高中数学 2.1《曲线与方程》同步练习 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心 1 曲线与方程数学同步测试曲线与方程数学同步测试 说明说明 本试卷分第一卷和第二卷两部分 第一卷 74 分 第二卷 76 分 共 150 分 答题 时间 120 分钟 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 每小题 5 分 共 50 分 1 x 表示的曲线是 2 31y A 双曲线B 椭圆 C 双曲线的一部分D 椭圆的一部分 2 设双曲线 1 0 a b 的半焦距为 c 直线l过 a 0 0 b 两点 已知 2 2 2 2 b y a x 原点到直线l的距离为c 则双曲线的离心率为 4 3 A 2 B C D 323 3 2 3 中心在原点 焦点坐标为 0 5 的椭圆被直线 3x y 2 0 截得的弦的中点的横坐2 标为 则椭圆方程为 2 1 A 1B 1C 1D 1 25 2 2 x 75 2 2 y 75 2 2 x 25 2 2 y 25 2 x 75 2 y 75 2 x 25 2 x 4 过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A B两点 若 则1 2 2 2 y x 这样的直线l有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 5 过椭圆 1 0 b a 中心的直线与椭圆交于 A B 两点 右焦点为 F2 c 0 则 2 2 a x 2 2 b y ABF2的最大面积是 A abB acC bcD b2 6 椭圆与连结A 1 2 B 2 3 的线段没有公共点 则正数a的取值范围是1 2 2 2 2 2 a y a x A 0 B 61717 C D 617617 用心 爱心 专心 2 7 以椭圆的右焦点F 为圆心的圆恰好过椭圆的中心 交椭圆于点M N 椭圆的左焦点为 F 且直线 与此圆相切 则椭圆的离心率 为 A B C D 2 2 2 3 33 8 已知 F1 F2是双曲线的两个焦点 Q 是双曲线上任意一点 从某一焦点引 F1QF2平分线 的垂线 垂足为 P 则点 P 的轨迹是 A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 9 已知抛物线y 2x2上两点 A x1 y1 B x2 y2 关于直线y x m 对称 且x1x2 那么 m 2 1 的值等于 A B C 2 D 3 2 5 2 3 10 对于抛物线 C y2 4x 我们称满足y02 的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2 a2y2 a2b2的右支上 则 AB 中点 M 的 a b22 横坐标的最小值为 14 如果过两点和的直线与抛物线没有交点 那么实数的 0 aA 0 aB32 2 xxya 取值范围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共 76 分 15 12 分 已知抛物线y2 8x上两个动点 A B 及一个定点 M x0 y0 F 是抛物线的焦点 且 AF MF BF 成等差数列 线段 AB 的垂直平分线与x轴交于一点 N 1 求点 N 的坐标 用x0表示 2 过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P Q 两点 若 MN 4 求 MPQ 的面积 2 16 12 分 已知双曲线的离心率 过的直线到原点1 2 2 2 2 b y a x 3 32 e 0 0 bBaA 的距离是 2 3 用心 爱心 专心 3 1 求双曲线的方程 2 已知直线交双曲线于不同的点 C D 且C D都在以B为圆心的 0 5 kkxy 圆上 求k的值 17 12 分 已知抛物线的弦 AB 与直线y 1 有公共点 且弦 AB 的中点 N 到y轴的距xy 2 离为 1 求弦 AB 长度的最大值 并求此直线 AB 所在的直线的方程 18 12 分 已知抛物线 椭圆和双曲线都经过点 它们在轴上有共同焦点 椭圆 1 2Mx 和双曲线的对称轴是坐标轴 抛物线的顶点为坐标原点 1 求这三条曲线的方程 2 已知动直线 过点 交抛物线于两点 是否存在垂直于轴的直线被l 3 0P A Bx l 以为直径的圆截得的弦长为定值 若存在 求出的方程 若不存在 说明理由 AP l 19 14 分 设F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右两个焦点 2 2 2 2 8 b y a x 1 若椭圆C上的点A 1 到F1 F2两点的距离之和等于 4 写出椭圆C的方程和焦 2 3 点坐标 2 设点 K 是 1 中所得椭圆上的动点 求线段F1K 的中点的轨迹方程 3 已知椭圆具有性质 若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任意一 点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点P位置 无关的定值 试对双曲线写出具有类似特性的性质 并加以证明 1 2 2 2 2 b y a x 用心 爱心 专心 4 20 14 分 已知椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在轴上 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直x 线交椭圆于 A B 两点 与共线 OBOA 3 1 a 1 求椭圆的离心率 2 设 M 为椭圆上任意一点 且 证明为定值 OMOAOBR 22 参考答案 一 1 D 解析 x 化为x2 3y2 1 x 0 2 31y 2 A 解析 由已知 直线l的方程为ay bx ab 0 原点到直线l的距离为c 则有 4 3 又c2 a2 b2 4ab c2 两边平方 得 16a2 c2 a2 3c4 两边c ba ab 4 3 22 3 同除以a4 并整理 得 3e4 16e2 16 0 e2 4 或e2 而 0 a b 得e2 3 4 2 e2 4 故e 2 评述 本题考查点到直线的距离 双曲线的性质以 2 2 2 22 1 a b a ba 及计算 推理能力 难度较大 特别是求出e后还须根据b a进行检验 3 C 4 C 5 C 6 A 7 D 8 B 9 B 10 D 二 11 解析 原方程可化为 y2 1 a2 4 b2 1 a 2 b 1 c 当等 25 16 4 2 x 3 腰直角三角形 