高中数学竞赛讲义 不等式的证明 新人教A版

用心 爱心 专心 14 14 不等式的证明不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位 由于其证明的困难性和方法的多样性 而成为竞赛和高 考的热门题型 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归 而变形的依据 是不等式的性质 不等式的性分类罗列如下 不等式的性质 0 0 babababa这是不等式的定义 也是比较法 的依据 对一个不等式进行变形的性质 1 abba 对称性 2 cbcaba 加法保序性 3 0 0 bcaccbabcaccba 4 0Nnbababa nnnn 对两个以上不等式进行运算的性质 1 cacbba 传递性 这是放缩法的依据 2 dbcadcba 3 dbcadcba 4 0 0bcad d b c a cdba 含绝对值不等式的性质 1 0 22 axaaxaax 2 0 22 axaxaxaax 或 3 bababa 三角不等式 4 2121nn aaaaaa 证明不等式的常用方法有 比较法 放缩法 变量代换法 反证法 数学归纳法 构造 函数方法等 当然在证题过程中 常可 由因导果 或 执果索因 前者我们称之为综合法 后者称为分析法 综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略 分析问题时 我们往往 用分析法 而整理结果时多用综合法 这两者并非证明不等式的特有方法 只是在不等式证 明中使用得更为突出而已 此外 具体地证明一个不等式时 可能交替使用多种方法 用心 爱心 专心 例题讲解 1 0 cba求证 6 abcaccacbbcbaab 2 0 cba 求证 3 cba cba abccba 3 222 333222222 ab c ca b bc a b ac a cb c ba cbaRcba 求证 4 设 21 Naaa n 且各不相同 求证 32 1 3 1 2 1 1 22 3 2 2 1 n aaa a n n 5 利用基本不等式证明 222 cabcabcba 用心 爱心 专心 6 已知 0 1 baba求证 8 1 44 ba 7 利用排序不等式证明 nn AG 8 证明 对于任意正整数 R R 有 1 1 1 1 1 1 nn nn 9 n为正整数 证明 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 11 nn nnn n nn 用心 爱心 专心 例题答案 1 证明 abcaccacbbcbaab6 0 2 2 2 222 222222 bacacbcba abbacaccabbccba 6 abcaccacbbcbaab 评述 1 本题所证不等式为对称式 任意互换两个字母 不等式不变 在因式分解 或配方时 往往采用轮换技巧 再如证明cabcabcba 222 时 可将 22 ba cabcab 配方为 2 1 222 accbba 亦可利用 2 22 abba caacbccb2 2 2222 3 式相加证明 2 本题亦可连用两次基本不等式获 证 2 分析 显然不等式两边为正 且是指数式 故尝试用商较法 不等式关于cba 对称 不妨 Rcacbbacba 则 且 c b b a c a 都大于等于 1 1 333 3333333 2 3 2 3 2 3 cacbba bcaccbabcababaccabcba cba cba c a c b b a ccbbaacba abc cba 评述 1 证明对称不等式时 不妨假定n个字母的大小顺序 可方便解题 2 本题可作如下推广 若 n a n aa i aaania 21 21 2 1 0则 21 21 n aaa n n aaa 3 本题还可用其他方法得证 因 abba baba 同理 caacbccb acaccbcb 另 cbacba cbacba 4 式相乘即得证 4 设 lglglg 0cbacba 则例 3 等价于 lglglglgabbabbaa 类似例 4 可证 lglglglglglglglglgacbbcaaccbbaccbbaa 事实上 一般地有 排序不等式 排序原理 用心 爱心 专心 设有两个有序数组 nn bbbaaa 2121 则 nnb ababa 2211 顺 序和 n jnjj bababa 21 21 乱序和 1111 bababa nnn 逆序和 其中njjj n 2 1 21 是的任一排列 当且仅当 n aaa 21 或 n bbb 21 时等号成立 排序不等式应用较为广泛 其证明略 它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数组的积的形式 如ccbbaaaccbbacbaRcba 222222333 时 c c b b a a a c c b b acba a c c b b a accbba 