高三数学 7.3空间向量配套习题

用心 爱心 专心 7 37 3 空间向量空间向量 配套习题配套习题 感悟高考真题感悟高考真题 1 20102010 辽宁理数 辽宁理数 19 本小题满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 证明 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为 x y z 轴正向建立空间直角坐标系 如图 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 4 分 111 1 1 0 222 CMSN 因为 11 00 22 CMSN 所以 CM SN 6 分 1 1 0 2 NC 设 a x y z 为平面 CMN 的一个法向量 用心 爱心 专心 则 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 9 分 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45 12 分 2 20102010 北京理数 北京理数 16 本小题共 14 分 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 证明 I 设 AC 与 BD 交与点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF 平面 EG 因为EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 所以 22 1 22 CF 0 2 1 BE 2 0 1 DE 所以 0 1 10CF BE A 1 0 10CF DE A 所以CF BE CF DE 用心 爱心 专心 所以CF BDE III 由 II 知 22 1 22 CF 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的法向量 nx y z 则 0n BA A 0n BE A 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z A A 所以 0 x 且 2 zy 令 1 y 则 2z 所以 0 1 2 n 从而 3 cos 2 n CF n CF n CF A 因为二面角A BED 为锐角 所以二面角A BED 的大小为6 考点精题精练考点精题精练 一 选择题 1 正方体 1111 ABCDABC D 中 1 AB与平面 11 BB D D所成角的大小 为 D A 90 B 60 C 45 D 30 2 两异面直线所成角的范围 是 C A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 2 3 已知向量 2 2 2 a 则向量a 的单位方向向量一定是 D A 333 333 B 333 333 C 1 1 1 1 1 1 与 D 333333 333333 与 用心 爱心 专心 4 已知 a b 分别是两条直线 12 l l的方向向量 2 1 2 6 3 6 ab 则 A A 12 ll B 12 ll与相交 C 12 ll与异面 D 12 ll 5 若 12 n n 分别是平面 的法向量且 1 1 2 nx 2 1 nx xx 则x的 值 为 B A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 D 2 6 已知直线 1 l的方向向量为 1 1 0 1 a 直线 2 l的方向向量为 2 1 1 0 a 则 12 ll与的夹角为 C A 2 B 6 C 3 D 2 3 7 已知 A 1 0 1 B 0 1 1 C 1 1 0 则平面 ABC 的一个单位法向量可以是 D A 1 1 1 B 1 1 1 C 333 333 D 333 333 8 在空间直角坐标系中点 P 1 3 5 关于对称的点的坐标是 C A 1 3 5 B 1 3 5 C 1 3 5 D 1 3 5 9 已知空间直角坐标系中且 则 B 点坐标为 A 9 1 4 B 9 1 4 C 8 1 4 D 8 1 4 10 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点 M 为 D1C1上的点 且 D1M MC1 3 1 则 CM 和平面 AB1D1所成角的大小是 则 sin 等于 A B C D 用心 爱心 专心 11 在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中 BAC AB AC AA1 1 已知 G 与 E 分别为 A1B1和 CC1 的中点 D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点 不包括端点 若 GD EF 则线段 DF 的 长度的取范围为 A B C D 解析解析 建立直角坐标系 以 为坐标原点 为 轴 为 轴 为 轴 则 所以 因为 所以 由此推出 又 从 而有 12 正三棱柱的各棱长都 2 E F 分别是的中点 则 EF 与底面 ABC 所成角的余弦为 C A B C D 用心 爱心 专心 二 填空题二 填空题 13 已知点 A 2 3 4 在 y 轴上求一点 B 使 AB 7 则点 B 的坐标为 0 14 在空间直角坐标系中 点 P 的坐标为 1 过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ 则垂 足 Q 的坐标是 0 15 已知正四棱锥的体积为 12 底面对角线的长为 则侧面与底面所成的二面角等 于 3 16 如图 在直四棱柱 侧棱与底面垂直 中 四边形 ABCD 是边 长为 1 的菱形 E 为的中点 F 为的中点 则异面直线 AC 与所成的角 的大小为 0 90 三 解答题三 解答题 17 全国二 19 本小题满分 12 分 如图 正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 24AAAB 点E在 1 CC上且 ECEC3 1 证明 1 AC 平面BED 求二面角 1 ADEB 的大小 解法一 依题设知2AB 1CE 用心 爱心 专心 连结AC交BD于点F 则BDAC 由三垂线定理知 1 BDAC 3 分 在平面 1 ACA内 连结EF交 1 AC于点G 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE CFE 与 1 FCA 互余 于是 1 ACEF 1 AC与平面BED内两条相交直线BDEF 都垂直 所以 1 AC 平面BED 6 分 作GHDE 垂足为H 连结 1 AH 由三垂线定理知 1 AHDE 故 1 AHG 是二面角 1 ADEB 的平面角 8 分 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG 所以二面角 1 ADEB 的大小为arctan5 5 12 分 解法二 以D为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示直角坐标系Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 用心 爱心 专心 0 21 2 2 0 DEDB 11 2 24 2 0 4 ACDA 3 分 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又DBDED 所以 1 AC 平面DBE 6 分 设向量 xyz n是平面 1 DAE的法向量 则 DE n 1 DA n 故20yz 240 xz 令1y 则2z 4x 412 n 9 分 1 AC n等于二面角 1 ADEB 的平面角 42 14 cos 1 1 1 CAn CAn CAn 所以二面角 1 ADEB 的大小为 14 arccos 42 12 分 18 如图 点 A 在直线 l 上的射影为 A1 点 B 在 l 上的 射影为 B1 已知 AB 2 AA1 1 BB1 求 直线 AB 分别与平面所成角的大小 二面角 A1 AB B1的大小 解法一解法一 I 如图 连接 A1B AB1 用心 爱心 专心 l AA1 l BB1 l AA1 BB1 a 则 BAB1 ABA1分别是 AB 与和所成的角 Rt BB1A 中 BB1 AB 2 sin BAB1 BAB1 45 Rt AA1B 中 AA1 1 AB 2 sin ABA1 ABA1 30 故 AB 与平面 所成的角分别是 45 30 II BB1 平面 ABB1 在平面内过 A1 作 A1E AB1交 AB1于 E 则 A1E 平面 AB1B 过 E 作 EF AB 交 AB 于 F 连接 A1F 则由三垂线定理得 A1F AB A1FE 就是所求二面角的平面角 在 Rt ABB1中 BAB1 45 AB1 B1B Rt AA1B1中 AA1 A1B1 1 在 Rt AA1B 中 由 AA1 A1B A1F AB 得 A1F 在 Rt A1EF 中 sin A1FE 用心 爱心 专心 二面角 A1 AB B1的大小为 arcsin 解法二解法二 I 同