高一数学下 6.4《反三角函数》教案（1）沪教版

用心 爱心 专心 6 46 4 反三角函数 反三角函数 1 1 反正弦函数反正弦函数 一 教学内容分析一 教学内容分析 根据反函数的概念 正弦函数 y sinx x R 没有反函数 但是如果我们适当选取实数 集 R 的一个子集 2 2 那么函数 y sinx x 2 2 就存在反函数 为什么要 选取 2 2 教师要作必要性说明 我们把函数 y sinx x 2 2 的反函数叫 做反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 学生对符号的 arcsinx 的理解比较困难 前面符号中的 x 必须满足 x 1 arcsinx 是 2 2 上的一个角的弧度数 这个角的 正弦值为 x 根据互为反函数间的图像关系 函数 y arcsinx x 1 1 的图像和函数 y sinx x 2 2 的图像应该关于直线 y x 对称 这样容易作出反正弦函数的图像 根据其图像可以得到反正弦函数 y arcsinx x 1 1 是奇函数 且单调递增 二 教学目标设计二 教学目标设计 1 理解函数 y sinx x R 没有反函数 理解函数 y sinx x 2 2 有反函数 理解反正弦函数 y arcsinx 的概念 掌握反正弦函数的定义域是 1 1 值域是 2 2 2 知道反正弦函数 y arcsinx x 1 1 的图像 3 掌握等式 sin arcsinx x x 1 1 和 arcsin x arcsinx x 1 1 4 能够熟练计算特殊值的反正弦函数值 并能用反正弦函数值表示角 5 会用数形结合等数学思想分析和思考问题 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 教学重点 教学重点 教学重点 理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质 教学难点 教学难点 教学难点 反正弦函数 1 1 arcsin xxy的产生和从本质上处理正弦函数 Rxxy sin的反函数问题 四 教学用具准备四 教学用具准备 直尺 多媒体设备 用心 爱心 专心 五 教学流程设计五 教学流程设计 六 教学过程设计六 教学过程设计 一 一 情景引入情景引入 1 1 复习 复习 我们学习过反函数 知道 对于函数 y f x x D 如果对它的值域中的任意一个 值 y 在定义域 D 中都有唯一确定的值 x 与它对应 使 y f x 这样得到的 x 关于 y 的函 数叫做 y f x 的反函数 我们也明确不是任何一个函数都存在反函数 函数要存在反函数 必须要求其自变量与因变量是一一对应的 2 2 思考 思考 那么正弦函数是否存在反函数呢 说明说明 因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应 正弦函数的自变量与因变量是 多对一的 故而不存在反函数 3 3 讨论 讨论 正弦函数 的图象 与性质 互为反函数 的两个函数 的图象与性 质的关系 反正弦函数的 图象与性质 应用举例 求特殊值的反正弦函数值 用反正弦函数值表 示角 运用反正弦恒等式化简或求值 巩固 反馈 总结 反思 作业 反正弦函数的定义 师生讨论 探究 提炼概念 用心 爱心 专心 y x y arcsinx y sinx 1 2 2 1 y x o 正弦函数不存在反函数 但只要选取某一区间使得xysin 在该区间上存在反函数 因 变量可以确定自变量 正弦值可以表示相应的角值 并且将该区间上的角值用相应的正弦 值表示就可以了 学生讨论应该选取怎样的区间 使得xysin 存在反函数呢 这个区间的选择依据两个原则 1 xysin 在所取区间上存在反函数 2 能取到xysin 的一切函数值 1 1 可以选取闭区间 2 2 使得xysin 在该区间上存在反函数 而这个反函数就 是今天要学习的反正弦函数 二 学习新课二 学习新课 1 1 概念辨析 概念辨析 1 反正弦函数的定义 函数 y sinx x 2 2 的反函数叫做反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 2 反正弦函数的性质 图像 用心 爱心 专心 定义域 1 1 值域 2 2 奇偶性 奇函数 即 arcsin x arcsinx x 1 1 单调性 增函数 说明说明 互为反函数的两个函数图像关于直线互为反函数的两个函数图像关于直线xy 对称 函数对称 函数 y sinxy sinx x x 2 2 与函数与函数 y arcsinxy arcsinx x 1x 1 1 1 的图像关于直线的图像关于直线xy 对称对称 2 2 例题分析 例题分析 例 1 求下列反正弦函数的值 1 arcsin 2 1 2 arcsin0 3 arcsin 2 3 解 1 因为 sin 6 2 