111111 222222 222 222 3 思路分析 中间式子中每项均为两个式子的和 将它们拆开 再用排序不等式证明 不妨设 abc cbacba 111 222 则 则 b c a b c a 111 222 乱序和 c c b b a a 111 222 逆序和 同理 b c a b c a 111 222 乱序和 c c b b a a 111 222 逆序和 两式相加再除以 2 即得原式中第一个不等式 再考虑数 组 abacbc cba 111 333 及 仿上可证第二个不等式 4 分析 不等式右边各项 22 1 i a i a i i 可理解为两数之积 尝试用排序不等式 设 nn aaabbb 2121 是的重新排列 满足 n bbb 21 又 1 3 1 2 1 1 222 n 所以 22 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3232n bbb b n aaa a nn 由于 n bbb 21 是互不相同的正整数 故 2 1 21 nbbb n 从而 nn bbb b n 1 2 1 1 32 22 3 2 2 1 原式得证 评述 排序不等式应用广泛 例如可证我们熟悉的基本不等式 22 abbaba 3 222333 abcabcacbbcacacbcbabaaccbbacba 5 思路分析 左边三项直接用基本不等式显然不行 考察到不等式的对称性 可用轮换的方 法 用心 爱心 专心 caacbccbabba2 2 2 223222 同理 三式相加再除以 2 即得证 评述 1 利用基本不等式时 除了本题的轮换外 一般还须掌握添项 连用等技巧 如 n n xxx x x x x x x 21 1 2 3 2 2 2 2 1 可在不等式两边同时加上 132 xxxx n 再如证 0 256 1 1 32233 cbacbacbcaba时 可连续使用基本不等 式 2 基本不等式有各种变式 如 2 2 22 2 baba 等 但其本质特征不等式两边的次数及 系数是相等的 如上式左右两边次数均为 2 系数和为 1 6 思路分析 不等式左边是a b的 4 次式 右边为常数 8 1 如何也转化为a b的 4 次 式呢 要证 8 1 44 ba即证 8 1 444 baba 评述 1 本题方法具有一定的普遍性 如已知 0 1 321 i xxxx求证 3 2 3 1 xx 3 1 3 3 x 右侧的 3 1 可理解为 3 1 3 321 xxx 再如已知0 321 xxx 求证 3221 xxxx 0 13 xx 此处可以把 0 理解为 2 321 8 3 xxx 当然本题另有简使证法 2 基本不等式实际上是均值不等式的特例 一般地 对于n个正数 21n aaa 调和平均 n n aaa n H 111 21 几何平均 n nn aaaG 21 算术平均 n aaa A n n 21 平方平均 2 22 2 2 1n n aaa Q 这四个平均值有以下关系 nnnn QAGH 其中等号当且仅当 n aaa 21 时成立 7 证明 令 2 1 ni G a b n i i 则1 21 n bbb 故可取0 21 n xxx 使得 用心 爱心 专心 1 1 1 3 2 2 2 1 1 x x b x x b x x b x x b n n n n n 由排序不等式有 n bbb 21 13 2 2 1 x x x x x x n 乱序和 n n x x x x x x 111 2 2 1 1 逆序和 n 2121 n n n n nn G n aaa n G a G a G a 即 评述 对 n aaa 1 1 1 21 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得 nn AG 8 分析 原不等式等价于 1 1 1 1 1 1 nn n n 故可设法使其左边转化为 n 个数的几何 平均 而右边为其算术平均 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn n nnnnn n n n n n 个 评述 1 利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化 使其两边与均值不等 式形式相近 类似可证 1 1 1 1 1 21 nn nn 2 本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证 但较繁 9 证明 先证左边不等式 n n n n nn nn 1 3 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 11 n n n n n 1 3 1 2 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 3 1 1 2 1 11 1 1 1 3 4 2 3 2 1 n n n n n 用