江苏省无锡市惠山区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2015年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 10题，每小题 3分，共计 30分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1锐角 30的正弦值为（ ） A B C D 2如图在 ， 0， ， ，则下列结论正确的是（ ） A B C D 3在以下数据 75， 80， 80， 85， 90 中，众数、中位数分别是（ ） A 75， 80 B 80， 80 C 80， 85 D 80， 90 4一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有3 种可能情况：红球，黄球和绿球，则随机摸出一球是红球的概率为（ ） A 0 B C D无法确定 5点 P 为半径为 3 的 O 上一点，若 ，则点 Q 与 O 的位置关系为（ ） A在 O 外 B在 O 上 C在 O 内 D都有可能 6在 O 中， r=13，弦 4，则圆心 O 到 距离为（ ） A 5 B 10 C 12 D 13 7下列命题： 三点确定一个圆； 相等的圆心角所对的弦相等； 直径所对的圆周角是直角； 直角三角形的外心是斜边的中点真命题为（ ） A B C D 8如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 于点 A，再以 A 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 ） A B C D 9在半径为 13 的 O 中，弦 距离为 7，若 4，则 长为（ ） A 10 B 4 C 10 或 4 D 10 或 2 10如图，点 P 是半径为 1 的 A 上一点，延长 C，使 P，以 对角线作 ，则平行四边形 积的最大值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A 2 B 2 C 3 D 3 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共计 16分请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11已知 为锐角，且 1=0， 则 = 12用单词 “随机抽取一个字母为 p 的概率为 13小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分， 80 分， 90分，若依次按照 2： 3： 5 的比例确定成绩，则小王的成绩 分 14如图， ， 垂直平分线， 点 E，连接 ，2，则 15 ， C=90， A 为圆心，以 半径作圆，则 A 的关系是 16四边形 圆 O 的内接四边形，已知 00，则 17已知点 P 是半径为 1的 O 于点 A，且 ， O 的弦， ，连接 18如图， 矩形 对角线， O 是 内切圆，现将矩形 如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 F， G 分别在 ，连结 G，若 O 的半径长为 1，则 B 的值 三、解答题（本大题共 10小题，共计 84分解答需写出必要的文字说明或演算步骤 .） 19计算： （ 1） +（ 1） 2015 | |； （ 2） 2 20解方程（组）： （ 1） 2x 3=0； 第 3 页（共 24 页） （ 2） 21如图，在 ， C=90， 0， A= ，求 长和 B 的值 22如图所示， A、 B 两个旅游点从 2011 年至 2015 年 “清明小长假 ”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题： （ 1） B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （ 2）求 A、 B 两个旅游点从 2011 年到 2015 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价； （ 3） A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全， A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人 A 旅游点决定提高门票价格来控制游客数量已知游客数量 y（万人）与门票价格 x（元）之间满足函数关系 y=5 若要使 A 旅游点的游客人数不超过4 万人，则门票价格至少应提高多少元？ 23一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字 1， 2， 3， 4 的小球，它们的形状、大小完全相同先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为 x；再在剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球，记下数字为 y，得到点 P 的坐标（ x， y） （ 1）请用 “列表 ”或 “画树状图 ”等方法表示出点 P（ x， y）所有可能的结果； （ 2）求出点 P（ x， y）在第一象限或第三象限的概率 24如图， O 的直径，弦 交于点 E （ 1）若 5，求 D 的度数； （ 2）若 0， ，且 0，求 长 