 4167 132 8083 145 4083 x 1 1 87 6167 186 1167 294 5917 413 0083 545 8167 691 225 x 显然的所有级比都在可容区域内 这里取 计算可得背景值 0 x0 5 1 136 8667 240 3542 353 8000 479 4125 618 5208 z 计算得参数的估计值为 进而得到时间响应函数0 0983 84 7563 au 1 0 0983 1 949 6443862 0276 k xke 0 0 0983 1 93 3710 k xke 再根据时间响应函数预测可得 2003年的月平均值为亿元 年总值为160 4135 x 亿元 又根据比例的表达式计算出每月的比例为121925 0 Zx i u 0 0794 0 0807 0 0749 0 0786 0 0819 0 0818 0 0845 0 0838 0 0872 0 0886 0 0866 0 092 i u 因此 2003 年 1 12 月的预测值 单位 亿元 为 152 8654 155 3486 144 1859 151 2177 157 7157 157 4140 162 5660 161 3128 167 9501 170 5260 166 7433 177 1169 VZu 将预测值与实际值进行比较 结果如表10 10所示 表表 10 10 2003 年商品的零售额比较表年商品的零售额比较表 亿元 亿元 月份1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 实际值 预测值 163 2 159 7 158 4 145 2 124 0 144 1 157 0 162 6 171 8 180 7 173 5 176 5 152 9 155 3 144 2 151 2 157 7 157 4 162 6 161 3 168 0 170 5 166 7 177 1 图形如图10 1 蓝线为实际值 红线为预测值 20 024681012 120 130 140 150 160 170 180 190 图图 10 1 2003 年商品的零售额实际值与预测值比较图年商品的零售额实际值与预测值比较图 通过图形可以直观的看出 1 预测值波动比较小 真实值波动比较剧烈 2 5 月份左右真实值远远低于预测值 年初和年末都高于预测值 这是由实际情况造成的 年 初当 SARS 疫情刚刚开始的时候 人们储备保健药品和保健食物等 拉动了零售额的增长 5 月份左右 SARS 疫情比较猖獗 此时好多学校和单位等实行封闭管理 大大限制了人 们的消费 因此零售额明显降低 年末 SARS 疫情慢慢远去 此前被限制的消费得以充分 实现 又促进了零售额的增长 当然可以根据模型所得数据 对 SARS 疫情给该市的商品 零售业造成的影响进行定量分析 这里不再详述 计算的 MATLAB 程序如下 function 10toliti03 clc clc clear load shuju1 txt 把原始数据保存在纯文本文件 shuju1 txt 中 han1 end x0 mean han1 2 m size han1 2 21 n size x0 1 z1 x1 cumsum x0 alpha 0 5 for i 1 n 1 z1 i 1 alpha x1 i alpha x1 i 1 end z1 Y x0 2 n B z1 ones n 1 1 A inv B B B Y a A 1 u A 2 b4 u a b5 x1 1 b4 b6 a b5 k 6 x7hat x0 1 u a exp a k exp a k 1 z m x7hat u sum han1 sum sum han1 v z u 2 接待海外旅游人数 根据接待海外旅游人数的数据表 计算得年平均值 即原始数据 和一次累加 0 1 x 生成值 分别为 1 1 x 0 1 19 1000 18 1083 20 8333 24 3917 24 7500 27 1750 x 1 1 19 1000 37 2083 58 0417 82 4333 107 1833 134 3583 x 显然的所有级比都在可容区域内 这里取 计算可得背景值 0 x0 5 1 28 1542 47 6250 70 2375 94 8083 120 7708 z 22 计算得参数的估计值为 进而得到时间响应函数0 0938 16 2671 au 1 0 0938 1 192 4955173 3955 k xke 0 0 0938 1 192 4955 k xke 再根据时间响应函数预测可得 2003年的月平均值为万人 年总值为30 2649 x 万人 又根据比例的表达式计算出每月的比例为12363 1785 Zx i u 0 0407 0 0732 0 0703 0 0878 0 0907 0 0848 0 0836 0 1022 0 101 0 1041 0 0914 0 0701 i u 因此 2003 年 1 12 月的预测值 单位 万人 为 14 7992 26 5801 25 5439 31 8961 32 9548 30 7923 30 3644 37 1220 36 6715 37 7978 33 1800 25 4763 VZu 将预测值与实际值进行比较 结果如表10 11所示 表表 10 11 2003 年接待海外旅游人数年接待海外旅游人数 万人 万人 月份1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 实际值 预测值 15 4 17 1 23 5 11 6 1 78 2 61 8 8 16 2 20 1 24 9 26 5 21 8 14 8 26 6 25 5 31 9 33 0 30 8 30 4 37 1 36 7 37 8 33 2 25 5 图形如图10 2 蓝线为实际值 红线为预测值 23 024681012 0 5 10 15 20 25 30 35 40 图图 10 2 2003 年接待海外旅游人数实际值与预测值比较图年接待海外旅游人数实际值与预测值比较图 通过图形可以直观的看出 1 预测值波动比较小 真实值波动比较剧烈 2 真 实值低于预测值 尤其 5 