高中数学：4.3《 空间直角坐标系》教案（人教A版必修2）

用心 爱心 专心 空间直角坐标系 教材分析教材分析 这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广 是以后学习 空间向 量 等内容的基础 通过建立空间直角坐标系 可以将空间内任一点用有序数组来表示 反过来 任一有序数组就对应一个点 这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示 在 空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样 是提供一个度量几何对象的方 法 因此 研究空间图形就可以代数化 实现了形向数的转化 将数与形紧密地结合起 来 这节课学完后 如把几何体放入空间直角坐标系中来研究 几何体上的点就有了坐 标表示 一些题目如两点间距离 异面直线成的角 二面角的平面角等就可借助于空间 向量来解答 所以 这节课对于沟通高中各部分知识 完善学生的认知结构 起到了很 重要的作用 教学目标教学目标 1 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法 进一步体会数学 概念 方法产生和发展的过程 学会科学的思维方法 2 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义 掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或 由坐标确定其在空间直角坐标系内的点 认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系 3 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力 任务分析任务分析 点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程 学生在这个方面还没有形成清晰的 认识 教学时应充分类比以往点在直线 点在平面内位置的确定方式 通过实例 激发 学生的学习兴趣与探索欲望 充分发挥学生的主体作用 引导学生顺理成章地得出通过 建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置 要特别强调点与坐标的一 一对应关系 来强化对点的坐标的理解 围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一 教学重点 通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐 标这一过程 以巩固学生对新知识的理解 实现从感性认识到理性认识的飞跃 教学设计教学设计 一 问题情景一 问题情景 1 确定一个点在一条直线上的位置的方法 2 确定一个点在一个平面内的位置的方法 例 如图 26 1 要在一块长 10cm 宽 5cm 的铁板上钻一个孔 若孔中心到铁板左边为 2cm 到下边为 4cm 铁板摆放位置已定 问孔中心的位置是否确定 用心 爱心 专心 3 如何确定一个点在三维空间内的位置 例 如图 26 2 在房间 立体空间 内如何确定电灯位置 在学生思考讨论的基础上 教师明确 确定点在直线上 通过数轴需要一个数 确定点 在平面内 通过平面直角坐标系需要两个数 那么 要确定点在空间内 应该需要几个 数呢 通过类比联想 容易知道需要三个数 要确定电灯的位置 知道电灯到地面的距 离 到相邻的两个墙面的距离即可 此时学生只是意识到需要三个数 还不能从坐标的角度去思考 因此 教师在这儿要 重点引导 教师明晰 在地面上建立直角坐标系 xOy 则地面上任一点的位置只须利用 x y 就可确 定 为了确定不在地面内的电灯的位置 须要用第三个数表示物体离地面的高度 即需 第三个坐标 z 因此 只要知道电灯到地面的距离 到相邻的两个墙面的距离即可 例 如 若这个电灯在平面 xOy 上的射影的两个坐标分别为 4 和 5 到地面的距离为 3 则 可以用有序数组 4 5 3 确定这个电灯的位置 如图 26 3 这样 仿照初中平面直角坐标系 就建立了空间直角坐标系 O xyz 从而确定了空间点 的位置 二 建立模型二 建立模型 1 在前面研究的基础上 先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括 然后由教师给出准 确的定义 用心 爱心 专心 从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 这样就建立了空间直角 坐标系 O xyz 点 O 叫作坐标原点 x 轴 y 轴 z 轴叫作坐标轴 这三条坐标轴中每 两条确定一个坐标平面 分别称为 xO 平面 yO 平面 zOx 平面 教师进一步明确 