小波分析在图像去噪中的应用

南昌工程学院本科毕业设计 傅里叶分析与小波分析在图像去噪中的应用傅里叶分析与小波分析在图像去噪中的应用 Application of fourier analysis and wavelet analysis in image denoising 总计 毕业设计 论文 3 9 页 表 格 2 个 插 图 1 1 幅 摘 要 I 摘 要 图像是人类传递信息的主要媒介 然而 图像在生成和传输的过程中会受到各种噪 声的干扰 对信息的处理 传输和存储造成极大的影响 傅里叶变换是一种最常用最基 本的频域分析法 能很好地刻画信号的频率特性 且不具有局部化特征 小波分析是局 部化时频分析 它具有时域和频域联合表示信号的特征 通过伸缩 平移等运算功能对 信号进行多尺度细化分析 能有效地从信号中提取信息 是分析非平稳信号的有力工具 本文旨在研究傅里叶与小波理论去噪原理 首先简要概述傅里叶和小波在图像处理 方面的发展现况 其次详细讨论了傅里叶和小波的基本理论 分别介绍了连续小波 离 散小波 多分辨分析 二维小波分析 根据噪声一般是高频的特性 提出了通过傅里叶 变换和低通滤波解决高频噪音的方法 因傅里叶去噪的局部局限性 在去噪的同时造成 了图像的失真 结合小波时 频局部特征的能力 而提出了小波阈值去噪的方法 通过仿 真实验结果分析 小波去噪能有效去除图像的高斯噪声 同时能很好的保留图像的细节 信息 得到图像的最佳恢复 关键词关键词 傅里叶变换 小波变换 多分辨分析 低通滤波 阈值去噪 南昌工程学院本科毕业设计 II Abstract The image is the main medium of the human convey information However there will be various noise in the process of image s generation and transmission having great impact on the process of information processing and transmission Fourier transform is one of the most commonly used and the most basic method of frequency domain which can be very good to depict the frequency of the signal characteristics and does not have localized features Wavelet analysis is localized time frequency analysis It has the characteristics of the signal jointed by the time domain and frequency domain Through expansion the translation and etc of the arithmetic functions to carefully analysis the different scales signals it can effectively extract information from the signal and it is a powerful tool to analysis the non stationary signals This paper aims to study fourier and wavelet denoising theory Firstly the paper briefly summarizes the developing condition of the principle of fourier transformation and wavelet transformation in image processing Secondly it discusses the basic theory of fourier transformation and wavelet transformation in detail and respectively analysis s continuous wavelet discrete wavelet multi resolution analysis two dimensional wavelet According to the characteristics of high frequency of noise a method of solving high frequency noise has been put forward through the Fourier transform and low pass filter Because of Fourier denoising local limitations in denoising which at the same time caused the distortions But combined with wavelet time frequency local characteristics the method of wavelet threshold denoising has been put forward which through the simulation experiment