高中数学教学论文 发挥典型习题功能培养发散思维能力

1 发挥典型习题功能发挥典型习题功能 培养发散思维能力培养发散思维能力 心里学表明 发散思维是创造性思维中的一种 它是从不同角度和方法去 解决某一问题的前提 作为一个数学教师 怎样去培养学生的发散思维能力呢 莫过于在典型习题的 选 挖 上下功夫 也就是精选习题 挖掘习题中蕴含 的数学思想方法 知识结构 通过对习题展开全方位的探索 从中培养学生的 发散思维能力 下面以两道习题为例 进行一次有益尝试 一 典型习题 例 1 求证 A 3 1 B 2 3 C 8 5 三点共线 思路一 不难作出图形 由图可知 要证三点共线 只要证两线段长度之 和等于第三条线段的长度 依两点间距离公式即可得证 思路二 由分比知识 看是否有一点是其它两点确定的线段的分点 事实 如此 设点 B 2 y 在直线 AC 上 则点 B 分所成的比 AC BC AB 即点 B 与 B 重合 故三点 A B C 在同一直 28 32 2 1 5 1 2 1 1 2 3Y 线上 思路三 可通过从同一点 如 A 点 出发 证两直线的斜率相等 从而得 三点共线 5 4 38 15 AC K 5 4 32 13 AB K 且从同一点 A 出发 故 A B C 三点共线 ACAB KK 思路四 通过求某点在其它两点确定的直线上 由 A C 两点确定的直线方程是即 4x 5y 7 0 又点 B 2 38 15 3 1 x y 3 满足直线 AC 的方程 A B C 三点共线 思路五 通过求某点到其它两点所确定的直线的距离 d 0 从而有三点共 线 由四可知 经过 A C 两点的直线方程为 4x 5y 7 0 设点 B 到 AC 直线 的距离为 d 由点到直线的距离公式得 故0 5 4 7 3 5 2 4 22 d A B C 三点共线 思路六 假设三点不共线 只要证某两直线的夹角这 0 从而得三点共线 设直线 AB BC 的夹角为 5 4 32 13 AB K 5 4 28 35 BC K 0 又 0 BCAB BCAB KK KK 1 tan 5 4 5 4 5 4 5 4 1 2 0 故 A B C 三点共线 思路七 求出经过两点 A B 和 A C 的直线方程 由两直线重合的充要 条件 可知三点共线 因为经过 A B 的直线方程是 4x 5y 7 0 经过 A C 的直线方程是 4x 5y 7 0 由两直线重合的充要条件知 AB AC 两直线重合 即 A B C 三点共 线 思路八 利用复数知识 求得 A B C 三点在复平面内所对应的复数分别 为 Z1 3 i Z2 2 3i Z3 8 5i 它们对应的向量分别为 1 OZ 2 OZ 3 OZ 则 BA 对应向量的复数为 5 4i AC 对应向量的复数也为 5 4i 由向量相同 得 A B C 三点共线 由此题的解法可见 引导学生参与全方位探索 是培养学生发散思维的有 效途径 久而久之 学生的解题能力就会得到提高 例 2 求函数的值域xxy 1 求此函数的值域比较难 应多观察 多联想 多试探 才能收到预期效果 由于此函数解析式的右边为两根式之和 须从根号入手 思路一 通过观察 不难发现 y 0 0 x 1 两边平方并整理 得 因而有 y 1 xxy 22 21 两边再平方 得 4 x2 4 x y2 1 2 0 由 0 得 1 y 故得原函数的值域为 1 22 思路二 易知 y 0 0 x 1 两边平方整理得 4 1 2 1 21 22 xy 0 x 1 0 4 1 2 1 2 x 4 1 原函数的值域是 1 2 如果再深入一层观察 联想 探途径 还有 思路三 易知 0 x 1 令 x sin2t 则原函数可化为 y sin t t 0 2 4 2 0 t t 2 4 4 4 3 故原函数的值域是 1 2 思路四 易知 0 x 1 x 0 1 x 1 当 x 0 或 x 1 时取等号 xxy 11 1 22 xx 3 2 当 x 时取等号 xxy 1 2 1 22 xx 2 2 1 故原函数的值域为 1 2 思路五 令 m n 则 m2 n2 1 m 0 n 0 y m n xx 1 在直角坐标系 mon 内 若直线 m n y 0 y 为参数 与圆 m2 n2 1 m 0 n 0 有公共点 则得 y 的取值范围是 1 y 即原函2 数的值域为 1 2 二 小结与启示 通过上以两道题的解答 不难发现 第一题的每一种思路较简单 但涉及 到的知识面较广 几乎把 解析几何 中的直线部分知识都用上了 也沟通了 各知识点的联系 拓宽了学生解题的思路 第二题的解法思路较抽象 既要启 发学生从宏观上的观察 又要从微观上入手 既要以被发现的问题为突破口 也要把思维视角进一步放开 帮助