25如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是 0，若兰兰的眼睛与地面的距离是 ， 米， 页（共 24 页） 平行于 在的直线，迎水坡的坡度 i=4： 3，坡长 0 米，求小船 C 到岸边的距离 参考数据： ，结果保留两位有效数字） 26如图 1，在 ， 0， ， ，有一过点 C 的动圆 O 与斜边切于动点 P，连接 O 的半径为 r （ 1）当 O 与直角边 切时，如图 2 所示，求此时 O 的半径 r 的长； （ 2）若弦 ，求 长； （ 3）当切点 P 运动到点 B 处时， O 的半径 r 有最大值，试求出这个最大值 27阅读下面材料： 小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在 ， C=90， B= 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图 1），他发现 是特殊角，但它是特殊角 45的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在 上截取 A，连接 图 2），通过构造有特殊角（ 45）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： 参考小天思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等腰 ， C， A=30，请借助 造出 15的角，并求出该角的正切值 28如图， ， A（ 0， 3）， C（ 6， 0）， 5，点 P 从点 E（ 4， 0）出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t（秒） 第 5 页（共 24 页） （ 1） D 点坐标为 （ 2）当 5时，求点 P 的坐标 （ 3）以点 P 为圆心， 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与 边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值 第 6 页（共 24 页） 2015年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10题，每 小题 3分，共计 30分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1锐角 30的正弦值为（ ） A B C D 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解 【解答】 解： 故选 A 2如图在 ， 0， ， ，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】 首先利 用勾股定理计算出 长，再根据三角函数定义进行计算即可选出答案 【解答】 解： 在 ， 0， ， ， =4， = ， = ， ， ， 故选： D 3在以下数据 75， 80， 80， 85， 90 中，众数、中位数分别是（ ） A 75， 80 B 80， 80 C 80， 85 D 80， 90 【考点】 众数；中位数 【分析】 首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可 【解答】 解： 数据 75， 80， 80， 85， 90 中， 80 出现的次数最多，出现了 2 次， 这组数据的众 数是 80； 把数据 75， 80， 80， 85， 90 从小到大排列，可得 75， 80， 80， 85， 90， 所以这组数据的中位数是 80 第 7 页（共 24 页） 故选： B 4一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有3 种可能情况：红球，黄球和绿球，则随机摸出一球是红球的概率为（ ） A 0 B C D无法确定 【考点】 概率公式 【分析】 由一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无 其他差别），从中随机摸出一个小球，共有 3 种可能情况：红球，黄球和绿球，但不知各小球的具体个数，故无法求得随机摸出一球是红球的概率 【解答】 解： 一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有 3 种可能情况：红球，黄球和绿球，但不知各小球的个数； 随机摸出一球是红球的概率：无法确定 故选 D 5点 P 为半径为 3 的 O 上一点，若 ，则点 Q 与 O 的位置关系为（ ） A在 O 外 B在 O 上 C在 O 内 D都有可能 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 根据点与圆 的位置关系即可得出结论 【解答】 解： P， 大小不能确定， 点 Q 与 O 的位置关系不能确定 故选 D 6在 O 中， r=13，弦 4，则圆心 O 到 距离为（ ） A 5 B 10 C 12 D 13 【考点】 垂径定理的应用 【分析】 根据题意画出图形，过点 O 作 点 D，再根据勾股定理即可得出结论 【解答】 解：如图所示，过点 O 作 点 D， 4， r=13， 2， OB=r=13， = =5 故选 A 7下列命题： 三点确定一个圆； 相等的圆心角所对的弦相等； 直径所对的圆周角是直角； 直角三角形的外心是斜边的中点真命题为（ ） A B C D 