result analysis of wavelet denoising can effectively remove the Gaussian noise image and at the same time can well reserve the detail of the image information getting the best image recovery Key words Fourier transform Wavelet Transform Multiresolution analysis Low pass filter Threshold denoising 目 录 III 目 录 摘 要 I Abstract II 第一章 引 言 1 1 11 1 傅里叶分析与小波分析的发展过程傅里叶分析与小波分析的发展过程 1 1 1 1 傅里叶分析发展背景 1 1 1 2 小波分析发展背景 2 1 21 2 傅里叶分析与小波分析在图像中的应用傅里叶分析与小波分析在图像中的应用 4 第二章 傅里叶与小波分析的基础知识 6 2 12 1 傅里叶分析的基本原理傅里叶分析的基本原理 6 2 1 1 连续傅里叶变换 6 2 1 2 离散傅里叶变换 6 2 22 2 小波分析的基本原理小波分析的基本原理 9 2 2 1 从傅里叶变换到小波变换 9 2 2 2 连续小波变换 9 2 2 3 离散小波变换 11 2 2 4 多分辨率分析 12 2 2 5 正交小波的 Mallat 算法 14 2 2 6 二维小波分析 16 第三章 图像去噪的研究 19 3 13 1 噪声与去噪噪声与去噪 19 3 1 1 图像系统中的常见噪声 19 3 1 2 噪声的数学模型 19 3 23 2 傅里叶分析应用于图像去噪傅里叶分析应用于图像去噪 21 3 2 1 理想低通滤波器 21 3 2 2 巴特沃斯低通滤波器 22 3 2 3 指数低通滤波器 22 3 33 3 实验结果分析实验结果分析 23 3 43 4 小波阈值去噪小波阈值去噪 26 3 53 5 实验结果分析实验结果分析 28 3 63 6 程序代码程序代码 32 总结展望 36 参考文献 37 致 谢 39 南昌工程学院本科毕业设计 1 第一章 引 言 1 1 傅里叶分析与小波分析的发展过程傅里叶分析与小波分析的发展过程 1 1 1 傅里叶分析发展背景 1 17 世纪和 18 世纪 在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下 数学获得了飞速的发展 随着函数 极限 微积分和级数理论的创立 法国数学家傅里叶在 1822 年发表了题为 热的解析理论 的论文 在该论文中 傅里叶提出以为周期的周期函数可展开 2 xf 成无限多个正弦函数和余弦函数的和 即 1 1 sincos 2 1 0 n nn nxbnxa a xf 式中 1 2 cos 1 2 0 nxdxxfan 2 1 0 n 1 3 sin 1 2 0 nxdxxfbn 2 1 0 n 1 1 式就是著名的傅里叶级数 在以后的工作中 傅里叶将傅里叶级数从以为 2 周期的周期函数推广到任意周期的周期函数 又从周期函数推广到非周期函数 并提出 了傅里叶积分 傅里叶级数与傅里叶积分的提出 奠定了傅里叶变换的基础 我们知道 傅里叶级数就是连续傅里叶级数的反变换 傅里叶积分则是连续傅里叶变换的反变换 作为早期的傅里叶变换之一 必须提到拉普拉斯变换 拉普拉斯也是一种傅里叶变 换 事实上 在 18 世纪末和 19 世纪初的法国 拉普拉斯在数学界的地位高于傅里叶 早在傅里叶级数提出的 40 年前 即 1782 年 拉普拉斯就提出了拉普拉斯变换 傅里叶级数 傅里叶积分和拉普拉斯变换形成了早期傅里叶变换家族的三种变换 傅里叶变换是源于数学研究的 早期的傅里叶变换是数学分析的一个分支 随着电磁理 论地和技术的产生和发展 尤其是电子通信与电信号理论和技术的产生与发展 傅里叶 级数 傅里叶变换和拉普拉斯变换在电子理论和技术 电信号理论和技术等领域得到了 广泛的应用 在模拟信号传输和模拟信号处理的时代 傅里叶变换只是一种用于分析连续时间信 第一章 引 言 2 号和系统的数学工具 为了获得各种复杂信号实际中的特定频率的分量 工程师们应用 由电阻 电容 电感等模拟元器件为基础构成特定的模拟滤波器 通过不同频率的窄带 滤波 人们得到由傅里叶变换所预计的信号中频率分量的幅度和相位 这种用模拟滤波器给出傅里叶变换数值的方法不仅麻烦 而且由于窄频带信号是由 多个频率分量组成的 因此所得到的数值很不准确 随着大规模集成电路和超大规模集 成电路的发展以及计算机技术的进步 模拟信号变为数字信号 从 20 世纪 60 年代开始 产生和发展了由计算机和各种数字硬件处理信号的理论和方法 在这些理论和方法的产 生及发展过程中 傅里叶变换家族出现了新的成员 这些新的成员是离散周期信号的离 散傅里叶级数变换 离散时间信号的序列傅里叶变换 离散时间信号的 Z 变换和典型有 限序列的离散傅里叶变换 1 1 2 小波分析发展背景 2 小波的起源可以追溯到 20 世纪初 1910 年 Haar 提出了规范正交小波基的思想 构造了紧支撑的正交函数系 Haar 函数系 1936 年 Littlewood 和 Paley 对 Fourier 级 数建立了二进制频率分量分组理论 构造了一组 Littlewood Paley 基 这为小波后来的 发展奠定了理论基础 1946 年 Gabor 提出了加窗 Fourier 变换 Gabor 变换 理论 使得 