月份左右真实值远远低于预测值 年初和年末相差不太大 这是 由实际情况造成的 5 月份左右 SARS 疫情比较猖獗 此时好多学校和单位等实行封闭管 理 大大限制了人们的出行 同时人们也基于自身安全的因素 能不出门就不出门 因此 旅游人数大大降低 旅游业处于低谷 年初和年末 SARS 疫情对人们出行的影响不大 因 此年初和年末年末海外旅游人数的实值略低于预测值 3 综合服务业累计数据 根据综合服务业累计数据的数据表 计算得年平均值 即原始数据 和一次累 0 1 x 加生成值 分别为 1 1 x 0 1 483 3 588 2 657 8 778 4 874 9 1000 9 x 1 1 483 3 1071 5 1729 3 2507 6 3382 5 4383 5 x 显然的所有级比都在可容区域内 这里取 计算可得背景值 0 x0 5 1 777 4 1400 4 2118 5 2945 1 3883 0 z 24 计算得参数的估计值为 进而得到时间响应函数0 1343 481 2013 au 1 0 1343 1 406 59358 26 k xke 0 0 1343 1 546 1129 k xke 再根据时间响应函数预测可得 2003年的月平均值为亿元 年总值为1144 0 x 亿元 又根据比例的表达式计算出每月的比例为111258 4 Zx i u 0 0191 0 031 0 0433 0 0591 0 0728 0 085 0 1046 0 1205 0 1358 0 1515 0 1749 i u 因此 2003 年 1 12 月的预测值 单位 亿元 为 240 1 389 7 545 2 743 8 915 8 1100 9 1316 2 1516 6 1708 7 1906 5 2200 9 VZu 将预测值与实际值进行比较 结果如表10 12所示 表表 10 12 2003 年综合服务业累计数据的比较表年综合服务业累计数据的比较表 亿元 亿元 月份2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 实际值 预测值 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 240 390 545 744 916 1101 1316 1517 1709 1907 2201 图形如图10 3 蓝线为实际值 红线为预测值 1234567891011 0 500 1000 1500 2000 2500 图图 10 3 2003 年综合服务业累计数据实际值与预测值比较图年综合服务业累计数据实际值与预测值比较图 通过图形可以直观的看出 1 预测值与真实值相差不大 2 5月份左右真实值与 预测值最接近 这是由实际情况造成的 SARS 疫情对于综合服务业中的部分行业影响较 25 大 如航空交通运输 宾馆餐饮等 但有些行业影响不大 如电信 通讯等 因此总平均 来看 影响还不算太大 4 模型的评价 从三方面的结果分析 可以看出模型的结论与实际情况相符 这说明了模型的正确性 和可靠性 虽然该模型是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的 但类似地也适 用于其它方面的一些数据规律的评估预测问题 即该模型具有很广泛的应用性 10 2 4 GM 1 n 模型的应用 因素相关问题 GM 1 n 模型表示一阶的含有 n 个变量灰色模型 适合于建立系统的状态模型与各 变量的动态分析 与 GM 1 1 模型不同 不适合预测用 但建模与计算过程与 GM 1 1 模型类似 GM 1 2 模型是 GM 1 n 模型的基础 因此下面以 GM 1 2 模型为例说明 GM 1 n 模型的建模过程 GM 1 2 模型表示一阶的含有两个变量灰色模型 其相应的白化微分方程模型为 1 1 1 1 12 dx axux dt 时间相应函数 即解 为 1 0 1 1 1122 1 1 1 1 ak uu xkxxkexk aa 还原值为 0 1 0 111 1 1 xkxkxk 例例 10 410 4 某系统中两因素和相互之间存在关系 其中因素为系统特征因素 1 x 2 x 1 x 因素为相关因素 两因素的关系如表 10 13 所示 2 x 表表 10 13 两因素的关系两因素的关系 序号1 2 3 4 5 因素 1 x 因素 2 x 10 7 12 3 15 4 19 2 21 5 40 3 50 5 60 3 65 5 75 2 解 第一步 数据处理 取原始数据为 0 1 10 7 12 3 15 4 19 2 21 5 x 0 2 40 3 50 5 60 3 65 5 75 2 x 对原始数据累加生成 得 26 1 0 11 10 7 23 38 4 57 6 79 1 xAGOx 1 0 22 40 3 90 8 151 1 216 6 291 8 xAGOx 第二步 建立 GM 1 2 模型 白化的微分方程模型为 1 1 1 1 12 dx axux dt 转化为灰微分方程 0 1 1 111 2 3 5 xkazkuzkk 或 0 1 1 111 2 3 5 xkazkuzkk 其中 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 xkxk zkk 即矩阵形式为 a YBBA u 其中 1 1 12 1 1 0 0 0 12 1 1 12 1 1 12 2 2 3 3 2 3 5 4 4 6 5 zx azx YxxxBA uzx zx 3 时间响应函数 利用最小二乘法得到参数的估计值 即 a u 1 TT a AB BB Y u 进而得到微分方程的解即时间响应函数及还原值 即 1 1 x 1 0 x 1 0 1 1 1122 1 1 1 1 ak uu xkxxkexk aa 0 1 0 111 1 1 xkxkxk 27 第三步 模型的求解 建立M文件10toliti04 m如下 clc clear x10 10 7 12 3 15 4 19 2 21 5 x20 40 3 50 5 60 3 65 5 75 2 n length x10 x11 cumsum x10 x21 cumsum x20 for i 2 n z11 i 0 5 x11 i x11 i 1 end