线性代数课后习题提示

1 线性代数习题提示线性代数习题提示 在本习题提示中 我们将参考三本书 1 线性代数 居余马等 简称 教材 2 线性代数学习指南 居余马等 简称 指南 3 线性代数学习指导及习题解答 中国海洋大学数学科学学院线性代数课题组 简称 习题册 第第 1 章章课后习题提示课后习题提示 习题习题 1 对角线法展开 或按定义沿第一行展开 2 对角线法展开 或按定义沿第一行展开 此行列式需记牢 3 对角线法展开 或按定义沿第一行展开 4 沙路法展开 或按定义沿第一行展开 5 沙路法展开 或按定义沿第一行展开 6 沙路法展开 或按定义沿第一行展开 7 参见 指南 第 21 页 8 沙路法展开 或按定义沿第一行展开 以下习题提示中 i r 为对第 i 行变换 j c 为对第 j 行变换 9 此为副下三角行列式 利用 教材 第 6 页公式 1 2 1 1 n n nn Daa L 10 沿最后一行展开 并利用公式 1 2 1 1 n n nn Daa L 得 9 9 1 10 10 2 001 020 1011019 10 900 D L L M NM M L 11 利用 教材 性质 5 与上三角行列式公式 213141 11111111 11110200 8 11110020 11110002 rr rr rr 12 注意到每一行元素之和都为 10 因此将各列加到第一列并提出公因子得 12342131413242 1234123412341234 2341134101130113 10 102 10160 3412141202220044 4123112301110004 rrrrrr rr rrrr rr 2 13 考虑到行列式最后一列有零 利用性质 5 把最后一列前 3 个元素打成零得 4 42 3 142423 50423220 322322 1121021032 2 110212001117 4120412045 412452 11111111 rr rrcc 14 参见 指南 第 22 页 15 行列式中有很多零 利用 教材 第 19 页例 9 利用公式 0 A DA B B 得 1213 32 34 51 D 16 行列式中有很多零 将第三 五行互换可以得到第 20 页 1 21 的形式 利用公式 0 A DA B B 求解 17 行列式中有很多零 是第 20 页 1 22 的形式 利用公式 0 1 k m A DA B B 得 3 2 112 12 130260 31 240 D 18 5 5 1 3 5 2 00001 100 00020 111201 3 1153 5 00300 0 123 04000 50000 k m A A B B L 19 利用 教材 性质 3 中的求和性质 把行列式展开成 2 2 个行列式之和 并 结合性质 4 和 6 得 111111111111111 2 222222222222222 333333333333333 1 aa xcabcb xa xcb xbcabc Daa xcabcb xa xcb xbcxabc aa xcabcb xa xcb xbcabc 20 此题跟例 7 非常类似 若 0 x 3 22 11111 111 11111 111 0 11111 1 11 11111 111 x x x y yy yy 若 0 x 利用例 7 的方法 22 213141121314 11111111111 111100 000 111100 000 111100 000 xx xxx yy xxx xx xrr rr rrcc ccccx y yxyyy y yxy y 21 本题不是范德蒙行列式 为此将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式 2222 3333 1111 abcd dadbdccacbba abcd abcd 同时将上面的行列式沿第三行展开得 2222 2222 333333333333 3333 1111 111111111111 abcd abcdbacdcabddabc abcd bcdacdabdabc abcd 因此本题中行列式为上述展式中 2 d 的系数乘 1 为 abcbacacb 22 本题也不是范德蒙行列式 先行列互换一下 然后与上题一样将其加上一 行一列补成如下的范德蒙行列式 2222 3333 1111 abcd dadbdccacbba abcd abcd 同时将上面的行列式沿第二行展开得 2222 333333333333 3333 1111 111111111111 abcd a bcdb acdc abdd abc abcd bcdacdabdabc abcd 因此本题中行列式为上述展式中 d 的系数 为 abbccabacacb 又因为范德蒙行列式为 4 2 2 2222 1111 1 1 aa bbabcbacacb ccabc 命题得证 23 参见 指南 第 23 页 24 参见 指南 第 23 页 25 参见 指南 第 24 页 26 因为第四行为第二 三行之和的一半 因此 423 1 1 1 1 11 0 1 122 00001 222 abc abc bca bca rrr cab cab bccaab 27 行列式中有很多零 考虑利用 教材 第 19 页例 9 的公式 想化为该形式 需要进行一些行列互换 然后利用公式 0 A DA B B 得 111111 4444222211 34233423141 4232 3 2222333344 333344 000000 000000 000000 000000 ababab babaababab rr rrcc cca abba ab b ababbababa bababa 28 参见 习题册 第 19 页 29 参见 习题册 第 19 页 30 参见 习题册 第 19 页 31 利用 Gramer 法则 1234 1234 DDDD xxxx DDDD 将 5 个 4 阶行列式化为 上三角行列式求解 32 利用 Gramer 法则 系数行列式为 1234521314151 011111111111111 101111011101000 4 44110111101100100 111011110100010 111101111000001 Drrrrrrr rr rr rr 12131415112131415 1111111111111111 201111100001000 2 3 411310112010000100 411013001000010 511104000100001 Drr rr rr rrcc cc cc cc 因此 1 1 11 4 D x D 同理可求得 234 x x x 5 33 参见 习题册 第 19 页 34 参见 习题册 第 20 页 35 将四个值代入函数中得如下方程 23 0123 23 0123 23 0123 23 0123 1110 1114 2223 33316 aaaa aaaa aaaa aaaa 求解 0123 a a a a 即可 特别的注意系数行列式为范德蒙 23 23 23 23 1111 1111 112131213 13248 1222 1333 36 参见 习题册 第 20 页 37 参见 习题册 第 23 页 或 指南 第 24 页 38 参见 习题册 第 23 页 39 参见 习题册 第 24 页 40 参见 指南 第 25 页 41 参见 习题册 第 24 页 或 指南 第 26 页 42 参见 习题册 第 24 页 43 参见 习题册 第 25 页 或 指南 第 27 页 44 参见 习题册 第 26 页 或 指南 第 28 页 45 参见 习题册 第 26 页 或 指南 第 31 页 46 参见 习题册 第 26 页 47 参见 习题册 第 27 页 48 平面的一般方程为ax byczd 分两种情况讨论 1 若 0d 方程为 0axbycz 将三点坐标代入得 0 230 30 a