平行四边形证明练习题

平行四边形证明练习题平行四边形证明练习题 一 解答题一 解答题 1 如图所示 已知在平行四边形 ABCD 中 BE DF 求证 DAE BCF 2 在 ABCD 中 E F 分别是 BC AD 上的点 且 BE DF 求证 AE CF 3 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 E F 分别是 BC AD 上的点 1 2 求证 ABE CDF 4 如图 已知 平行四边形 ABCD 中 E 是 CD 边的中点 连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于 F 点 求证 BC DF 5 如图 在 ABCD 中 AC 交 BD 于点 O 点 E 点 F 分别是 OA OC 的中点 请判断线段 BE DF 的关系 并 证明你的结论 6 已知 如图 ABCD 中 E F 是对角线 AC 上的点 且 AE CF 求证 ABE CDF 2 7 如图 已知在 ABCD 中 过 AC 中点的直线交 CD AB 于点 E F 求证 DE BF 8 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AE 四边形 AECD 是平行四边形吗 为什么 9 如图 E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AE CF 求证 DE BF 10 如图 四边形 ABCD 中 AD BC AE BD CF BD 垂足为 E F AE CF 求证 四边形 ABCD 是平行 四边形 11 如图 在 ABC 中 AD 是中线 点 E 是 AD 的中点 过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F 连接 BF 求证 四边形 AFBD 是平行四边形 12 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC DE AB AD DC BC 求证 1 DE DC 2 DEC 是等边三角形 13 已知 如图 E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AE CF 3 求证 1 ADF CBE 2 连接 DE BF 试判断四边形 DEBF 的形状 并说明理由 14 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E F G H 分别在 AB BC CD AD 边上且 AE CG AH CF 求证 四边形 EFGH 是平行四边形 15 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 是对角线 AC 上的点 且 AE CF 1 猜想探究 BE 与 DF 之间的关系 2 请证明你的猜想 16 如图 E F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点 且 BE DF 求证 1 2 17 如图 已知 E F 分别是 ABCD 的边 AB CD 的中点 求证 ED BF 18 如图 BD 是 ABCD 的对角线 ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F 求证 四边形 DEBF 为平行四边形 4 19 如图 在 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 已知点 E F 分别为 AO OC 的中点 证明 四边形 BFDE 是平行四边形 20 如图所示 A E F C 在一条直线上 AE CF 过 E F 分别作 DE AC BF AC 若 AB CD 可以得到 BD 平分 EF 为什么 说明理由 21 如图 ABC 的中线 BD CE 交于点 O F G 分别是 OB OC 的中点 求证 EF DG 且 EF DG 22 已知如图所示 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O GH 过点 O 分别交 AD BC 于 G H E F 在 AC 上且 AE CF 求证 四边形 EHFG 是平行四边形 5 平行四边形证明练习题平行四边形证明练习题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 22 小题 小题 1 如图所示 已知在平行四边形 ABCD 中 BE DF 求证 DAE BCF 考点 平行四边形的性质 平行线的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 根据平行四边形性质求出 AD BC 且 AD BC 推出 ADE CBF 求出 DE BF 证 ADE CBF 推 出 DAE BCF 即可 解答 证明 四边形 ABCD 为平行四边形 AD BC 且 AD BC ADE CBF 又 BE DF BF DE 在 ADE 和 CBF 中 ADE CBF DAE BCF 点评 本题考查了平行四边形性质 平行线性质 全等三角形的性质和判定的应用 关键是求出证出 ADE 和 CBF 全等的三个条件 主要考查学生的推理能力 2 在 ABCD 中 E F 分别是 BC AD 上的点 且 BE DF 求证 AE CF 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 根据平行四边形的性质得出 AB CD B D 根据 SAS 证出 ABE CDF 即可推出答案 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD B D BE DF ABE CDF AE CF 点评 本题主要考查对平行四边形的性质 全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握 能根据性质证出 ABE CDF 是证此题的关键 3 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 E F 分别是 BC AD 上的点 1 2 6 求证 ABE CDF 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定 5430327 分析 