第十一章（理）第6节几何概型

1 第十一章第十一章 第六节第六节 几何概型几何概型 题组一与长度有关的几何概型 1 已知地铁列车每 10 min 一班 在车站停 1 min 则乘客到达站台立即乘上车的概率 是 A B C D 1 10 1 9 1 11 1 8 解析 设乘客到达站台立即乘上车为事件 A 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min 而构成事件 A 的区域长度为 1 min 故 P A 1 10 答案 A 2 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M 并以线段 AM 为一边作正方形 则此正方 形的面积介于 36 cm2与 81 cm2 之间的概率为 A B C D 1 16 1 8 1 4 1 2 解析 正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间 所以正方形的边长介于 6 cm 到 9 cm 之间 线段 AB 的长度为 12 cm 则所求概率为 9 6 12 1 4 答案 C 3 广告法 对插播广告的时间有一定的规定 某人对某台的电视节目做了长期的统计 后得出结论 他任意时间打开电视机看该台节目 看不到广告的概率为 那么该台 9 10 每小时约有 分钟的广告 解析 60 1 6 分钟 9 10 答案 6 题组二与面积 或体积 有关的几何概型 4 2009 辽宁高考 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内随机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A B 1 C D 1 4 4 8 8 解析 对应长方形的面积为 2 1 2 而取到的点到 O 的距离小于等于 1 时 其是以 O 为圆心 半径为 1 所作的半圆 对应的面积为 12 那么满足条件的概率 1 2 1 2 2 为 1 1 1 2 2 4 答案 B 5 设 1 a 1 1 b 1 则关于 x 的方程 x2 ax b2 0 有实根的概率是 A B C D 1 2 1 4 1 8 1 16 解析 由题知该方程有实根满足条件Error Error 作平面 区域如右图 由图知阴 影面积为 1 总的事件对应面积为正方 形的面积 故概率为 1 4 答案 B 6 已知 x y x y 6 x 0 y 0 A x y x 4 y 0 x 2y 0 若向 区域 上随机投一点 P 则点 P 落入区域 A 的概率为 A B C D 1 3 2 3 1 9 2 9 解析 作出两集合表示的平面区域如图所示 容易得出 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界 A 表示的 区域为三角形 OCD 及其边界 容易求得 D 4 2 恰为直线 x 4 x 2y 0 x y 6 三线的交点 则可得 S AOB 6 6 18 S OCD 4 2 4 1 2 1 2 所以点 P 落在区域 A 的概率为 4 18 2 9 答案 D 7 在区域Error Error 内任取一点 P 则点 P 落在单位圆 x2 y2 1 内的概率为 A B C D 2 8 6 4 解析 区域为 ABC 内部 含边界 则概率为 P S半圆 S ABC 2 1 2 2 2 2 4 答案 D 8 2010 济南模拟 在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P 则使点 P 到三个顶点的 3 距离至少有一个小于 1 的概率是 解析 以 A B C 为圆心 以 1 为半径作圆 与 ABC 相交出 三个扇形 如图所示 当 P 落在阴影部分时符合要求 P 3 f 1 2 f 3 12 3 4 22 3 6 答案 3 6 9 已知函数 f x x2 2ax b2 a b R 1 若 a 从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 b 从集合 0 1 2 中任取一个元素 求方程 f x 0 有两个不相等实根的概率 2 若 a 从区间 0 2 中任取一个数 b 从区间 0 3 中任取一个数 求方程 f x 0 没有 实根的概率 解 1 a 取集合 0 1 2 3 中任一个元素 b 取集合 0 1 2 中任一个元素 a b 的取值的情况有 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示 a 的取值 第二个数表示 b 的取值 即基本事件总数为 12 设 方程 f x 0 有两个不相等的实根 为事件 A 当 a 0 b 0 时 方程 f x 0 有两个不相等实根的充要条件为 a b 当 a b 时 a b 取值的情况有 1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2 即 A 包含的基本事件数为 6 方程 f x 0 有两个不相等实根的概率 P A 6 12 1 2 2 a 从区间 0 2 中任取一个数 b 从区间 0 3 中任取一个数 则试验的全部结果构 成区域 a b 0 a 2 0 b 3 这是一个矩形区域 其面积 S 2 3 6 设 方程 f x 0 没有实根 为事件 B 则事件 B 所构成的区域为 M a b 0 a 2 0 b 3 a b 即图中阴影部分的梯形 其面积 SM 6 2 2 4 1 2 4 由几何概型的概率计算公式可得方程 f x 0 没有实根的概率 P B SM S 4 6 2 3 题组三生活中的几何概型 10 平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm 把一枚半径为 1 cm 的硬币任意 平掷在这个平面 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 解析 平面被这一组平行线分割成条状区域 现对两条平行线之间的区域考虑 平行 线间的距离为 3 cm 硬币半径为 1 cm 要想硬币不与两条平行线相碰 硬币中心与 两条平行线的距离都应大于 1 cm 如图 硬币中心只有落在阴影部分 不包括边界 时 才能让硬币与两条平行线都不相碰 则 硬币中心落在阴影部分的概率为 整个平面由无数个这样的条状区域组成 故所求概 1 3 率是 1 3 答案 B 11 在平面直角坐标系 xOy 中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成 的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则所投 的点落在 E 中的概率是 解析 如图 区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部 含边界 区域 E 表示单位圆及其内部 因此 P 12 4 4 16 答案 16 12 甲 乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位 它们可能在一昼夜的任意时刻到达 甲 乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时 求有一艘船停靠泊位时必需等待一段 时间的概率 解 甲比乙早到 4 小时内乙需等待 甲比乙晚到 2 小时内甲需等待 以 x 和 y 分别表示甲 乙两船到达泊位的时间 则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为 2 x y 4 在如 图所示