高中数学第一轮总复习 第九章9.10 棱柱与棱锥教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 9 109 10 棱柱与棱锥棱柱与棱锥 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 有两个面互相平行 其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱 侧棱与底面垂直 的棱柱叫做直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 2 棱柱的各侧棱相等 各侧面都是平行四边形 长方体的对角线的平方等于由一个顶点 出发的三条棱的平方和 3 一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥 底面是正 多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥 4 棱锥中与底面平行的截面与底面平行 并且它们面积的比等于对应高的平方比 在正棱锥中 侧棱 高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形 斜高 高及斜高在底面上的 射影也构成直角三角形 二 点击双基二 点击双基 1 设 M 正四棱柱 N 直四棱柱 P 长方体 直平行六面体 则四个集 合的关系为 A MPNQ B MPQN C PMNQ D PMQN 解析 理清各概念的内涵及包含关系 答案 B 2 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D ABC 内部 解析 由 AC AB AC BC1 知 AC 面 ABC1 从而面 ABC1 面 ABC 因此 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在两面的交线 AB 上 答案 A 3 正四棱锥底面边长为 4 侧棱长为 3 则其体积为 解析 该正四棱锥的高 h 1 体积 V S h 42 1 22 22 3 3 1 3 1 3 16 答案 3 16 4 若正三棱锥底面边长为 4 体积为 1 则侧面和底面所成二面角的大小等于 结果用反三角函数值表示 用心 爱心 专心 2 解析 取 BC 的中点 D 连结 SD AD 则 SD BC AD BC SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角 设为 在平面 SAD 中 作 SO AD 与 AD 交 于 O 则 SO 为棱锥的高 AO 2DO OD 3 2 3 又 VS ABC AB BC sin60 h 1 3 1 2 1 h tan 4 3 DO SO 3 3 2 4 3 8 3 arctan 8 3 答案 arctan 8 3 5 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面 它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比 自上而下 为 解析 由锥体平行于底面的截面性质 知自上而下三锥体的侧面积之比 S侧 1 S侧 2 S侧 3 1 4 9 所以锥体被分成三部分的侧面积之比为 1 3 5 答案 1 3 5 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 已知 E F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 A1A CC1的中点 求四棱锥 C1 B1EDF 的体积 解法一 连结 A1C1 B1D1交于 O1 过 O1作 O1H B1D 于 H EF A1C1 A1C1 平面 B1EDF C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离 平面 B1D1D 平面 B1EDF O1H 平面 B1EDF 即 O1H 为棱锥的高 用心 爱心 专心 3 B1O1H B1DD1 O1H a DB DDOB 1 111 6 6 O1H EF B1D O1H a a a a3 EDFBC V 11 3 1 EDFB V 1 3 1 2 1 3 1 2 1 23 6 6 6 1 解法二 连结 EF 设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1 D 到平面 C1EF 的距离为 h2 则 h1 h2 B1D1 a 2 h1 h2 a3 EDFBC V 11 EFCB V 11 EFCD V 1 3 1 EFC V 1 6 1 解法三 a3 EDFBC V 11 FDCDEBA V 1111 多面体 1111 DCBAE V DDCE V 11 6 1 链接链接 提示提示 求体积常见方法有 直接法 公式法 分割法 补形法 例 2 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA AB 2 BC a 又侧棱 PA 底面 ABCD 1 当 a 为何值时 BD 平面 PAC 试证明你的结论 2 当 a 4 时 求 D 点到平面 PBC 的距离 3 当 a 4 时 求直线 PD 与平面 PBC 所成的角 剖析 本题主要考查棱锥的性质 直线 平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识 同时考查空间想象能力 逻辑推理能力和计算能力 解 1 以 A 为坐标原点 以 AD AB AP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标 系 当 a 2 时 BD AC 又 PA BD 故 BD 平面 PAC 故 a 2 2 当 a 4 时 D 4 0 0 C 0 2 0 C 4 2 0 P 0 0 2 0 2 2 FB 4 0 0 BC 设平面 PBC 的法向量为 n 则 n 0 n 0 即 x y z 0 2 2 PBBC 0 x y z 4 0 0 0 得 x 0 y z 取 y 1 故 n 0 1 1 则 D 点到平面 PBC 的距离 d n DCn 2 3 4 0 2 cos n 0 证 n 设直线 PDDPDP nDP nDP 10 10 DP 用心 爱心 专心 4 与平面 PBC 所成的角为 则 sin sin cos 2 10 10 所以直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin 10 10 讲评 本题主要是在有关的计算中 推理得到所求的问题 因而尽量选择用坐标法计算 例 3 已知三棱锥 A BCD 中 AB 3 其余各棱长均为 2 E F 分别是 AB CD 的中点 问 在线 段 EF 上是否存在一点 O 使 O 到 A B C D 四点的距离相等 剖析 易证 EF 为 AB CD 的公垂线段 问题则转化为在线段 EF 上是否存在一点 O 使 OA OC 解 如图 连结 EC ED AD DB AC BC 2 AB 是公共边 ABD ABC DE CE 而 F 为 CD 的中点 EF CD 同理 EF AB 即 EF 为 AB CD 的公垂线 假设在 EF 上存在点 O 使 OA OC 令 OE x 由 OA OC 得到关于 x 的方程 下面只需考虑这 个方程是否有解即可 在 R