利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 B D AB CD 在 ABE 与 CDF 中 ABE CDF ASA 点评 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定 根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解 决本题的关键 4 如图 已知 平行四边形 ABCD 中 E 是 CD 边的中点 连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于 F 点 求证 BC DF 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 由四边形 ABCD 是平行四边形 可得 AD BC 根据平行线的性质即可求得 EBC F C EDF 又由 E 是 CD 边的中点 根据 AAS 即可求得 EBC EFD 则问题得证 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC EBC F C EDF 又 EC ED EBC EFD AAS BC DF 点评 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质 此题难度不大 解题的关键是要注意数形结 合思想的应用 5 2013 莒南县二模 如图 在 ABCD 中 AC 交 BD 于点 O 点 E 点 F 分别是 OA OC 的中点 请判断线段 BE DF 的关系 并证明你的结论 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 7 分析 根据平行四边形的性质对角线互相平分得出 OA OC OB OD 利用中点的意义得出 OE OF 从而利用 平行四边形的判定定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定 BFDE 是平行四边形 从而得出 BE DF BE DF 解答 解 由题意得 BE DF BE DF 理由如下 连接 DE BF ABCD 是平行四边形 OA OC OB OD E F 分别是 OA OC 的中点 OE OF BFDE 是平行四边形 BE DF BE DF 点评 本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用 性质 平行四边形两组对边分别平行 平行 四边形的两组对边分别相等 平行四边形的两组对角分别相等 平行四边形的对角线互相平分 判 定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组 对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形 6 已知 如图 ABCD 中 E F 是对角线 AC 上的点 且 AE CF 求证 ABE CDF 考点 平行四边形的性质 平行线的性质 全等三角形的判定 5430327 分析 根据平行四边形的性质得出 AB DC AB CD 根据平行线的性质推出 BAC DCF 根据 SAS 证出即 可 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB DC AB CD BAC DCF AE CF ABE CDF 点评 本题主要考查对平行四边形的性质 全等三角形的判定 平行线的性质等知识点的理解和掌握 能推出证 ABE CDF 的三个条件是解此题的关键 7 如图 已知在 ABCD 中 过 AC 中点的直线交 CD AB 于点 E F 求证 DE BF 考点 平行四边形的性质 平行线的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 8 分析 根据平行四边形的性质得到 DC AB DC AB 根据平行线的性质得到 ECA BAC CEO AFO 能 推出 AOF COE 得到 CE AF 即可证出答案 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 DC AB DC AB ECA BAC CEO AFO OA OC AOF COE CE AF DC AB DE BF 点评 本题主要考查对平行四边形的性质 平行线的性质 全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握 解 此题的关键是根据平行四边形的性质证出 AOF 和 COE 全等 8 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AE 四边形 AECD 是平行四边形吗 为什么 考点 等腰梯形的性质 平行线的判定与性质 等腰三角形的性质 平行四边形的判定 5430327 分析 根据等腰三角形性质求出 B C 根据等腰三角形性质推出 AEC B C 推出 AE CD 根据平行四边 形的判定推出即可 解答 解 是平行四边形 理由 四边形 ABCD 是等腰梯形 AD BC AB DC B C AB AE AEB B AEB C AE DC 又 AD BC 四边形 AECD 是平行四边形 点评 本题考查了等腰三角形的性质 等腰梯形的性质 平行线的性质和判定 平行四边形的判定等知识点的应 用 关键是根据题意推出 AE CD 培养了学生分析问题和解决问题的能力 题目较好 综合性比较强 9 如图 E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AE CF 求证 DE BF 考点 平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定 5430327 分析 连接 BE DF BD BD 交 AC 于 O 根据平行四边形性质求出 OA OC OD OB 推出 OE OF 根据平 行四边形的判定推出四边形 BEDF 是平行四边形即可 解答 证明 连接 BE DF BD BD 交 AC 于 O 四边形 ABCD 是平行四边形 OA OC OD OB 9 AE CF OE OF 四边形 BEDF 是平行四边形 DE BF 点评 本题考查了平行四边形的性质和判定等应用 关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理 此 