对信号的表示具有时频局部化性质 人们真正研究小波是在 80 年代 1982 年 Stromberg 构造了一组具有指数衰减且有限次连续导数的小波基 1984 年 Grossman 和 Morlet 首次提出了小波的概念 给出了按一个确定函数的伸缩平移系展开函数的新方 法和进行信号表示的新思想 随后 Mallat 和 Meyer 提出了多分辨分析的理论框架 为 小波基的构造提供了一般的途径 多分辨分析的思想是小波的核心 它是理论与应用的 结晶 之后 人们构造出了大量的小波 其中包括具有指数衰减的 Battle Lemarie 小波 和第一个双正交小波 Tchamitchian 小波等 比较引人注目的是 Daubechies 与 1988 年 构造的一类具有紧支集的有限光滑正交小波函数 该小波得到了非常广泛的应用 1989 年 随着小波理论的进一步发展 Mallat 提出了实现小波变换的快速算法 Mallat 塔式 算法 它的地位相当于傅里叶变换中的 FFT 1990 年 崔锦泰和王建忠构造了基于样条 的双正交小波函数 并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数 与此同时 Wickerhauser 和 Coifman 等人通过对母小波函数进行伸缩 平移和调制运算 提出了小 波包的概念 并将 Mallat 算法进一步深化 得到了小波包算法 在信号处理中 傅里叶分析一直是最重要和最常用的工具之一 它可以把复杂的信 南昌工程学院本科毕业设计 3 号展开成许多正弦或余弦波谱分量之和 而这种信号或者实现起来简单或者分析起来简 单 或者二者兼而有之 但它是从出发来构造空间上的一个正交展开 由于它不 x e 2 RL 是局部化的 所以傅里叶分析不能做局部分析 这正是傅里叶的不足之处 也是它的应 用范围受到了一定的限制 由于局部化分析在信号处理中同样具有十分重要的地位 因 此科学家们一直希望找到一种新的数学理论 它既保持傅里叶分析的优点 又能弥补其 局部化分析方面的不足 这便是小波分析理论 小波分析作为一种新兴理论已经在科学技术界掀起了轩然大波 在数学家们看来 小波分析是一个新得数学分支 它是泛函分析 傅里叶分析 样条分析 调和分析 数 值分析的最完美结晶 在应用领域 特别是在信号处理 图像处理 语言分析以及众多 非线性科学领域 它被认为是继傅里叶分析之后又一有效的时频分析方法 从原则上讲 凡是传统上能使用傅里叶分析的地方 都可用小波分析来代替 小波分析在时域和频域 同时具有良好的局部化特性 克服了传统傅里叶分析的不足 而且由于它对高频采取逐 渐精细的时域步长 从而可以聚焦到信号的任意细节 因此小波分析具有数学显微镜的 美称 随着小波理论的不断完善 它的应用领域也越来越广泛 从数学的角度看 小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数对数学表达 式的展开与逼近 作为一种快速高效 高精度的近似方法 小波理论的构成是调和分析 领域中傅里叶分析的重要发展 与傅里叶变换有三角基函数构成相对照 小波函数大多 为具有快速衰减 能量集中的函数经过伸缩 平移得到的函数集合 x 其中起到平移的作用 而为伸缩因子 作为一种尺度在变化时 ba abxa 0 1 baa 产生多分辨的特性 小波分析与傅里叶分析的本质区别在于 傅里叶分析只考虑时域和频域之间的一对 一映射 它以单个变量 时间或频率 的函数表示信号 小波分析则联合利用时间 尺度函 数分析非平稳信号 在小波分析中 人们可以在不同尺度上来观察信号 这种对信号分 析的多尺度分析是小波分析的基本特征 在小波理论发展的同时 小波应用的研究工作也在不断地开展 主要集中在以下几 个方面 1 小波在数学其它分支中的应用 如求微分方程 积分方程 函数逼近 分形 混 沌问题 概率小波 非线性分析等等 1988 年 Arneodo 和 Grasseau 把小波理论运用于 混沌力学及分形理论以研究分形生成现象 1990 年 Beylkin 和 Coifman 把小波用于算子 第一章 引 言 4 理论 1991 年 Jaffard 与 Laureneot 把小波变换运用于微分方程的数值解 2 小波在信号处理中的应用 包括信号检测 目标识别以及去噪等 比如语言信号 雷达信号 医学信号 天文信号 地震信号 机械故障信号等等 3 小波在图像处理中的应用 其中包括图像数据压缩 去噪 数字水印 指纹鉴别 模式识别等 4 小波在通信中的应用 如在 CDMA 自适应均衡 扩频通信和分形调制等方面的应 用 1 2 傅里叶分析与小波分析在图像中的应用傅里叶分析与小波分析在图像中的应用 3 一般来说 现实中的信号都是带噪信号 在对信号做进一步分析之前 需要将有效 的信号提取出来 如生物医学中的心电 脑电 胃电等各种生理电信号 以及其他由非 电生理信号 如动脉波等 转换成的电信号通常被淹没在强大的噪声中 由于干扰噪声的 影响 这些生理信号可能产生严重畸变 甚至面目全非 从而失去医学诊断价值 因此 去噪和滤波就成了生物医学信号处理的一个重要内容 再如 在机械设备的状态检测和 故障诊断中 通常要对测得的震动信号进行分析处理 以提取信号的特征 然而这些震 动信号往往容易受到噪声的干扰 使得信号中的故障信息也常被淹没在强大的噪声之中 从而给故障信息的特征提取带来很大困难 因此从强噪声中恢复原来信号的波形 做到 信噪分离是十分必要的 为了有效和快速地对图像进行处理和分析 常常需要将原定义在图像空间的图像以 某种形式转换到其他空间 