1 且 6 2 2 所以 arcsin 2 1 6 2 因为 sin0 0 且 0 2 2 所以 arcsin0 0 3 因为 sin 3 2 3 且 3 2 2 所以 arcsin 2 3 3 例 2 用反正弦函数值的形式表示下列各式的 x 1 sinx 3 2 x 2 2 2 sinx 5 1 x 2 2 用心 爱心 专心 3 sinx 3 3 x 0 解 1 因为 x 2 2 由定义 可知 x arcsin 3 2 2 因为 x 2 2 由定义 可知 x arcsin 5 1 arcsin 5 1 3 在区间 2 0 上 由定义 可知 x arcsin 3 3 arcsin 3 3 在区间 2 上 由诱导公式 可知 x arcsin 3 3 满足 sinx 3 3 因 此 x arcsin 3 3 或 x arcsin 3 3 例 3 化简下列各式 1 arcsin sin 7 2 arcsin sin 5 4 3 arcsin sin20070 解 1 因为 7 2 2 设 sin 7 所以 arcsin 7 即 arcsin sin 7 7 2 因为 5 4 2 2 而 5 2 2 且 sin 5 sin 5 4 设 sin 5 sin 5 4 所以 arcsin sin 5 4 arcsin sin 5 arcsin 5 3 因为 sin20070 sin 5 3600 2070 sin2070 sin 1800 270 sin270 所以 arcsin sin20070 arcsin sin270 arcsin sin270 270 用心 爱心 专心 例 4 求函数 f x 2arcsin2x 的反函数 f 1 x 并指出反函数的定义域和值域 解 设 y 2arcsin2x 则 2 y arcsin2x 因为 2x 1 1 arcsin2x 2 2 所以 x 2 1 2 1 y 根据反 正弦函数的定义 得 2x sin 2 y x 2 1 sin 2 y 将 x y 互换 得反函数 f 1 x 2 1 sin 2 x 定义域是 值域是 2 1 2 1 3 3 问题拓展 问题拓展 例 1 证明等式 arcsin x arcsinx x 1 1 证明 x 1 1 x 1 1 sin arcsin x x sin arcsinx sin arcsinx x 又因为 arcsin x 2 2 arcsinx 2 2 且正弦函数在 2 2 上 单调递增 所以 arcsin x arcsinx x 1 1 说明说明 这是证明角相等的问题 两个角仅有同名三角比相等 不能证明这两个角相等 教这是证明角相等的问题 两个角仅有同名三角比相等 不能证明这两个角相等 教 师应启发学生知道这个数学事实 并举例说明师应启发学生知道这个数学事实 并举例说明 例 2 设 x 2 2 3 sinx 3 1 用反正弦函数值表示 x 解 因为 x 2 2 3 所以 x 2 2 又 sin x sinx 得 sin x 3 1 于是 x arcsin 3 1 x arcsin 3 1 用心 爱心 专心 说明说明 对于用反正弦函数值表示区间对于用反正弦函数值表示区间 2 2 外的角 教材不作要求 但考虑到在解实外的角 教材不作要求 但考虑到在解实 际问题中常要表示钝角 因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习际问题中常要表示钝角 因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学 三 巩固练习三 巩固练习 判断下列各式是否成立 简述理由 1 arcsin 2 3 3 2 arcsin 3 2 3 3 arcsin1 2k 2 k Z 4 arcsin 3 arcsin 3 5 sin arcsin2 2 6 arcsin 6 2 1 解 1 式成立 2 4 5 各式都不成立 理由是反正弦函数的定义域为 1 1 3 式仅当 k 0 时成立 k 取其他整数时 不成立 理由是反正弦函数的值域为 2 2 6 式不成立 因为与反正弦函数的定义不符 四 课堂小结四 课堂小结 教师引导学生总结 1 反正弦函数的定义 2 反正弦函数的性质 五 作业布置五 作业布置 1 书上练习 6 4 1 中的 1 2 3 4 2 思考题 求函数 f x 2 arcsin2x 的反函数 f 1 x 并指出反函数的定义 域和值域 七 教学设计说明七 教学设计说明 1 关于教学内容 反正弦函数作为基本初等函数之一 对后继课程的学习有着重要的作用 特别是在反三 角函数中 反正弦函数有着模本的作用 而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点 本 节课与反函数的基本概念 性质有着紧密的联系 通过对这一节课的学习 既可以让学生 掌握反正弦函数的概念 又可使学生加深对反函数概念的