题的证明方法二是证 AED CFB 推出 DE BF 10 如图 四边形 ABCD 中 AD BC AE BD CF BD 垂足为 E F AE CF 求证 四边形 ABCD 是平行 四边形 考点 平行四边形的判定 平行线的性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 求出 AED CFB 90 根据 HL 证 Rt AED Rt CFB 推出 ADE CBD 得到 AD BC 根据平行四边 形的判定判断即可 解答 证明 AE BD CF BD AED CFB 90 在 Rt AED 和 Rt CFB 中 Rt AED Rt CFB HL ADE CBD AD BC AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 点评 本题考查了平行四边形的判定 平行线的性质 全等三角形的性质和判定等知识点的应用 关键是推出 AD BC 主要考查学生运用性质进行推理的能力 11 如图 在 ABC 中 AD 是中线 点 E 是 AD 的中点 过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F 连接 BF 求证 四边形 AFBD 是平行四边形 考点 平行四边形的判定 全等三角形的判定与性质 5430327 专题 证明题 分析 求出 AE DE AFE DCE 证 AEF CED 推出 AF DC 得出 AF BD AF BD 根据平行四边形 10 的判定推出即可 解答 证明 E 为 AD 中点 AE DE AF BC AFE DCE 在 AEF 和 CED 中 AEF CED AAS AF DC AD 是 ABC 的中线 BD DC AF BD 即 AF BD AF BD 故四边形 AFBD 是平行四边形 点评 本题考查了平行四边形的性质和判定 全等三角形的性质和判定 关键是推出 AF DC BD 12 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC DE AB AD DC BC 求证 1 DE DC 2 DEC 是等边三角形 考点 等腰梯形的性质 等边三角形的判定 平行四边形的判定与性质 5430327 分析 1 证出平行四边形 ABED 推出 DE AB 即可推出答案 2 根据 BE AD AD DC BC BE EC BC 推出 DC EC 即可证出答案 解答 证明 1 AD BC DE AB 四边形 ABED 是平行四边形 DE AB AB DC DE DC 2 证明 BE AD AD DC BC BE EC BC DC EC 由 1 知 DE DC DE DC EC DEC 是等边三角形 点评 本题主要考查对等腰梯形的性质 平行四边形的性质和判定 等边三角形的判定等知识点的理解和掌握 证出平行四边形 ABED 和 DC EC 是解此题的关键 13 已知 如图 E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AE CF 求证 1 ADF CBE 2 连接 DE BF 试判断四边形 DEBF 的形状 并说明理由 11 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 1 根据平行四边形的性质对边平行且相等得到 AD 与 BC 平行且相等 由 AD 与 BC 平行得到内错角 DAF 与 BCA 相等 再由已知的 AE CF 根据 SAS 得到 ADF 与 CBE 全等 2 由 1 证出的全等 根据全等三角形的性质得到 DF 与 EB 相等且 DFA 与 BEC 相等 由内错角相 等两直线平行得到 DF 与 BE 平行 根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形 DEBF 的形状 解答 证明 1 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC 1 分 DAF BCA 2 分 AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 3 分 ADF CBE 4 分 2 四边形 DEBF 是平行四边形 5 分 ADF CBE DFA BEC DF BE DF BE 四边形 DEBF 是平行四边形 6 分 点评 本题综合考查了全等三角形的判断与性质 以及平行四边形的判断与性质 其中第 2 问是一道先试验猜想 再探索证明的新型题 其目的是考查学生提出问题 解决问题的能力 这类几何试题将成为今后中考的热 点试题 14 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E F G H 分别在 AB BC CD AD 边上且 AE CG AH CF 求证 四边形 EFGH 是平行四边形 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 易证得 AEH CGF 从而证得对应边 BE DG DH BF 故有 BEF DGH 根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形而得证 解答 证明 在平行四边形 ABCD 中 A C 平行四边形的对边相等 又 AE CG AH CF 已知 AEH CGF SAS EH GF 全等三角形的对应边相等 在平行四边形 ABCD 中 AB CD AD BC 平行四边形的对边相等 AB AE CD CG AD AH BC CF 即 BE DG DH BF 又 在平行四边形 ABCD 中 B D BEF DGH GH EF 全等三角形的对应边相等 四边形 EFGH 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 12 点评 本题考查了平行四边形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 平行四边形的判定方法共有五种 应用 时要认真领会它们之间的联系与区别 同时要根据条件合理 灵活地选择方法 15 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 是对角线 AC 上的点 且 AE CF 1 猜想探究 BE 与 DF 之间的关系 平行且相等 2 请证明你的猜想 考点 平行四边形的判定与性质 5430327 