高中数学 立体几何知识点总结教案(学生版) 新人教A版必修2

专心 爱心 用心1 第二章知识点总结第二章知识点总结 一 平面 通常用一个平行四边形来表示 平面常用希腊字母 或拉丁字母 M N P 来表示 也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示 如平面 AC 在立体几何中 大写字母 A B C 表示点 小写字母 a b c l m n 表示直线 且把直线和平面看成点 的集合 因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系 例如 a A l 点 A 在直线 l 上 A 点 A 不在平面 内 b l 直线 l 在平面 内 c a 直线 a 不在平面 内 d l m A 直线 l 与直线 m 相交于 A 点 e l A 平面 与直线 l 交于 A 点 f l 平面 与平面 相交于直线 l 二 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 公理 3 经过不在同一直线上的三个点 有且只有一个平面 根据上面的公理 可得以下推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 三 证题方法 练习 1 已知直线 bc 且直线a与 b c都相交 求证 直线 a b c共面 注 第二教材 25 26 页 题型 1 题型 2 四 空间线面的位置关系 共面 平行 没有公共点 1 直线与直线 相交 有且只有一个公共点 异面 既不平行 又不相交 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线和平面 直线不在平面内 平行 没有公共点 直线在平面外 相交 有且只有一公共点 3 平面与平面 相交 有一条公共直线 无数个公共点 平行 没有公共点 五 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法 证题方法 间接证法 直接证法 反证法 同一法 专心 爱心 用心2 A B C D M N S 有时也可用定理 平面内一点与平面外一点的连线 与平面内不经过该点的直线是异面直线 练习 2 求证 两条异面直线不能同时和一个平面垂直 练习 3 四面体SABC 中 各个侧面都是边长为a的正三角形 E F分别是SC和AB的中点 则异面直线 EF与SA所成的角是多少 六 线面平行与垂直的判定 1 1 两直线平行的判定两直线平行的判定 定义 在同一个平面内 且没有公共点的两条直线平行 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 即若 a a 垂直于同一平面的两直线平行 即若 a b 则 a b 线面垂直的性质定理 两平行平面与同一个平面相交 那么两条交线平行 即若 b 则 a b 面面平行的性质 公理 中位线定理 平行四边形 比例线段 b 则 a b 线面平行的判定定理 平行于同一直线的两直线平行 即若 a b b c 则 a c 公理 4 2 2 两直线垂直的判定两直线垂直的判定 定义 若两直线成 90 角 则这两直线互相垂直 一条直线与两条平行直线中的一条垂直 也必与另一条垂直 即若 b c a b 则 a c 一条直线垂直于一个平面 则垂直于这个平面内的任意一条直线 即若 a b a b 三垂线定理和它的逆定理 在平面内的一条直线 若和这个平面的一条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂 直 如果一条直线与一个平面平行 那么这条直线与这个平面的垂线垂直 即若 a b 则 a b 3 3 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 定义 若一条直线和平面没有公共点 则这直线与这个平面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 则这条直线与这个平面平行 即若 a b a b 则 a 线面平行的判定定理 两个平面平行 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 即若 l 则 l 练习 4 如图 S是平行四边形ABCD平面外一点 M N分别是 SA BD上的点 且 SM AM ND BN 求证 MN平面SBC 专心 爱心 用心3 练习 5 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB M AC N FB 且 AM FN 求证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 MN 平面 BCE 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用两种方法来证 4 直线与平面垂直的判定 定义 若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 则这条直线和这个平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 即若 m n m n B l m l n 则 l 线面垂直判定定理 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一平面 即若 l a a 则 l 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 即若 l 则 l 