【考点】 命题与定理 第 8 页（共 24 页） 【分析】 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 【解答】 解： 不在同一直 线上的三点确定一个圆，故错误，为假命题； 在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故错误，为假命题； 直径所对的圆周角是直角，正确，为真命题； 直角三角形的外心是斜边的中点，正确，为真命题， 故选 C 8如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 于点 A，再以 A 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 ） A B C D 【考点】 等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值 【分析】 先证明 等边三角形，得 0，即可得出 【解答】 解：根据题意得： B= 等边三角形， 0， 故选： B 9在半径为 13 的 O 中，弦 距离为 7，若 4，则 长为（ ） A 10 B 4 C 10 或 4 D 10 或 2 【考点】 垂径定理；勾股定理 【分析】 根据题意画出图形，由于 位置不能确定，故应分 圆心 B 与 圆心 O 的异侧两种情况进行讨论 【解答】 解：当 圆心 O 的同侧时，如图 1 所示： 过点 O 作 点 F，交 点 E，连接 24=12， 在 ， = =5， E+7=12， 第 9 页（共 24 页） 在 ， = =5， 5=10； 当 圆心 O 的异侧时，如图 2 所示： 过点 O 作 点 F，反向延长交 点 E，连接 24=12， 在 ， = =5， F 5=2， 在 ， = = ， =2 故 长为 10 或 2 故选 D 10如图，点 P 是半径为 1 的 A 上一点，延长 C，使 P，以 对角线作 ，则平行四边形 积的最大值为（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考点】 平行四边 形的性质；圆的认识 【分析】 由已知条件可知 ， ，应该是当 直角边时三角形的面积最大，根据 可求得 【解答】 解：由已知条件可知，当 面积最大， ， P， ， ， S C= ， 第 10 页（共 24 页） SS ， 积的最大值为 2 故选： B 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共计 16分请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11已知 为锐角，且 1=0，则 = 45 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角的三角函数值求解 【解答】 解： 1=0， 为锐角， ， =45 故答案为： 45 12用单词 “随机抽取一个字母为 p 的概率为 【考点】 概率公式 【分析】 由单词 “有 2 个 p，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 单词 “有 2 个 p， 从单词 “随机抽取一个字母为 p 的概率为： 故答案为： 13小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别 为 85 分， 80 分， 90分，若依次按照 2： 3： 5 的比例确定成绩，则小王的成绩 86 分 【考点】 加权平均数 【分析】 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可 【解答】 解：根据题意得： 85 +80 +90 =17+24+45=86（分）， 答：小王的成绩是 86 分 故答案为： 86 14如图， ， 垂直平分 线， 点 E，连接 ，2，则 第 11 页（共 24 页） 【考点】 线段垂直平分线的性质；解直角三角形 【分析】 根据线段垂直平分线的性质，可得出 E，再根据等腰三角形的性质可得出D，从而得出 为 【解答】 解： 垂直平分线， E， D， ， 2， ， ， = = ， 故答案为 15 ， C=90， A 为圆心，以 半径作圆，则 A 的关系是 点 C 在圆外 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 根据题意画出图形，利用勾股定理求出 长，再根据点与圆的位置关系即可得出结论 【解答】 解：如图所示， C=90， = = ， ， 点 C 在圆外 故答案为：点 C 在圆外 16四边形 圆 O 的内接四边形，已知 00，则 130或 50 【 考点】 圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】 先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到 00，再根据圆周角定理得 0，然后根据圆内接四边形的性质求解 【解答】 解：如图 第 12 页（共 24 页） 弧 度数为 140， 40， 0， 80 30 同理， 当点 A 是优弧上时， 0 故答案为： 130或 50 17已知点 P 是半径为 1的 O 于点 A，且 ， O 的弦， ，连接 1 或 【考点】 切线的性质 【分析】 本题应分两种情况进行讨论： （ 1）如图 1，可以根据已知条件证明 后即可求出 （ 2）如图 2，此时可以根据已知条件证明 平行四边形，然后利用平行四边 