并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理 然后通过逆 变换操作转换到图像空间 目前 人们已根据噪声的统计特征和频谱分布的规律 开发 了多种多样的信号去噪方法 其中最为直观的一种方法是 根据噪声能量一般集中于高 频 而信号频谱分布于一个有限区间的特点 用傅里叶变换将含噪信号变换到频域 然 后采取低通滤波器进行滤波 当信号和噪声的频带相互分离时这种方法比较有效 但当 信号和噪声的频带相互重叠时 比如当信号中混有白噪声时 则效果较差 因为低通滤 波器在抑制噪声的同时也将信号的边缘部分变得模糊 而高通滤波器可以使边缘更突出 背景噪声也同时被加强 因此 基于傅里叶变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑 制噪声之间的矛盾 小波变换具有良好的时频局部化性质 为解决这一问题提供了强有 力的工具 当前 小波技术在去噪中得到了广泛的研究并获得了非常好的应用效果 已 南昌工程学院本科毕业设计 5 经成为信号去噪的主要方法之一 小波去噪之所以取得成功是因为小波变换具有以 9 4 下的重要特点 10 1 低熵性 小波系数的稀疏分布 使得信号变换后的熵降低 2 多分辨率性质 由于采用了多分辨率的方法 可以非常好的刻画信号的非平稳特 征 如边缘 尖峰 断点等 以便于特征提取和保护 3 去相关性 因为小波变换可以对信号进行去相关 且噪声在变换后有白化趋势 所以在小波域比在时域更利于去噪 4 小波基选择的多样性 由于小波变换可以灵活的选择变换基 所以针对不同的应 用场合选用不同的小波函数 以获得最佳的处理效果 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 6 第二章 傅里叶与小波分析的基础知识 2 1 傅里叶分析的基本原理傅里叶分析的基本原理 2 1 1 连续傅里叶变换 首先介绍傅里叶变换 设为变量的连续可积函数 则定义的傅里叶变换 xfx xf 为 2 1 2 dxexfuF uxj 式中 为虚数单位 为频率域变量 为空间域变量 从恢复称为傅里叶jux xF xf 变换 定义为 2 2 2 dxeuFxf uxj 实函数的傅里叶变换 其结果多为复函数 令和分别为的实部和虚部 则 xR xI xF 2 3 arctan 22 uIuRxF uR uI u ujIuRuF 式中 称为的傅里叶谱 谱的平方称为的能量谱 称为变换域变量 也 uF xf xfu 叫频率域变量 应用欧拉公式 指数项可展开为 uxj e 2 2 4 2sin2cos 2 uxjuxe uxj 从欧拉公式可以看出 指数函数可以表达为正弦函数和余弦函数的代数和 利用正 弦函数和余弦函数的奇偶特性可以简化式 2 1 傅里叶变换的计算 可以证明 傅里叶变 换是正交的 也是完备的 2 1 2 离散傅里叶变换 对于一个连续函数等间隔采样可以得到一个离散序列 设采样点数为 则这 xfN 个离散序列可表示为 令为离散实变量 为离散频率 1 3 2 1 0 Nfffff xu 南昌工程学院本科毕业设计 7 变量 则可以将离散傅里叶变换对定义为 2 5 1 0 2 N x Nuxj exfuF 1 1 0 Nu 2 6 1 1 0 2 N u Nuxj euF N xf 1 1 0 Nu 离散傅里叶变换的矩阵形式为 2 7 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 10 1 21 10 000 NF F F W W W WWW WWW WWW NF F F NN N NN 2 8 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 10 1 21 10 000 Nf f f W W W WWW WWW WWW N Nf f f NN N NN 式中 称为变换核 N j eW 2 在数字图像处理系统上实现离散傅里叶变换 利用可分离性 傅里叶变换对可表示 为 2 9 1 0 2 1 0 2 1 N y N vy j N x N ux j eyxfe N vuF 1 1 0 Nvu 2 10 1 0 2 1 0 2 1 N v N vy j N u N ux j evuFe N yxf 1 1 0 Nyx 由式 2 5 可知 图像离散傅里叶变换的具体计算过程为 对图像的每一行 yxf 进行一维傅里叶变换后得到个值 对其排在同一行位置 再对由逐行变换获得的矩阵N 的每一列进行一维傅里叶变换 离散傅里叶变换可以用快速傅里叶变换 FFT 实现 图像数据在计算机中存放的格式为按行存放 一维傅里叶变换执行后 得到个值N 按行放回 在执行第二个一维傅里叶变换时 需要按列进行 取数速度减慢 因此 在 执行变换后要进行图像数据矩阵的转置 大矩阵的快速转置算法是二维图像 FFT 的一个 关键 目前 已经出现用芯片进行图像 FFT 使得运算具有更高速度 具有实时处理功能 从分离形式可知 一个二维傅里叶变换可以由连续两次运用一维傅里叶变换来实现 例如 式 2 9 可以分成如下两式 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 8 2 11 1 0 2 1 N y N vy j eyxf N NvxF 1 1 0 Nv 2 12 1 0 2 1 N x N ux j evxF N vuF 1 1 0 Nvu 对于每个值 式 2 11 方括号中是一个一维傅里叶变换 所以可以由按x vxF 的每一列求变换再乘以得到 在此基础上 再对每一行求傅里叶变换就 