高中数学竞赛讲义 几何变换 新人教A版

用心 爱心 专心 1 22 22 几何变换几何变换 一 平移变换 1 定义 设PQ是一条给定的有向线段 T 是平面上的一个变换 它把平面图形 F 上任一点X变到 X 使得PQXX 则 T 叫做沿有向线段PQ的平移变换 记为 XX PQT 图形 FF PQT 2 主要性质 在平移变换下 对应线段平行且相等 直线变为直线 三角形变为 三角形 圆变为圆 两对应点连线段与给定的有向线段平行 共线 且相等 二 轴对称变换 1 定义 设l是一条给定的直线 S是平面上的一个变换 它把平面图形 F 上任 一点X变到 X 使得X与 X关于直线l对称 则S叫做以l为对称轴的轴对称变换 记为 XX lS 图形 FF lS 2 主要性质 在轴对称变换下 对应线段相等 对应直线 段 或者平行 或者 交于对称轴 且这两条直线的夹角被对称轴平分 三 旋转变换 1 定义 设 是一个定角 O 是一个定点 R 是平面上的一个变换 它把点 O 仍 变到 O 不动点 而把平面图形 F 上任一点X变到 X 使得OXOX 且 XOX 则 R 叫做绕中心 O 旋转角为 的旋转变换 记为 XX OR 图 形 FF OR 其中0 时 表示 XOX 的始边OX到终边X O 的旋转方向为顺时针方向 0 时 为逆时针方向 2 主要性质 在旋转变换下 对应线段相等 对应直线的夹角等于旋转角 四 位似变换 1 定义 设 O 是一个定点 H 是平面上的一个变换 它把平面图形 F 上任一点 X变到 X 使得OXkOX 则 H 叫做以 O 为位似中心 k为位似比的位似变换 记为 XX kOH 图形 FF kOH 用心 爱心 专心 2 其中0 k时 X在射线OX上 此时的位似变换叫做外位似 0 k时 X在射线 OX的反向延长线上 此时的位似变换叫做内位似 2 主要性质 在位似变换下 一对位似对应点与位似中心共线 一条线上的点变 到一条线上 且保持顺序 即共线点变为共线点 共点线变为共点线 对应线段的 比等于位似比的绝对值 对应图形面积的比等于位似比的平方 不经过位似中心的 对应线段平行 即一直线变为与它平行的直线 任何两条直线的平行 相交位置关 系保持不变 圆变为圆 且两圆心为对应点 两对应圆相切时切点为位似中心 例题讲解 1 P 是平行四边形ABCD内一点 且PCBPAB 求证 PDAPBA 2 风平三角形 中 60 2 BOCAOBCCBBAA 求证 3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中 试求周长最小的四边形 3 COABOCAOB SSS 求证于交 连接于交 连接 的两弦点引圆的中点 过的弦圆 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP 4 用心 爱心 专心 3 的周长最小 使得 上各求一点 及射线内一个定圆 试在圆是给定锐角圆 PQRR QPCBCAoACBo 5 ADRPQRPQ PQRDBCADAABC 2 90 6 求证 是它的任一内接三角形 于 中 7 MQMPMQMP BCMAQCAPBACABABC 的中点 求证 是 直角三角形为斜边分别向外作等腰 的边以 120 8 为费马点求证 内任意一点 是内一点 是已知 OOCOBOAPCPBPA ABCPCOABOCAOBABCO 三线也相交于一点 求证 三线交于一点 设 垂线六个点分别作所在边的 过上述 分别交于点 的三边与圆 212 121212121 212121 9 cba Dcbaccbbaa CCBBAAABCABCABCO ONOMNMACABPO PBCODOABCAD 求证 于 分别交 连接并延长于的切线交作圆的直径 过的外接圆是 10 用心 爱心 专心 4 例题答案 例 1 P 是平行四边形ABCD内一点 且PCBPAB 求证 PDAPBA 例 2 风平三角形 中 60 2 BOCAOBCCBBAA 求证 例 3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中 试求周长最小的四边形 4376 85 21 74 82 63 51 即 四点共圆 故 得由已知知 都是平行四边形 由则 分析 作变换 CPDP CBPPADPPBCADPPDCPABP DCPABP ADT 3 COABOCAOB SSS 