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 即若 a l l a 则 l 面面垂直的性质定理 练习 6 已知 E F 分别是正方形 ABCD 边 AD AB 的中点 EF 交 AC 于 M GC 垂直于 ABCD 所在平面 1 求证 EF 平面 GMC 2 若 AB 4 GC 2 求点 B 到平面 EFG 的距离 练习 7 如图 2 3 1 2 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 的中点 G 是 EF 的中点 现在沿 AE AF 及 EF 把 这个正方形折成一个空间图形 使 B C D 三点重合 重合后的点记为 H 那么 在这个空间图形中必有 A AH EFH 所在平面 B AD EFH 所在平面 C HF AEF 所在平面 D HD AEF 所在平面 练习 8 三棱锥P ABC 的高为PH 若三个侧面两两垂直 则H为 ABC的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 5 两平面平行的判定 定义 如果两个平面没有公共点 那么这两个平面平行 即无公共点 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 即若 a b a b P a b 则 面面平行判定定理 推论 一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线 则这两个平面平行 即若 a b c d a b P a c b d 则 6 两平面垂直的判定 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 那么这两个平面互相垂直 即二面角 a 90 H M N F E D C B A 专心 爱心 用心4 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 即若 l l 则 面面垂直判定定理 练习 9 直三棱柱 111 ABCABC 中 各侧棱和底面的边长均为a 点D是 1 CC 上任意一点 连接 11 AB BD AD AD 则三棱锥 1 AABD 的体积为 A 3 6 1 a B 3 12 3 a C 3 6 3 a D 3 12 1 a 练习 10 在三棱锥S ABC 中 ABC是边长为4的正三角形 平面SAC 平面 2 3ABC SASC M N分别为 AB SB 的中点 证明 AC SB 求二面角N CM B的大小 求点B到平面CMN的距离 练习 11 正方体 1111 ABCDABC D 中 M是 1 AA 的中 点 求证 平面MBD 平面 1 BDC 七 空间中的各种角 等角定理及其推论 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 则这两个角相等 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 则这两组直线所成的锐角 或直角 相等 1 异面直线所成的角 1 定义 a b 是两条异面直线 经过空间任意一点 O 分别引直线 a a b b 则 a 和 b 所成的锐角 或 直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 2 取值范围 0 90 3 求解方法 根据定义 通过平移 找到异面直线所成的角 解含有 的三角形 求出角 的大小 2 直线和平面所成的角 斜线和射影所成的锐角 1 取值范围 0 90 2 求解方法 作出斜线在平面上的射影 找到斜线与平面所成的角 解含 的三角形 求出其大小 3 二面角及二面角的平面角 1 半平面 直线把平面分成两个部分 每一部分都叫做半平面 2 二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个平面叫做二面 角的面 即二面角由半平面一棱一半平面组成 专心 爱心 用心5 若两个平面相交 则以两个平面的交线为棱形成四个二面角 二面角的大小用它的平面角来度量 通常认为二面角的平面角 的取值范围是 0 180 3 二面角的平面角 以二面角棱上任意一点为端点 分别在两个面内作垂直于棱的射线 这两条射线所组成的角叫做二面角的平面 角 如图 PCD 是二面角 AB 的平面角 平面角 PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位置无关 二面角的平面角具有下列性质 i 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面 即 AB 平面 PCD ii 从二面角的平面角的一边上任意一点 异于角的顶点 作另一面的垂线 垂足必在平面角的另一边 或其反向 延长线 上 iii 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直 即平面 PCD 平面 PCD 找 或作 二面角的平面角的主要方法 i 定义法 ii 垂面法 iii 三垂线法 根据特殊图形的性质 4 求二面角大小的常见方法 先找 或作 出二面角的平面角 再通过解三角形求得 的值 练习 12 正四棱锥 顶点在底面的射影是底面正方形的中心 的体积为12 底面对角线的长为2 6 则侧面与 底面所成的二面角等于 练习 13 在正四面体ABCD中 E为AD的中点 求直线CE与平面BCD所成角的正弦值 13 空间的各种距离 点到平面的距离 1 定义 面外一点引一个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 2 求点面距离常用的方法 1 直接利用定义求