yxfN vxF 可以得到 上述过程可以表示为 vxF yxf yxF vuF 注意到图像是非负实数矩阵 即 因此对式两边取共轭有 yxf yxf yxF 2 13 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 1 N u N v N vyux j N v N vy j N u N ux j evuF N evuFe N yxf 因为 所以 yxf yxf 2 14 1 0 1 0 2 1 N u N v N vyux j evuF N yxf 因此 求逆变换可以调用正交变换程序执行 只要以代替位置即可 vuF yxf 对于坐标中心点位置需图像矩阵 做 FFT 得到 通常希望将 yxf vuF 移到 以得到傅里叶变换及其功率谱的完整显示 利用傅里叶变换的 0 0 F 2 2 NNF 移频特性可以证明 对进行傅里叶变换可以得到将中心移动到的 yx yxf 1 2 2 NN 傅里叶变换结果 即 1 0 1 0 22 2 exp 1 2 2 N x N y y N vx N u N j yxf N NvNu F 2 15 1 0 1 0 2 exp exp 1 N x N y N vyuxj yxjyxf N 1 0 1 0 2 exp 1 1 N x N y yx N vyuxj yxf N 1 2 1 0 Nvu 列变换N 行变换 南昌工程学院本科毕业设计 9 上式表明 进行傅里叶变换后得到了将中心移到的傅里叶变换 yx yxf 1 2 2 NN 2 2 小波分析的基本原理小波分析的基本原理 2 2 1 从傅里叶变换到小波变换 小波分析属于时频分析的一种 传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础上的 由于傅里叶分析使用的是一种全局的变换 要么完全在时域 要么完全在频域 因此无 法变大信号的时频局域性质 而这种性质恰恰是非平稳信号最根本 最关键之处 为了 分析和处理非平稳信号 人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命 提出并发张 了一系列新的信号分析理论 短时傅里叶变换 Gabor 变换 时频分析 小波变换 分数 阶傅里叶变换 线调频小波变换 循环统计量理论和调幅 调频信号分析等 其中 短时 傅里叶变换分析的基本思想是 假定非平稳信号在分析窗函数的一个短时间间隔内是 tg 平稳的 并移动分析窗函数使在不同的有限时间宽度内是平稳信号 从而计 tgtf 算出各个不同时刻的功率谱 但从本质上将 短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号 分析方法 因为它使用一个固定的短时窗函数 因而短时傅里叶变换在信号分析上还是 存在不可逾越的缺陷 小波变换是一种信号的时间 尺度分析方法 它具有多分辨率的特点 而且在时频两 域都具有表征信号局部特征的能力 是一种窗口大小固定不变但其形状可改变 时间窗 和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法 即在低频部分具有较高的频率分辨率 在 高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率 很适合于探索正常信号中夹带的 瞬态反常现象并展示其成分 所以被誉为分析信号的显微镜 利用连续小波变换进行动 态的系统故障检测与诊断具有良好的效果 11 2 2 2 连续小波变换 先介绍小波变换的含义 把一个称为基本小波的函数做位移后 再在不 12 10 t b 同尺度下与待分析信号做内积 tx 2 16 dt a at tx a baWTx 1 0 a 等效的频域表示是 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 10 2 17 2 deax a baWT tj x 上式中分别是的傅里叶变换 x ttx 由以上定义 可以看出小波变换和傅里叶变换一样 也是一种积分变换 为小波变换系数 但它不同于傅里叶变换的地方是 小波基具有尺度和平移 baWTxab 两个参数 所以函数一经小波变换 就意味着将一维时间函数投影到二维的时间 尺度 平面上 这样有利于提取信号函数的某些本质特征 小波函数的确切定义为 设为一平方可积函数 即 若其傅里叶变 t 2 RLt 换满足条件 2 18 dc 2 则称为一个基本小波或小波函数 上式称为小波函数的可容许条件 t 13 7 由小波的定义 可知有两个特点 一是 小 即在时域都具有紧支集或近似紧支集 二是正负交替的 波动性 也 即直流分量为零 将小波母函数进行伸缩和平移 就可以得到函数 t 2 19 1 a bt a t ba 0 aRba 式中为伸缩因子 为平移因子 称为依赖于参数的小波基函数 由于尺度ab t ba ba 因子和平移因子是连续变化的值 因此称为为连续小波函数基 它们是同一ab t ba 14 母函数经伸缩和平移后得到的一组函数序列 t 可以证明 若采用的小波满足容许条件 则连续小波变换存在着逆变换 逆变换公 式为 2 20 t1 1 0 2 db a b a baWT a da c tf f 式中为对提出的容许条件 dc 2 t 南昌工程学院本科毕业设计 11 连续小波变换具有以下重要性质 15 1 线性性 一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和 2 平移不变性 若的小波变换为 则的小波变换为 tf