形的性质和勾股定理即可求出 【解答】 解：连接 （ 1）如图 1，连接 O=1， B， 的切线， 5 B， 5， 在 ， ， A=1； （ 2）如图 2，连接 于 C， O 的切线， 而 O=1 ； ， 而 B=1， 四边形 平行四边形， 相平分； 设 点 C， 即 ， ， 故答案为： 1 或 第 13 页（共 24 页） 18如图， 矩形 对角线， O 是 内切圆，现将矩形 如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 F， G 分别在 ，连结 G，若 O 的半径长为 1，则 B 的值 2 +4 【考点】 三角形的内切圆与内心；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】 设圆 0 与 切点为 M，连接 切线的性质可知 后证明 到 C=1， M=C 2设 AB=a， BC=a+2，a，从而可求得 0，从而得到 ，故此可求得 ，则 +3 【解答】 解：如图所示：设圆 0 与 切点为 M，连接 圆 O 的切线， M 为切点， 0 由翻折的性质可知： G 0 又 0， 第 14 页（共 24 页） 在 ， ， C=1 M=C 2 D， 设 AB=a，则 BC=a+2 圆 O 是 内切圆， B+2r a 0 ，即 解得： a= ， B+2= 所有 C=4 故答案 为： 4 三、解答题（本大题共 10小题，共计 84分解答需写出必要的文字说明或演算步骤 .） 19计算： （ 1） +（ 1） 2015 | |； （ 2） 2 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】 （ 1）原式利用算术平方根，绝对值的代数意义，以及乘方的 意义计算即可得到结果； （ 2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =2 1 = 1； （ 2）原式 =2 =1 1=0 20解方程（组） ： （ 1） 2x 3=0； （ 2） 【考点】 解一元二次方程 二元一次方程组 【分析】 （ 1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 （ 2） x 的系数相等，所以可以用加减法求解 【解答】 解：（ 1） 2x 3=0， （ x+1）（ x 3） =0， x+1=0， x 3=0， 第 15 页（共 24 页） 1， （ 2） 得， 5y=5， 解得 y=1， 把 y=1 代入 得， x=10， 故原方程组的解为 21如图，在 ， C=90， 0， A= ，求 长和 B 的值 【考点】 解直角三角形 【分析】 在直角三角形 ，根据 值及 长，利用锐角三角函数定义求出长，再利用勾股定理求出 长，利用锐角三角函数定义即可求出 值 【解答】 解：在 ， C=90， 0， = = ， ， 根据勾股定理得： =2 ， 则 = = 22如图所示， A、 B 两个旅游点从 2011 年至 2015 年 “清明小长假 ”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题： （ 1） B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （ 2）求 A、 B 两个旅游点从 2011 年到 2015 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价； （ 3） A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全， A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人 A 旅游点决定提高门票价格来 控制游客数量已知游客数量 y（万人）与门票价格 x（元）之间满足函数关系 y=5 若要使 A 旅游点的游客人数不超过4 万人，则门票价格至少应提高多少元？ 第 16 页（共 24 页） 【考点】 一元一次不等式的应用；折线统计图；算术平均数；方差 【分析】 （ 1）认真审图不难看出 B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2004 年； （ 2）根据平均数和方差的计算公式求出甲乙的平均数与方差，然后根据方差的大小两个旅游点的情况进行评价； （ 3）根据函数的解析式 y=5 4 来确定应提高票价多少元 【解答】 解：（ 1） B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2014 年； （ 2） = =3（万人）， = =3（万人） （ 1 3） 2+（ 2 3） 2+（ 3 3） 2+（ 4 3） 2+（ 5 3） 2=2， （ 3 3） 2+（ 3 3） 2+（ 2 3） 2+（ 4 3） 2+（ 3 3） 2= 从 2011 至 2015 年清明小长假期间， A、 B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但A 旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动更大一些； （ 3）由题意，得 5 4， 解得 x100， x 80100 80=20 答： A 旅游点的门票至少要提高 20 元 23一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字 1， 2， 3， 