设交点 x y y 0 可得 2 x y 代入曲线方程得 y S 2y2 5 4 2 1 25 16 12 x2 4y2 1 解析 设P x0 y0 M x y 2x x0 2y y0 2 2 00 y y x x 4y2 1x2 4y2 1 4 4 2 x 用心 爱心 专心 5 13 22 2 2 ba ala 14 13 4 三 15 1 设 A x1 y1 B x2 y2 由 AF MF BF 成等差数列得x1 x2 2x0 得线段 AB 垂直平分线方程 2 0 21 2121 xx yy xxyy y 令y 0 得x x0 4 所以 N x0 4 0 2 由 M x0 y0 N x0 4 0 MN 4 得x0 2 2 由抛物线的对称性 可设 M 在第一象限 所以 M 2 4 N 6 0 直线 PQ y x 6 由得 MPQ 的面积是 64 4 2 12 18 8 6 2 QP xy xy 得 16 解 1 原点到直线AB 的距离 3 32 a c 1 b y a x 3 1 2 3 22 ab c ab ba ab d 故所求双曲线方程为 1 3 2 2 y x 2 把中消去y 整理得 335 22 yxkxy代入07830 31 22 kxxk 设的中点是 则CDyxDyxC 2211 00 yxE 11 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE 0 00 kkyx 即7 0 0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所求k 7 说明 为了求出的值 需要通过消元 想法设法建构的方程 kk 17 解 设 中点 11 yxA 22 yxB 1 0 yN 当 AB 直线的倾斜角 90 时 AB 直线方程是 2 分 2 1 ABx 当 AB 直线的倾斜角不为 90 时 相减得 2 22 2 11 yxyx 212121 yyyyxx 所以 4 分 k yky AB 2 1 12 00 即 用心 爱心 专心 6 设 AB 直线方程为 由于弦 AB 与直线y 1 有公共点 1 2 1 1 0 xk k yxkyy即 故当y 1 时 2 1 0 2 1 11 2 1 1 2 k k k k k 即 01 2 1 1 2 1 2 2 2 kk y y yx xk k y 故 所以 1 2 11 2 2121 k yy k yy 故 1 4 1 1 4 1 1 1 1 22 21 2 21 2 21 2 kk yyyy k yy k AB 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 2 1 222 kkk k 2 5 2 1 4 1 1 1 4 1 1 2 22 22 kk kk AB 故当 2 5 3 61 4 1 1 max 22 ABk kk 时即 18 解 设抛物线方程为 将代入方程得 2 20ypx p 1 2M2p 2 4yx 抛物线方程为 由题意知椭圆 双曲线的焦点为 2 1 1 0 1 0 FF c 1 对于椭圆 22 2 12 21 121 1422 2aMFMF 2 2 222 22 12 1232 2 22 2 1 32 222 2 a a bac xy 椭圆方程为 对于双曲线 12 22 22aMFMF 用心 爱心 专心 7 2 222 22 21 32 2 2 22 1 32 22 22 a a bca xy 双曲线方程为 2 设的中点为 的方程为 以为直径的圆交于两点 中点APC l xa AP l D EDE 为H 令 11 11 3 22 xy A x y C 2 2 11 1 1 11 3 22 31 23 22 DCAPxy x CHaxa 2 2222 2 111 2 1 2 11 323 44 23 2462 22 2 2 DHDCCHxyxa axaa aDH DEDH lx 当时 为定值 为定值 此时的方程为 19 解 1 椭圆C的焦点在x轴上 由椭圆上的点A到F1 F2两点的距离之和是 4 得 2a 4 即a 2 又点A 1 在椭圆上 因此 1 得b2 3 于是c2 1 2 3 2 2 2 2 3 2 1 b 所以椭圆C的方程为 1 焦点F1 1 0 F2 1 0 34 22 yx 2 设椭圆C上的动点为K x1 y1 线段F1K的中点Q x y 满足 即x1 2x 1 y1 2y 2 2 1 11 y y x x 因此 1 即为所求的轨迹方程 3 2 4 12 22 yx 1 3 4 2 1 2 2 y x 3 类似的性质为 若M N是双曲线 1 上关于原点对称的两个点 点P是双 2 2 2 2 b y a x 曲线上任意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与 点P位置无关的定值 设点M的坐标为 m n 则点N的坐标为 m n 其中 1 2 2 2 2 b n a m 用心 爱心 专心 8 又设点P的坐标为 x y 由 mx ny k mx ny k PNPM 得kPM kPN 将m2 b2代入得 22 22 mx ny mx ny mx ny 2 2 222 2 2 2 a b nbx a b y kPM kPN 2 2 a b 评述 本题考查椭圆的基本知识 求动点轨迹的常用方法 第 3 问对考生的逻辑思维能力 分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求 根据提供的信息 让考生通过类比自己 找到所证问题 这是高考数学命题的方向 应引起注意 20 本小题主要考查直线方程 平面向量及椭圆的几何性质等基本知训 考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力 1 解 设椭圆方程为 0 0 1 2 2 2 2 cFba b y a x 则直线 AB 的方程为1 2 2 2 2 b y a x cxy代入 化简得 02 22222222 bacacxaxba 令则 2211 yxByxA 2 22 2222 21 22 2 21 ba baca xx ba ca xx 共线 得 2121 yyxxOBOA 由aOBOAa与 1 3 0 3 2121 xxyy 3 6 3 6 3 2 32 2 3 0 2 3 2222 22 2 2121212211 a c e a bacba c ba ca c xxxxcxxcxycxy 故离心率 所以即 又 2 证明 由 I 知 所以椭圆可化为 22 3ba 1 2 2 2 2 b y a x 222 33byx 2211 yxyxyxyxOM 由已知得设 21 21 yyy xx