1 在空间直角坐标系中 让右手拇指指向 x 轴的正方向 食指指向 y 轴的正方向 若 中指指向 z 轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系 课本中建立的坐标系都是右手坐 标系 2 将空间直角坐标系 O xyz 画在纸上时 x 轴与 y 轴 x 轴与 z 轴成 135 而 y 轴 垂直于 z 轴 y 轴和 z 轴的单位长度相等 但 x 轴上的单位长度等于 y 轴和 z 轴上的单 位长度的 这样 三条轴上的单位长度直观上大致相等 2 空间直角坐标系 O xyz 中点的坐标 思考 在空间直角坐标系中 空间任意一点 与有序数组 x y z 有什么样的对应关 系 在学生充分讨论思考之后 教师明确 1 过点 A 作三个平面分别垂直于 x 轴 y 轴 z 轴 它们与 x 轴 y 轴 z 轴分别交 于点 P Q R 点 P Q R 在相应数轴上的坐标依次为 x y z 这样 对空间任意点 A 就定义了一个有序数组 x y z 2 反之 对任意一个有序数组 x y z 按照刚才作图的相反顺序 在坐标轴上 分别作出点 P Q R 使它们在 x 轴 y 轴 z 轴上的坐标分别是 x y z 再分别过这 些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面 这三个平面的交点就是所求的点 A 这样 在空间直角坐标系中 空间任意一点 A 与有序数组 x y z 之间就建立了一 种一一对应关系 A x y z 教师进一步指出 空间直角坐标系 O xyz 中任意点 A 的坐标的概念 对于空间任意点 A 作点 A 在三条坐标轴上的射影 即经过点 A 作三个平面分别垂直于 x 轴 y 轴和 z 轴 它们与 x 轴 y 轴 z 轴分别交于点 P Q R 点 P Q R 在相应 数轴上的坐标依次为 x y z 我们把有序数组 x y z 叫作点 A 的坐标 记为 A x y z 如图 26 4 三 解释应用三 解释应用 例 例 题 题 1 在空间直角坐标系 O xyz 中 作出点 P 5 4 6 用心 爱心 专心 注意 在分析中紧扣坐标定义 强调三个步骤 第一步从原点出发沿 x 轴正方向移动 5 个单位 第二步沿与 轴平行的方向向右移动 4 个单位 第三步沿与 z 轴平行的方向向 上移动 6 个单位 如图 26 5 2 1 在空间直角坐标系中 坐标平面 xOy xOz yOz 上点的坐标有什么特点 2 在空间直角坐标系中 x 轴 y 轴 z 轴上点的坐标有什么特点 解 1 xOy 平面 xOz 平面 yOz 平面内的点的坐标分别形如 x y 0 x 0 z 0 y z 2 x 轴 y 轴 z 轴上点的坐标分别形如 x 0 0 0 y 0 0 0 z 3 已知长方体 ABCD A B C D 的边长 AB 12 AD 8 AA 5 以这个长方体的顶 点 A 为坐标原点 射线 AB AD AA 分别为 x 轴 y 轴和 z 轴的正半轴 建立空间直 角坐标系 求这个长方体各个顶点的坐标 注意 此题可以由学生口答 教师点评 解 A 0 0 0 B 12 0 0 D 0 8 0 A 0 0 5 C 12 8 0 B 12 0 5 D 0 8 5 C 12 8 5 讨论 若以 C 点为原点 以射线 CB CD CC 方向分别为 x y z 轴的正半轴 建立 空间直角坐标系 那么各顶点的坐标又是怎样的呢 得出结论 建立不同的坐标系 所得的同一点的坐标也不同 练 练 习 习 1 在空间直角坐标系中 画出下列各点 A 0 0 3 B 1 2 3 C 2 0 4 D 1 2 2 2 已知 长方体 ABCD A B C D 的边长 AB 12 AD 8 AA 7 以这个长方体的 顶点 B 为坐标原点 射线 AB BC BB 分别为 x 轴 y 轴和 z 轴的正半轴 建立空间直 角坐标系 求这个长方体各个顶点的坐标 3 写出坐标平面 yOz 上 yOz 平分线上的点的坐标满足的条件 用心 爱心 专心 四 拓展延伸四 拓展延伸 1 分别写出点 1 1 1 关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标 2 设 为任意实数 相应的所有点 P 1 2 z 的集合是什么图形 3 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去 点点 评评 这篇案例主要采用启发式教学方法 通过激发学生学习的求知欲望 使学生主动参与教 学实践活动 首先 为了使学生比较顺利地实现从线到平面 再从平面到空间的变化 即从一维到二维 再从二维到三维向量的变化 采用了类比的数学教学手段 顺利地引 导学生实现了这一变化 同时引起了学生的兴趣 在整个教学过程中 内容由浅入深 环环相扣 不仅使学生在学习过程中了解了知识的 发生 发展的过程 也使学生尝到