高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 第二课时第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 一 教学目标 1 知识与技能 1 了解空间中两条直线的位置关系 2 理解异面直线的概念 画法 培养学生的空间想象能力 3 理解并掌握公理 4 4 理解并掌握等角公理 5 异面直线所成角的定义 范围及应用 2 过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识 3 情感 态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性 提高学生的学习兴趣 二 教学重点 难点 重点 1 异面直线的概念 2 公理 4 及等角定理 难点 异面直线所成角的计算 三 教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课导入 问题 在同一平面内 两 条直线有几种位置关系 空间 的两条直线还有没有其他位置 关系 师投影问题 学生讨论回答 生1 在同一平面内 两 条直线的位置关系有 平行与 相交 生2 空间的两条直线除 平行与相交外还有其他位置关 系 如教室里的电灯线与墙角 线 师 肯定 这种位置关 系我们把它称为异面直线 这 节课我们要讨论的是空间中直 线与直线的位置关系 以旧导新 培养学生 知识的系 统性和学 生学习的 积极性 探索新知 1 空间的两条直线位置关 系 共面直线 异面直线 不同在任何一个平 面内 没有公共点 师 根据刚才的分析 空 间的两条直线的位置关系有以 下三种 相交直线 有且仅 有一个公共点 平行直线 在同一平面 内 没有公共点 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 同一平面内 没有公共点 用心 爱心 专心2 异面直线 不同在任何 一个平面内 没有公共点 随堂练习 如图所示 P50 16 是一个正 方体的展开图 如果将它还原 为正方体 那么 AB CD EF GH这四条线段所 在直线是异面直线的有 对 答案 4 对 分别是 HG 与 EF AB 与 CD AB 与 EF AB 与 HG 现在大家思考一下这三种位置 关系可不可以进行分类 生 按两条直线是否共面 可以将三种位置关系分成两类 一类是平行直线和相交直线 它们是共面直线 一类是异面 直线 它们不同在任何一个平 面内 师 肯定 所以异面直线 的特征可说成 既不平行 也 不相交 那么 不同在任何一 个平面内 是否可改为 不在 一个平面内呢 学生讨论发现不能去掉 任何 师 不同在任何一个平 面内 可以理解为 不存在一 个平面 使两异面直线在该平 面内 培养学生 分类的能 力 加深 学生对空 间的一条 直线位置 关系的理 解 1 公理 4 平行于同一 条直线的两条直线互相平行 2 定理 空间中如果两 个角的两边分别对应平行 那 么这两个角相等或互补 例 2 如 图所示 空 间四边形 ABCD中 E F G H 分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边 形 证明 连接BD 因为EH是 ABD的中位线 师 现在请大家看一看我 们的教室 找一下有无不在同 一平面内的三条直线两两平行 的 师 我们把上述规律作为 本章的第 4 个公理 公理 4 平行于同一条直 线的两条直线互相平行 师 现在请大家思考公理 4 是否可以推广 它有什么作 用 生 推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行 它可以用来证明两条直线平行 培养 学生观察 能力语言 表达能力 和探索创 新的意识 通过分析 和引导 培养学生 解题能力 用心 爱心 专心3 所以EH BD 且 1 2 EHBD 同理FG BD 且 1 2 FGBD 因为EH FG 且EH FG 所以 四边形EFGH为平行四边 形 师 肯定 下面我们 来看一个例子 观察图 在长方体ABCD A B C D 中 ADC与 A D C ADC 与 A B C 的两边分别对应 平行 这两组角的大小关系如 何 生 从图中可以看出 ADC A D C ADC A B C 180 师 一般地 有以下定理 这个定理可以用公理 4 证 明 是公理 4 的一个推广 我 们把它称为等角定理 师打出投影片让学生尝试 作图 在作图的基础上猜想平 行的直线并试图证明 师 