baWf tf baWf 3 伸缩共变性 若的小波变换为 则小波变换 tf baWf ctf 0 1 ccbcaW c f 4 自相似性 对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似ab 的 5 冗余性 连续小波变换中存在信息表述的冗余度 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映 它主要表现以下两个方面 1 由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的 也就是说 信号的小波 tf 变换与小波重构不存在一一对应关系 而傅立叶变换与傅里叶反变换是一一对应的 2 小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择 例如 它们可以是非 t ba 正交小波 正交小波 双正交小波 甚至允许是彼此线性相关的 小波变换在不同的之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难 因此 ba 小波变换的冗余度应尽可能减少 它是小波分析中的主要问题之一 2 2 3 离散小波变换 13 在实际应用中 尤其是在计算机上实现 连续小波必须加以离散化 因此 有必要 讨论下连续小波和连续小波变换的离散化 需要强调指出的是 这一离散化 t baWf 都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的 而不是针对时间变量 的 这一点与我abt 们以前习惯的时间离散化不同 在连续小波中 考虑函数 2 21 21 a bt at ba 这里 且 是容许的 为方便起见 在离散化中 总限制只取正值 RaRb 0 a a 这样相容性条件就变为 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 12 2 22 2 dc 通常 把连续小波变换中的尺度参数和连续平移参数离散化公式分别取作ab 这里 扩展步长是固定值 为方便起见 总是假定 由 000 bkabaa jj Zj 1 0 a1 0 a 于可取正也可取负 所以这个假定无关紧要 所以对应离散小波变换即可写作m t kj 2 23 00 2 0 0 002 0 kbtaa a bkat at jj j j j kj 而逆运算算小波变换系数则可表示为 2 24 kj kj kj fdtttfc 其重构公式为 2 25 jk kjkj tCCtf 其中是一个与信号无关的常数 C 然而 怎样选择和才能够保证重构信号的精度呢 显然 网络点应尽可能密 即 0 a 0 b 和尽可能小 因为如果网格点越稀疏 使用的小波函数和离散小波系数 0 a 0 b t kj 就越少 信号重构的精确度也就会降低 kj C 2 2 4 多分辨率分析 小波变换中的伸缩参数实质上描述了观测信号的范围 也就是尺度 在图像处理中 称之为分辨率 所以小波变换也可以理解为信号的多分辨率分析 在小波多分辨率分 16 析中 将引出与小波函数紧密相连的另一个分析函数 尺度函数 t t 一般认为 法国数学家 Meyer 与信号处理专家 Mallat 是多分辨率分析理论的 19 17 主要创立者 多分辨分析的基本思想是先在的某个子空间中建立基底 然后利用简 2 RL 单的伸缩和平移变换 把子空间的基底扩充到中 下面给出多分辨分析的概念 2 RL 22 21 定义 2 1 设是空间的一个闭子空间列 被称为的一个多分辨分析 2 RL Zj j V 2 RL 南昌工程学院本科毕业设计 13 如果满足下面的条件 Zj j V 1 单调性 ZjVVV jjj 11 2 逼近性 2 RLVV j Zj j Zj 3 伸缩性 2 1 ZjVxfVxf jj 4 平移不变性 00 ZkVkxfVxf 5 Riesz 基存在性 存在 使构成的 Risez 基 0 Vg Zkkxg 0 V 对如此定义的多分辨率分析 Mallat 证明了下述结论 20 定理 2 1 设是的一个多分辨率分析 那么存在唯一的函数 Zj j V 2 RL 称为尺度函数 是的构成的标准正交基 2 RLx 2 2 2 2 Zkj jj kj kx j V 根据以及 建立尺度函数方程的关系式 1 jj VV jjj WVV 1 定理 2 2 假设为一个具有尺度函数的正交多分辨率分析 则下列尺度 ZnVn 关系式成立 2 26 2 Zk k kxhx 其中 并且有 dxkxxhk 2 2 2 27 2 2 1 Zk kjlk j xhlx 此式可等价的表示为 2 28 2 2 2 1 Zk kjlklj xhx 其中 2 29 2 22 kx l l kj 上式表示了和的关系 称为尺度关系或双尺度关系 因为当足够大 x 2 x 21 k 时 的支撑在的之外 则当是紧支撑 仅有有限个非零 因此 2 kx x x k p 2 27 中的和式是有限的 通常是实的 此时也是实的 因为是的子空间 k h j V 1 j V 为了实现分解 需要把表示为及正交补的直和 因此还需要构建一个函数 1 j V j V j W 定理 2 3 设是一个多分辨率分析 相应的尺度函数为 ZjVj 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 14 令是有由生成的 这里 Zk k kxhx 2 j W Zkkx j 2 2 30 2 1 1 Zk k k kxhx 那么是在中的正交补 而且 是的一个标准 