三角形 为等边共线 共线 共线 记为 重合 和 则 分析 作变换 OPQPBOQAOQRPRRR RRPRBBOCAQROCA BBTAAT 3 COABOCAOB SSS 用心 爱心 专心 5 形时 周长最小 故当四边形为平行四边 同理可得 的中点 分别为 的中点且是 交于 平行四边形 延长 是一个符合条件的 则 令 的中点 分析 取 DCBADCAB BCDABCBCBGBCAD CGAGCFECFCCCEFACE GCCAF DBCACAACFEBDAC EFT 2 评注 当已知条件分散 尤其是相等的条件分散 而又不容易找出证明途径 或 题目中有平行条件时 将图形的某一部分施行平移变换 常常十分凑效 PMPNMPFPFNPENPDEMPF FDMP EDFEFFEDFFPNMDFPMF ABFFGHABGHFF PFPFPMFFPNPBPAPFPF PFPFGHPoFFFPGH GHSGHS GHS 180 四点共圆 又 又圆显然的直径 为过 分析 设 2 11 22 曲线系知识解析法证明 利用二次 则中点的距离为到 已知 于交 连接 作两条相交弦 过上的一点内一弦的圆已知半径 评注 一般结论为 rR a PNPM aABPrOPNMABEDCFEFCD PPABoR 的周长最小 使得 上各求一点 及射线内一个定圆 试在圆是给定锐角 圆 例 PQRR QPCBCAoACBo 5 求证于交 连接于交 连接 的两弦点引圆的中点 过的弦圆 例 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP 4 用心 爱心 专心 6 顶点 为所求的三角形的三个 则 于 分别交 连接 令 交圆周于连接 做法 的周长为最小 于是有为最小 从而取最小值时 当 理 是该圆直径 由正弦定四点共圆 则于交 于交设 角形 的情况下周长最小的三是在取定 显然 于 分别交 连接 令上任取一点 分析 在圆 RQP RQCBCAPPPPPPPOC RQPEFCP ECFCPEFCPPFCE EFPPPRRQQPFCBPPECAPP PRQPRQ CBCAPPPPPPPo CBSCAS CBSCAS 212 1 1100 000 210111102010 011011 212 01 00 sin 2 评注 如果题设中有角平分线 垂线 或图形是等腰三角形 圆等轴对称图形 可以将图形或其部分进行轴对称变换 此外 也可以适当选择对称轴将一些线段的 位置变更 以便于比较它们之间的大小 ADRPQRPQ PQRDBCADAABC 2 906 求证 是它的任一内接三角形 于 中 例 7 MQMPMQMP BCMAQCAPBACABABC 的中点 求证 是 直角三角形为斜边分别向外作等腰 的边 以 例 ADRPQRPQ ADAPAPAPRPQRQPRQPP PPAAAPPAPPA RPQRQPRPQRPQ APAPAPQPPQRPRPPPPP ACSABS 2 22 1802 90 的内部 上或在凸四边形点在线段又 则 分析 设 且而 显然 都是等腰三角形 则 使到 延长 使到 分析 延长 MQMPMQMPBFMQECPM BFECBFECFCBE CAFBAE CQQFFCQBPPEEBP ARAR 2 1 2 1 90 90 用心 爱心 专心 7 OCOBOAPCPBPA COOOAOACCPPPAP COOA OBOBOCCBO BPCCBPBOCCBO PBPPOBOO BPPBOO PPOOPPOOCC BRBRBR 即 四点共线 由于 显然 都是正三角形 则 连接 分析 将 180120 60 60 60 1208 为费马点求证 内任意一点 是内一点 是 已知 例 OOCOBOAPCPBPA ABCPCOABOCAOBABCO 三线也相交于一点 求证 三线交于一点 设 垂线六个点分别作所在边的 过上述 分别交于点 的三边与 圆 例 212 121212121 212121 9 cba Dcbaccbbaa CCBBAAABCABCABCO 三线也相交于一点 即 的公共点 也是像下的像在变换的公共点 同理 成中心对称 关于圆心 分析 212 212121 2 180 12 180 1 2 180 121 180 0 cba cbaDRDcba ccbb aaOaa OROR OR ONOM NOBOBNOBCG ACGOACBGBOACB