在图中EH FG有怎样的 特点 它们有直接的联系吗 引导学生找出证明思路 探索新知 3 异面直线所成的角 1 异面直线所成角的概 念 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线 a a b b 我们把a 与b 所成的锐角 或直角 叫 做异面直线a与b所成的角 或 夹角 2 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的 角是直角 那么我们就说这两 条直线互相垂直 两条互相垂直 师讲述异面直线所成的角 的定义 然后学生共同对定义 进行分析 得出如下结论 两条异面直线所成角的 大小 是由这两条异面直线的 相互位置决定的 与点O的位 置选取无关 两条异面直线所成的角 0 2 因为点O可以任意选取 这就给我们找出两条异面直线 所成的角带来了方便 具体运 加深 对平面直 线所成角 的理解 培养空间 想象能图 力和转化 化归以能 力 用心 爱心 专心4 的异面直线a b 记作a b 例 3 如 图 已知正方 体ABCD A B C D 1 哪些棱所在直线与直 线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的 夹角是多少 3 哪此棱所在的直线与 直线AA 垂直 解 1 由异面直线的定义 可知 棱 AD DC CC DD D C B C 所在直线分别与直线BA 是异面直线 2 由BB CC 可知 B BA 为异面直线B A与 CC 的夹角 B BA 45 3 直线 AB BC CD DA A B B C C D D A 分别与直线 AA 垂直 用时 为了简便 我们可以把 点O选在两条异面直线的某一 条上 找出两条异面直线所成 的角 要作平行移动 作平行 线 把两条异面直线所成的 角转化为两条相交直线所成的 角 当两条异面直线所成的 角是直线时 我们就说这两条 异面直线互相垂直 异面直线 a和b互相垂直 也记作 a b 以后我们说两条直线互 相垂直 这两条直线可能是相 交的 也可能是不相交的 即 有共面垂直 也有异面垂直这 样两种情形 然后师生共同分析例题 随堂练习 1 填空题 1 如图 AA 是长方体 的一条棱 长方体中与AA 平 行的棱共有 条 2 如果 OA O A OB O B 那 么 AOB和 A O B 学生独立完成 答案 2 1 因为 BC B C 所以 B C A 是异面直线 A C 与BC所成的角 在 Rt A B C 中 A B 2 3 B C 2 3 所以 B C A 45 2 因为AA BB 所以 B BC 是异面直线 用心 爱心 专心5 答案 1 3 条 分别是 BB CC DD 2 相等 或互补 2 如图 已知长方体 ABCD A B C D 中 AB 2 3 AD 2 3 AA 2 1 BC和A C 所成的 角是多少度 2 AA 和BC 所成 的角是多少度 AA 和BB 所成的角 在 Rt BB C 中 B C AD 2 3 BB AA 2 所以BC 4 B BC 60 因此 异面直线AA 与 BC 所成的角为 60 归纳总结 1 空间中两条直线的位置 关系 2 平行公理及等角定理 3 异面直线所成的角 学生归纳 教师点评并完善 培养 学生归纳 总结能力 加深学生 对知识的 掌握 完 善学生知 识结构 作业2 1 第二课时 习案学生独立完成 固化知识 提升能力 附加例题 例 1 a b为异面直线 是指 a b 且a b a 面 b 面 且a b a 面 b 面 且 a 面 b 面 不存在面 使a 面 b 面 成立 上述结论中 正确的是 A 正确B 正确 用心 爱心 专心6 C 仅 正确D 仅 正确 解析 等价于a和b既不相交 又不平行 故a b是异面直线 等价于a b 不同在同一平面内 故a b是异面直线 故选 D 例 2 如果异面直线a与b所成角为 50 P为空间一定点 则过点P与a b所成的 角都是 30 的直线有且仅有 条 解析 如图所示 过定点P作a b的平行线 a b 因a b成 50 角 a 与b 也成 50 角 过P作 A PB 的平分线 取较小的角有 A PO B PO 25 APA A PO 过P作直线l与a b 成 30 角的直线有 2 条 例 3 空间四边形ABCD 已知AD 1 BD 3 且AD BC 对角线 BD 13 2 AC 3 2 求AC和BD所成的角 解析 取AB AD DC BD中点为E F G M 连 EF FG GM ME EG 则 MG 1 2 BC EM 1 2 AD AD BC