j W j V 1 j V Zkkxx jj kj 2 2 2 j W 正交基 这样我们就可以得到对空间的一个分解 2 RL 定理 2 4 令是一个依尺度函数的多分辨率分析 令是中的正 ZjVj j W 1 j V j V 交补 则有 2 31 101 2 WWWRL 特别地 对任一 可唯一的表示为一个和式 这里 而且 2 RLf k k w kk Ww 相互正交 k w 2 2 5 正交小波的 Mallat 算法 1989 年 Mallat 提出了信号的塔式多分辨分解与重构算法 俗称 Mallat 算法 Mallat 算法的基本思想可以归纳如下 设为能量有限信号在分辨率为fH j 2 RLf 下的近似 则可进一步分解为在分辨率下的近似 通过低通滤波器得 j 2fH j f 1 2 j fH j 1 到 以及位于分辨率和之间的细节 通过高通滤波器得到 之和 其分解过 1 2 jj 2fDj 1 程如图所示 fH j fH j 1 fH j 2 fDj 1 fDj 2 fH kj fD kj 低频分解 高频分解 图 2 1 信号 Mallat 分解示意图 设和分别为尺度和小波函数 则信号在分辨率下近似和细节 f 1 2 j fH j 可分别假设为fDj 1 南昌工程学院本科毕业设计 15 2 32 111 k kjjj xaxfH 2 33 111 k kjjj xdxfH 上式中的与分别为分辨率下近似系数与细节系数 而分辨率下信号的 kj a 1 kj d 1 1 2 jj 2f 近似可以直接表示为fH j 2 34 11 xfDfHfH jjj 其中 2 35 k kjkjj xaxfH 从前面两个表达式不难看出 研究信号与以及的关系可以转化为找出系fH j fH j 1 fDj 1 数与以及的关系 kj a kj a 1 kj d 1 2 36 2 1 12 1 Zk kjnknj Zk kjnknj agdaca 其中 2 37 kjnjnkkjnjnk gc 12 12 2 34 式被称为信号的分解 构成 Mallat 著名的塔式分解算法 上述分解过程的逆过程 重构 如图所示 fH j fH j 1 fH j 2 fDj 1 fDj 2 fH kj fD kj 图 2 2 信号 Mallat 分解示意图 fH kj2 fD kj2 上述流程图相应的数学表达式为 2 38 12 12 Zk kjkn Zk kjknnj agaca 称为信号的重构 构成 Mallat 著名的塔式重构算法 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 16 2 2 6 二维小波分析 假定信号函数 为二维母小波函数 其构造可由一维母小波 22 RLyxf yx 的张量积形成 22 1 二维连续小波变换 2 39 1 dxdy a cy a bx yxfacbaCWTcbaWf 2 二维离散小波变换 2 40 2 2 2 22112121 12 klklllfkkjDWT jj ll j 其中 假定对应于二维母小波的对偶小波为 Zllkkj 2121 yx yx 2 41 1 a cy a bx ayx cba 则逆小波变换 即重构公式为 2 42 cbacbacbacba yxfyxfyxf 二维多分辨分析是由一维多分辨分析的有关张量积形成的 假定一维多分便分析为 则相应的二维多分辨分析应该为 Zj j Zj j WVxx Zj j Zj j WVyxyx 22 下面我们推导出其具体形式 已知 2 yxyxVVV jjj 是的 2 212121 2 2 2 2 2 2 1 21 Zkkkykxkykxyx jjjjjj kkj kkj 2 j V 一组规范正交基 因为 11 2 1 jjj VVV jjjj WVWV 2 43 jjjjjjjj WWVWWVVV 2 jjjjjjj WWVWWVV 22 jj WV 南昌工程学院本科毕业设计 17 其中 上式说明 2 jjjjjjj WWVWWVW 2 44 3 2 1 3 2 1 eyxyx yxyx yxyx yxyx e 而是的一组规范正交基 2 3 2 1 Zmkeyxyx e mk j W 是的一组规范正交基 3 3 2 1 Zmkjeyx e 22 RL 记是从分别到子空间 321 jjjj DDDA 22 RL 的投影算子 则有 jjjjjjjj WWVWWVVV 21 2121 1 11 kk kkjkkjj cyxfA 2 45 21 211 1 1 1 kk kjkjkkj yxc 321 fDfDfDfA jjjj 其中 2121 1 11 1 yxfAc kjkjjkkj jjj VVfA 111 jjj VVfA 2 46 jjj WVfD 1 jjj VWfD 2 jjj WWfD 3 因为 21 2121 21 2121 mm mjmjmmj mm mmjmmjj yxccfA 21 2121 3 2 1 mm e mmj e mmj e j edfD 从而有 fDfDfDfAfA jjjjj 321 1 2 47 21 2121 21 2121 1 mm mjmjmmj mm mjmjmmj yxdyxc 21 2121 21 2121 3 2 mm mjmjmmj mm mjmjmmj yxdyxd 第二章 小波与傅里叶分析的基础知识 18 其系数由下面的迭代公式确定 2 48 21 1221121 21 1221121 21 1221121 21 1221121 122 3 122 2 122 1 122 kk kjmkmkmmj kk