分析 1 BE 平行且等于 DF 2 连接 BD 交 AC 于 O 根据平行四边形的性质得出 OA OC OD OB 推出 OE OF 得出平行四边 形 BEDF 即可 解答 1 解 BE 和 DF 的关系是 BE DF BE DF 故答案为 平行且相等 2 证明 连接 BD 交 AC 于 O ABCD 是平行四边形 OA OC OB OD AE CF OE OF BFDE 是平行四边形 BE DF BE DF 点评 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用 主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行 推理 题型较好 通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力 同时培养了学生的观察能力和猜想能 力 16 如图 E F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点 且 BE DF 求证 1 2 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 由三角形全等 ABE CDF 得到 BE DF 所以四边形 BFDE 是平行四边形 根据对角相等即可得 证 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 已知 13 AB CD AB CD 平行四边形的对边平行且相等 BAE DCF 两直线平行 内错角相等 BE DF 已知 BEF DFE 两直线平行 内错角相等 AEB CFD 等量代换 ABE CDF AAS BE DF 全等三角形的对应边相等 BE DF 四边形 BEDF 是平行四边形 对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 2 平行四边形的对角相等 点评 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定 需要熟练掌握并灵活运用 平行四边形的判定定理 对边平行且相等的四边形是平行四边形 17 如图 已知 E F 分别是 ABCD 的边 AB CD 的中点 求证 ED BF 考点 平行四边形的判定与性质 5430327 分析 根据平行四边形的性质得到 AB CD AB CD 根据线段的中点的定义得到 EB AB DF CD 即 BE DF BE DF 得到平行四边形 EBFD 根据平行四边形的性质即可得到答案 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AB CD E F 分别是 ABCD 的边 AB CD 的中点 EB AB DF CD BE DF BE DF 四边形 EBFD 是平行四边形 ED BF 点评 本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握 能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是 解此题的关键 18 如图 BD 是 ABCD 的对角线 ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F 求证 四边形 DEBF 为平行四边形 考点 平行四边形的判定与性质 角平分线的定义 5430327 分析 根据平行四边形性质和角平分线定义求出 FDB EBD 推出 DF BE 根据平行四边形的判定判断即可 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD CDB ABD DF 平分 CDB BE 平分 ABD 14 FDB CDB EBD ABD FDB EBD DF BE AD BC 即 ED BF 四边形 DEBF 是平行四边形 点评 本题考查了角平分线定义 平行四边形的性质和判定等的应用 关键是推出 DF BE 主要检查学生能否运 用定理进行推理 题型较好 难度适中 19 如图 在 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 已知点 E F 分别为 AO OC 的中点 证明 四边形 BFDE 是平行四边形 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 5430327 分析 利用 平行四边形的对角线互相平分 的性质推知 OA OC OB OD 然后由已知条件 点 E F 分别为 AO OC 的中点 可以证得 OE OF 最后根据平行四边形的判定定理 对角线相互平分的四边形为平行四 边形 即可证得结论 解答 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 OA OC OB OD 平行四边形的对角线互相平分 又 点 E F 分别为 AO OC 的中点 OE OF 四边形 BFDE 是平行四边形 对角线相互平分的四边形为平行四边形 点评 本题考查了平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定方法共有五种 应用时要认真领会它们之间的联 系与区别 同时要根据条件合理 灵活地选择方法 20 如图所示 A E F C 在一条直线上 AE CF 过 E F 分别作 DE AC BF AC 若 AB CD 可以得到 BD 平分 EF 为什么 说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 垂线 直角三角形全等的判定 平行四边形的判定与性质 5430327 分析 求出 AFB CED 90 DE BF 推出 AF CE 连接 BE DF 根据 HL 证 Rt ABF Rt CDE 推出 DE BF 得出平行四边形 DEBF 根据平行四边形的性质推出即可 解答 解 BD 平分 EF 理由是 证法一 连接 BE DF DE AC BF AC AFB CED 90 DE BF AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 15 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 Rt ABF Rt CDE DE BF DE BF 四边形 DEBF 是平行四边形