高中数学 第三章第2节古典概型知识精讲（理） 人教新课标A版必修3

用心 爱心 专心 高二数学高二数学 第三章第第三章第 2 节古典概型 理 人教新课标节古典概型 理 人教新课标 A 版必修版必修 3 一 学习目标 一 学习目标 1 正确理解古典概型的两大特点 2 掌握古典概型的概率计算公式 3 通过模拟试验 感知应用数字解决问题的方法 自觉养成动手 动脑的良好习惯 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 正确理解古典概型及其概率的计算公式 难点 如何判断一个试验是否是古典概型 分清在一个古典概型中某随机事件包含的 基本事件的个数和试验中基本事件的总数 以及设计和运用模拟方法近似计算概率 三 考点分析 三 考点分析 古典概型是概率中最基本 最常见而又最重要的类型之一 对这一部分要求同学们能 够通过实例理解古典概型的两大特征 同时要学生初步学会把一些实际问题转化为古典概 型 一 古典概型的基本概念 1 基本事件 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件 2 等可能基本事件 若在一次试验中 每个基本事件发生的可能性都相同 则称这些基 本事件为等可能基本事件 3 古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型 所有可能出现的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等 4 古典概型的概率 如果一次试验的等可能基本事件共有个 那么每一个等可能基本事件发生的概率都n 是 如果某个事件包含了其中个等可能基本事件 那么事件发生的概率为 1 n AmA m P A n 二 产生随机数的方法 1 由试验 如摸球或抽签 产生随机数 例 产生 1 25 之间的随机整数 1 将 25 个大小 形状相同的小球分别标以数 1 2 24 25 全部放入一个袋 中 充分搅拌 2 从中摸出一个球 这个球上的数就是随机数 2 由计算器或计算机产生随机数 由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产生的 具有周期性 周期很长 用心 爱心 专心 具有类似随机数的性质 但并不是真正的随机数 因而叫伪随机数 这种用计算器或计算机模拟试验的方法 称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法 3 随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤 1 设计概率模型 2 进行模拟试验 3 统计试验结果 知识点一 古典概型的基本概念知识点一 古典概型的基本概念 例例 1 从字母 a b c d中任意取出两个不同字母的试验中 有哪些基本事件 思路分析思路分析 1 题意分析 题意分析 本试题考查一次试验中用列举法列出所有基本事件的结果 而画树状图 是列举法的基本方法 2 解题思路 解题思路 为了了解基本事件 我们可以按照字典排序的顺序 把所有可能的结果 都列出来 或者利用树状图将它们之间的关系列出来 解答过程 解答过程 解法一 所求的基本事件共有 6 个 Aa b Ba c Ca d Db c Eb d Fc d 解法二 树状图 解题后的思考 解题后的思考 用树状图求解一次试验中的基本事件数比较直观 形象 可做到不重 不漏 掌握列举法 学会用数形结合 分类讨论的思想解决概率的计算问题 例例 2 1 向一个圆面内随机地投射一个点 如该点落在圆内任意一点都是等可能的 你认为这是古典概型吗 为什么 2 如图 某同学随机地向一靶心射击 这一试验的结果只有有限个 命中 10 环 命中 9 环 命中 5 环和不中环 你认为这是古典概型吗 为什么 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查古典概型的概念 应明确什么是古典概型及其应具备什么样的 条件 2 解题思路 解题思路 结合古典概型的两个基本特征可进行判定解决 解答过程 解答过程 答 答 1 不是古典概型 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点 试验的所有可 能结果数是无限的 虽然每一个试验结果出现的 可能性相同 但这个试验不满足古典概 型的第一个条件 用心 爱心 专心 2 不是古典概型 因为试验的所有可能结果只有 7 个 而命中 10 环 命中 9 环 命中 5 环和不中环的出现不是等可能的 即不满足古典概型的第二个条件 解题后的思考 解题后的思考 判定是不是古典概型 主要看两个方面 一是实验结果是不是有限的 另一个就是每个事件是不是等可能的 例例 3 单选题是标准化考试中常用的题型 一般是从 A B C D 四个选项中选择一 个正确答案 如果考生掌握了考查的内容 他可以选择唯一正确的答案 假设考生不会做 他随机的选择一个答案 问他答对的概率是多少 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查古典概型概率的求解运算 2 解题思路 解题思路 解本题的关键 即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型 如果考 生掌握了全部或部分考查内容 这都不满足古典概型的第 2 个条件 等可能性 因此 只有在假定考生不会做 随机地选择了一个答案的情况下 才可将此问题看作古典概型 解答过程 解答过程 这是一个古典概型 因为试验的可能结果只有 4 个 选择 A 选择 B 选 择 C 选择 D 即基本事件共有 4 个 考生随机地选择一个答案是选择 A B C D 的可 能性是相等的 从而由古典概型的概率计算公式得 1 0 25 4 P 答对 所包含的基本事件的个数 答对 基本事件的总数 解题后的思考 解题后的思考 运用古典概型的概率公式求概率时 一定要先判定该试题是不是古典 概型 然后明确试验的总的基本事件数 和事件 A 发生的基本事件数 再借助于概率公式 运算 小结 小结 本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解 把握古典概型 的两个特征是解决概率问题的第一个关键点 