高中数学《命题及其关系》文字素材1 新人教A版选修1-1

用心 爱心 专心1 浅谈命题的否定及其应用浅谈命题的否定及其应用 简易逻辑的引入 给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具 否命题的应用及处 理常被同学们忽视 下面就解题过程中 对常见命题否定的理解及应用问题举例如下 一 常见语句的否定一 常见语句的否定 联言命题 1 p且 2 p且 且 n p 的否定是 1 p或 2 p或 或 n p 选言命题 1 p或 2 p或 或 n p 的否定是 1 p且 2 p且 且 n p 都是 所有的 的否定是 不都是 存在一个 而不是 都不是 至少有一个 n个 的否定是 一个也没有 至多有n 1 个 至多有一个 n个 的否定是 至少有两个 至少有n 1 个 对任意x A 使P x 成立 的否定是 存在x A 使P x 不成立 存在x A 使P x 成立 的否定是 对任意x A 使P x 不成立 二 常见否定命题的应用二 常见否定命题的应用 例例 1 1 写出下列命题的否命题 1 有些三角形是直角三角形 2 所有的质数都是奇数 分析分析 1 学生常易错误回答为 有些三角形不是直角三角形 这是一个存在性命题 存 在量词 有些 可以用 存在一个 至少有一个 某个 等词代替 故该命题的否命题为 所有三角形都不是直角三角形 本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的 真假 2 学生常易错误回答为 所有质数都不是奇数 这是一个全称命题 全称量词 所有的 可以用 任意的 对于一切 每一个 等词代替 故该命题的否命题为 存在一 个质数不是奇数 或 所有的质数不都是奇数 例例 2 2 若 22 f xxaxaa 在 1 1 上至少存在一点C使 0f C 求实数a 的取值范围 解 解 该题可利用其否命题来解 该命题的否命题是 22 f xxaxaa 在 1 1 不 存在点C使 0f C 即对任意x 1 1 f x 0 有 10 10 f f 解之得112aa 或 故实数a的取值范围为 12 1a 注注 利用否命题来求解这一类问题 可以简化运算步骤 回避分类讨论 用心 爱心 专心2 例例 3 3 设数列 n a n b是公比不相等的两个等比数列 nnn cab 证明 数列 n c不是等比数列 分析分析 以下是一部份学生的解法 设数列 n a n b是公比分别为p q p q 则 2 2 21122222211 11111 1 2 nnnnnn nnn caba pbqa pb qab pq 而 22 111111 nnnn nn cca pbqa pbq 222222222222 11111 1 nnnnnn a pa pb qa pab pqpq p q 22 1 1 2 0pqpq ab 2 11nnn ccc 故数列 n c不是等比数列 评析评析 n c是等比数列 的含义是数列 n c中如果从第二项起每一项与前一项的比 均等于同一个常数 则称 n c是等比数列 要证明数列 n c不是等比数列 只需破坏命题中 的 都是 即可 即需证明存在连续三项 11 nnn cc c 使 2 11nnn ccc 为此只需首先验证 2 21 3 cc c 而标准答案就是如此 本题的证明主要考察学生对否命题的理解 例例 4 4 有三位运动员参加跳高比赛 他们能顺利跳过某个高度的概率依次是 2 3 1 2 2 5 求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率 解解 三人中至少有一人跳过这一高度 的对立事件 命题的否定 是 三人中没有一个 跳过这一高度 由于 3 个人跳高是相互独立事件 故所求概率为 21219 11111 3251010 p 例例 5 5 已知 A 2 2 240 x xaxaxR B 22 23 230 x xaxaaxR 若AB 求实数a的取值范围 分析分析 由题意 AB 即两个方程 2 2 240 xaxa 与 22 23 230 xaxaa 中 至少有一个方程有实数解 设全集为 I R 所求实数a的 集合为A 则使上述两个方程均设无实数解的实数a的集合为 I AB 用心 爱心 专心3 由 2 2 240 xaxa 得 2 2 1 24 24 412aaaa 由 22 23 230 xaxaa 得 2 22 2 234 23 4821aaaaa 2 2 4120 48210 aa aa 解得 7 6 2 a 或 3 2 2 a 即当 7 6 2 a 或 3 2 2 a 时 AB 所以所求AB 的a的取值范围是 7 3 6 2