kjmkmkmmj kk kjmkmkmmj kk kjmkmkmmj cggd chgd cghd chhc 引入无穷矩阵 其中 22112211 mkcmkrmkcmhr GHGGHHHH 下标 分别表示矩阵的行操作和列操作 于是可简化为 mkmkmkmk gGhH 2 2 rc 2 49 1 3 1 2 1 1 1 jerj jerj jerj jerj CGHD CGHD CGHD CHHC 1 0 Jj 设 则经过步 为正整数 分解后有 2 0 Vyxf J0 J 2 50 j jg e j fDfAfAyxf 1 3 1 10 对应的重构算法为 2 51 1 1 3 2 1 1 JJjDGGDHGDGHCHHC jcrjcrjcrjcrj 其中和分别是和的对偶算子 在中 或被理解成和的共轭转置矩阵 H GHG 2 lHG 南昌工程学院本科毕业设计 19 第三章 图像去噪的研究 3 1 噪声与去噪噪声与去噪 3 1 1 图像系统中的常见噪声 1 按噪声幅度分布形状而分成高斯分布的高斯噪声 主要由阻性元器件内部产生 2 按噪声和信号之间的关系分为加性噪声和乘性噪声 加性噪声 此类噪声与输入图像信号无关 含噪图像可表为 yxnyxgyxf 图像在传输过程中的信道噪声及光导摄像管的摄像机扫描图像时产生的噪声就属这类噪 声 乘性噪声 此类噪声与图像信号有关 往往随图像信号的变化而变化 含噪图像可 表示为 飞点扫描器扫描图像时的噪声 电视图像中的相 yxgyxnyxgyxf 干噪声 胶片中的颗粒噪声就属于此类噪声 3 椒盐噪声 主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生泊 松噪声 4 量化噪声 此类噪声与输入图像信号无关 是量化过程存在量化误差 再反映到 接受端而产生 其大小显示出数字图像和原始图像差异 3 1 2 噪声的数学模型 在图像数据的采集和传输过程中都有可能受到噪声污染 例如 红外图像 安全监 控图像等 如何消除图像中噪声是图像处理领域中的一个重要内容 简称图像去噪 即 基于噪声和信号有不同的特性 通过某种滤波操作以尽可能减少噪声功率并同时使信号 功率不受大的影响 一般噪声用平稳 guassian 随机过程来描述 其瞬间值 随机变量 的概率密度函 tn 数可以表示为 pdf 3 1 2 2 2 exp 2 1 n n n np 第三章 图像去噪的研究 20 式中为噪声平均功率 噪声的功率为 n 3 2 trFTwp nnn 式中 3 3 tntnEtrnn 为噪声的自相关函数 噪声功率谱一般表现为平坦的宽带特性 故常常假定为常数 即 3 4 nn wp 这时相关函数为 3 5 2 nn r 这一特殊情况称为 Gaussian 白噪声 自然图像的频谱表现为丰富的低频成分 随着频率的增大 功率谱的值迅速减小 故图像信号的功率谱常可以用特性来近似 图 3 1 给出了一个典型的图像功率谱 wpn f 1 和谱声功率谱的曲线 wps wpn wps wpn 0 图 3 1 图像功率谱与噪声功率谱 W 噪声对于信号的污染方式可以有两种不同的数学模型描述 一是所谓的加性噪声 这时被污染的信号表达为 3 6 tntstx 其中是未受污染的真实信号 另一类模型称之为乘性噪声 这时 ts 3 7 tntstx 南昌工程学院本科毕业设计 21 当然在一个具体的实例中可能既有加性噪声也有乘性噪声 不过本文考虑的仅是加性高 斯噪声 3 2 傅里叶分析应用于图像去噪傅里叶分析应用于图像去噪 根据噪声能量一般集中于高频 而信号频谱分布于一个有限区间的特点 用傅里叶 变换将含噪信号变换到频域 然后采取低通滤波器进行滤波 在分析图像信号的频谱特 性时 一幅图像的边缘 跳跃不分以及颗粒声代表图像信号的高频分量 而大面积的背 景区则代表图像信号的低频分量 用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声使图像得 到平滑由卷积定理可知 vuFvuHvuG 式中 是含噪图像的傅里叶变换 是平滑后的图像的傅里叶变换 vuF vuG 是低通了滤波器传递函数 利用使的高频分量得到衰减 得到 vuH vuH vuF 后再经过反变换得到所希望的图像了 低通滤波平滑图像的系统框如下图 vuG yxg 傅里叶变换 yxf 傅里叶反变换低通滤波器 vuG vuF yxg 图 3 2 3 2 1 理想低通滤波器 一个理想的低通滤波器 LIPF 的传递函数由下式表示 0 1 0 DvuD DVUD vuH 3 8 式中是一个规定的非负的量 称为理想低通滤波器的戒指频率 代表从频率平 0 D vuD 面的原点到的点的距离 即 vu 第三章 图像去噪的研究 22 3 9 2122 vuvuD 理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的 但它在处理过程中会产生较严重的模糊 和振铃现象 这是由于在处由 1 突变到 0 这种理想的对应的冲激相应 vuH 0 D vuH 在空域中的表现为同心环的形式 并且此同心环半径与成反比 越小 同心 vuh 0 D 0 D 环半径越大 模糊程度越厉害 正是由于理想滤波器存在此振铃现象 使其平滑效果下 降 3 2 2 巴特沃斯低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器 BLPF 又称作最大平坦滤波器 与理想滤波不同 它的通带与 阻带之间没有明显的不连续性 因此它的空域相应没有振铃现象发生 模糊程度减少 一个 n 阶巴特沃斯低通滤波器的