理解一次试验中的所有基本事件数 和事件 A 发生的基本事件数 是解决概率问题的第二个关键点 知识点二 古典概型的运用知识点二 古典概型的运用 例例 4 同时掷两个骰子 计算 1 一共有多少种不同的结果 2 其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种 3 向上的点数之和是 5 的概率是多少 4 为什么要把两个骰子标上记号 如果不标记号会出现什么情况 你能解释其中的 原因吗 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查了古典概型的基本运算问题 2 解题思路 解题思路 先分析 同时掷两个骰子的所有事件数 然后分析事件 A 向上的点 数之和为 5 的基本事件数 最后结合概率公式运算 同时可以运用举一反三的思想自行设 问 解答 解答过程 解答过程 解 解 1 掷一个骰子的结果有 6 种 我们把两个骰子标上记号 1 2 以便区分 由于 1 号骰子的结果都可与 2 号骰子的任意一个结果配对 我们用一个 有序实数对 来表示 组成同时掷两个骰子的一个结果 如表 其中第一个数表示掷 1 号骰子的结果 第二个数 表示掷 2 号骰子的结果 可由列表法得到 用心 爱心 专心 6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 5 6 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 4 6 4 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 3 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 654321 1号号骰骰子子 2号号骰骰子子 6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 5 6 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 4 6 4 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 3 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 654321 1号号骰骰子子 2号号骰骰子子 6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 5 6 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 4 6 4 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 3 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 654321 1号号骰骰子子 2号号骰骰子子 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种 2 在上面的结果中 向上的点数之和为 5 的结果有 4 种 分别为 1 4 2 3 3 2 4 1 3 由于所有 36 种结果是等可能的 其中向上点数之和为 5 的结果 记为事件 A 有 4 种 因此 由古典概型的概率计算公式可得 A41 A 369 P 所包含的基本事件的个数 基本事件的总数 4 如果不标上记号 类似于 1 2 和 2 1 的结果将没有区别 这时 所有可 能的结果将是 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 3 3 4 3 5 3 6 4 4 4 5 4 6 5 5 5 6 6 6 共有 21 种 和是 5 的结果有 2 个 它们是 1 4 2 3 则所求的概率为 A2 A 21 P 所包含的基本事件的个数 基本事件的总数 这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了 可以通过展示两个不同的骰 子所抛掷出来的点 感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件 解题后的思考 解题后的思考 考查同学们运用古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本 事件是否满足古典概型的第二个条件 对于同时抛掷的问题 我们要将骰子编号 因为这样就能反映出所有的情况 不至于 把 1 2 和 2 1 看作相同的情况 保证基本事件的等可能性 我们也可将此试验通 过先后抛掷来解决 这样就有顺序了 则基本事件的出现也是等可能的 例例 5 从含有两件正品 a1 a2和一件次品 b1的三件产品中 每次任取一件 每次取出 后不放回 连续取两次 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运用 2 解题思路 解题思路 首先注意到该题中取出的过程是有顺序的 同时明白一次试验指的是 不放回的 连续的取两次 先列举出试验中的所有基本事件数 然后求事件 A 的基本事件数 利用概率公式求解 解答过程 解答过程 解法解法 1 每次取出一个 取后不放回地连续取两次 其一切可能的结果组成的基本事 件有 6 个 即 a1 a2 a1 b1 a2 a1 a2 b1 b1 a1 b1 a2 其中小括号 内左边的字母表示第 1 次取出的产品 右边的字母表示第 2 次取出的产品 用 A 表示 取出的两件中 恰好有一件次品 这一事件 则 用心 爱心 专心 A a1 b1 a2 b1 b1 a1 b1 a2 事件 A 由 4 个基本事件组成 因而 P A 6 4 3 2 解法解法 2 可以看作不放回 3 次无顺序抽样 先按抽取顺序 x y 记录结果 则 x 有 3 种可能 y 有 2 种可能 但 x y y x 是相同的 所以试验的所有结果有 3 2 2 3 种 按同样的方法 事件 B 包含的基本事件个数为 2 1 1 2 因此 P B 3 2 解题后的思考 解题后的思考 关于不放回抽样 计算基本事件的个数时 既可以看作是有顺序的 也可以看作是无顺序的 其结果是一样的 