4 的小球，它们的形状、大小完全相同先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为 x；再在剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球，记下数字为 y，得到点 P 的坐标（ x， y） （ 1）请用 “列表 ”或 “画树状图 ”等方法表示出点 P（ x， y）所有可能的结果； （ 2）求出点 P（ x， y）在第一象限或第三象限的概率 【考点】 列表法与树状图法；点的坐标 【分析】 （ 1）通过列表展示即可得到所有可能 的结果； （ 2）找出在第一象限或第三象限的结果数，然后根据概率公式计即可 【解答】 解：（ 1）列表如下： 1 2 3 4 1 （ 1， 2） （ 1， 3） （ 1， 4） 第 17 页（共 24 页） 2 （ 2， 1） （ 2， 3） （ 2， 4） 3 （ 3， 1） （ 3， 2） （ 3， 4） 4 （ 4， 1） （ 4， 2） （ 4， 3） （ 2）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，且每种结果出现的可能性相同，其中点（ x， y）在第一象限或第三象限的结果有 4 种，所以其的概率 = = 24如图， O 的直径，弦 交于点 E （ 1）若 5，求 D 的度数； （ 2）若 0， ，且 0，求 长 【考点】 垂径定理；圆周角定理 【分析】 （ 1）连接 O 的直径，得到 0，根据圆周角定理即可得到结论； （ 2）因为 0，可过点 O 作 F，构成直角三角形， 先求得 O 的半径为5而求得 ，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，得出 ，再根据勾股定理求得 长，然后由垂径定理求出 长 【解答】 解：（ 1）连接 O 的直径， 0， 5， B=25， D= B=25； （ 2）连接 点 O 作 点 F； 0， ， A=6， 2=4； 0， ， 由勾股定理 得： 解得： ， 第 18 页（共 24 页） 25如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是 0，若兰兰的眼睛与地面的距离是 ， 米， C 所在的直线，迎水坡的坡度 i=4： 3，坡长 0 米，求小船 C 到岸边的距离 参 考数据： ，结果保留两位有效数字） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 把 整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点 B 和点 而利用俯角的正切值可求得 度 H 即为 度 【解答】 解：过点 B 作 点 E，延长 点 H，得 矩形 ， ， ， G+= E+1=7 在 ， C= 0， ， 又 A+7， 即 ， ） 答： 长约是 26如图 1，在 ， 0， ， ，有一过点 C 的动圆 O 与斜边切于动点 P，连接 O 的半径为 r （ 1）当 O 与直角边 切时，如图 2 所示，求此时 O 的半径 r 的长； （ 2）若弦 ，求 长； （ 3）当切点 P 运动到点 B 处时， O 的半径 r 有最大值，试求出这个最大值 第 19 页（共 24 页） 【考点】 切线的性质 【分析】 （ 1）先根据勾股定理求出 长，再由切线的性质求出 长，过 P 作 ，过 O 作 R，根据 出 长，再由 可得出r 的值； （ 2）过 C 作 D，根据三角形的面积公式求得 =据勾股定理求出 =可得到结论； （ 3）当 P 与 B 重合时，圆最大这时 O 在 垂直平分线上，过 O 作 D，由 ，由于 切线可知 0， 0，故可得出 据锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】 解：（ 1）如图 1， 在 ， 0， ， ， =5 是圆的切线，圆心在 ， C=3， ， 过 P 作 Q，过 O 作 R， = = = ， ， ， C ， = ， 点 O 是 中点， ， = ，即 = ，解得 r= ； 第 20 页（共 24 页） （ 2）如图 2，过 C 作 D， = = D （ 3）如图 3，当 P 与 B 重合时，圆最大 O 在 垂直平分线上，过 O 作 D，由 ， 切线， 0， 0， = ， ，即半径最大值为 第 21 页（共 24 页） 27阅读下面材料： 小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在 ， C=90， B= 1 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图 1），他发现 是特殊角，但它是特殊角 45的一半，若构造有特殊 角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在 上截取 A，连接 图 2），通过构造有特殊角（ 45）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： 1 参考小天思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等腰 ， C， A=30，请借助 造出 15的角，并求出该角的正切值 【考点】 解直角三角形 【分析】 如图 2，设 A=a， 等腰直角三角形，则 a，易得 B=所以 A= a，再在 ，利用正切定义可计算出 1，即 1； 如图 3，延长 D，使 B，则 D