但无论选择哪一种方式 观察的角度必须一致 否则会导致错误 例例 6 从含有两件正品 a1 a2和一件次品 b1的三件产品中 每次任取一件 每次取出 后放回 连续取两次 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查放回抽样的概率问题 2 解题思路 解题思路 首先注意到该题中取出的过程是有顺序的 同时明白一次试验指的是 有放回的 连续的取两次 解答过程 解答过程 每次取出一个后放回 连续取两次 其一切可能的结果组成的基本事件有 9 个 即 a1 a1 a1 a2 和 a1 b1 a2 a1 a2 b1 和 a2 a2 b1 a1 b1 a2 和 b1 b1 其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品 右边的字母表示第 2 次取出的产品 用 A 表示 取出的两件中 恰好有一件次品 这一事件 则 A b1 a1 b1 a2 a2 b1 a1 b1 事件 A 由 4 个基本事件组成 因此 P A 9 4 解题后的思考 解题后的思考 对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候 总数是不变的 且同一个体可被重复抽取 同时 在求基本事件数时 要做到不重不漏 小结 小结 1 古典概型概率的计算公式是非常重要的一个公式 要深刻体会古典概型的概念及 其概率公式的运用 为我们学好概率奠定基础 2 体会求解不放回和有放回概率的题型 知识点三 随机数产生的方法及随机模拟试验的步骤知识点三 随机数产生的方法及随机模拟试验的步骤 例例 7 某篮球爱好者 做投篮练习 假设其每次投篮命中的概率是 40 那么在连续 三次投篮中 恰有两次投中的概率是多少 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查的是近似计算非古典概型的概率 2 解题思路 解题思路 其投篮的可能结果有有限个 但是每个结果的出现不是等可能的 所以 不能用古典概型的概率公式计算 我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的 用心 爱心 专心 概率为 40 解答过程 解答过程 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题 利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间 的取整数值的随机数 我们用 1 2 3 4 表示投中 用 5 6 7 8 9 0 表示未投中 这样可以体现投中 的概率是 40 因为是投篮三次 所以每三个随机数作为一组 例如 产生 20 组随机数 812 932 569 683 271 989 730 537 925 488 907 113 966 191 431 257 393 027 556 458 这就相当于做了 20 次试验 在这组数中 如果恰有两个数在 1 2 3 4 中 则表示 恰有两次投中 它们分别是 812 932 271 191 393 即共有 5 个数 我们得到了三次 投篮中恰有两次投中的概率近似为 25 20 5 解题后的思考 解题后的思考 1 利用计算机或计算器做随机模拟试验 可以解决非古典概型的概率的求解问题 2 对于上述试验 如果亲手做大量重复试验的话 花费的时间太多 因此利用计算 机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间 3 随机函数 RANDBETWEEN a b 产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机 数 小结 小结 能够简单的体会模拟试验求解非古典概型概率的方法和步骤 高考对这部分内 容不作更多的要求 了解即可 对于这部分内容 同学们只要理解古典概型 并能用其公式进行概率的运算即可 高 考中要求同学们能够熟练掌握求解有放回抽样和不放回抽样这两种类型概率问题的方法 一 预习新知一 预习新知 我们学习了两种计算随机事件发生的概率的方法 一是做试验或运用计算机 器 模 拟试验等方法得到概率 近似估计概率 二是用古典概型的概率公式来计算事件发生的概 率 但在现实生活中 常常会遇到某试验的所有可能结果是无穷多的情况 这时若再用古 典概型的概率公式来计算就不奏效了 那有没有别的计算方法呢 二 预习点拨二 预习点拨 探究与反思 探究任务一 几何概率模型 反思 1 什么是几何概型 它与古典概型的区别是什么 2 它的特点是什么 探究任务二 均匀随机数的产生 反思 1 能用随机模拟的方法来估计未知量吗 2 如何利用计算器产生均匀的随机数 用心 爱心 专心 答题时间 35 分钟 一 选择题 每题 5 分 共 20 分 1 从长度为 1 3 5 7 9 的五条线段中任取三条能构成三角形的概率是 A B C D 2 1 10 3 5 1 5 2 2 将骰子掷 2 次 其中向上的点数之和是 5 的概率是 A B C D 9 9 1 4 1 36 1 3 掷一枚质地均匀的硬币 如果连续抛掷 1000 次 那么第 999 次出现正面朝上的概率 是 A B C D 999 1 1000 1 1000 999 2 1 4 从五件正品 一件次品中随机取出两件 则取出的两件产品中恰好是一件正品 一件 次品的概率是 A 1 B C D 2 11 33 2 二 填空题 每题 8 分 共 48 分 5 从一副扑克牌 54 张 中抽一张牌 抽到牌 K 的概率是 6 从标有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的 9 张纸片中任取 2 张 那么这 2 张纸片的数字 之积为偶数的概率为 7 一个口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球 这 4 个球除颜色外完全相同 从中摸出 2 个 球 则 1 个是白球 1 个是黑球的概率是 8 先后掷 3 枚均匀的硬币 至少出现一次正面的概率为 9 一个正方体 它的表面涂满了红色 在它的每个面上切两刀 可得 27 个小正方体 从中任取一个 则恰有一个面涂有红色的概率是 10 从 1 2 3 4 5 这 5 个数中任取两个 则这两个数正好相差