高中数学：2.1向量的概念与几何运算 学案 新人教A版必修4

第第 1 课时课时 向量的概念与几何运算向量的概念与几何运算 1 向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量 叫单位向量 叫平行向量 也叫共线向量 规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量 2 向量的加法与减法 求两个向量的和的运算 叫向量的加法 向量加法按 法则或 法则进行 加法满足 律和 律 求两个向量差的运算 叫向量的减法 作法是将两向量的 重合 连结两向量 的 方向指向 3 实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度与方向规定如下 a 当 0 时 a的方向与a的方向 当 0 时 a的方向与a的方向 当 0 时 a a a a b 共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 4 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一 平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使得 设 1 e 2 e是一组基底 a 2111 eyex b 2212 eyex 则a与b共线的充要条件是 例例 1 已知 ABC 中 D 为 BC 的中点 E 为 AD 的中点 设aAB bAC 求BE 解 BE AE AB 4 1 AB AC AB 4 3 a 4 1 b 变式训练变式训练 1 如图所示 D 是 ABC 边 AB 上的中点 则向量CD等于 A BC BA 2 1 B BC BA 2 1 典型例题典型例题 基础过关基础过关 A D BC C BC BA 2 1 D BC BA 2 1 解解 A 例例 2 已知向量 21 32eea 21 32eeb 21 92eec 其中 1 e 2 e不共线 求实数 使bac 解解 c a b 2 1 e 9 2 e 2 2 1 e 3 3 2 e 2 2 2 且 3 3 9 2 且 1 变式训练变式训练 2 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点 点 P 为平面上任意一点 求证 POPDPCPBPA4 证明 PA PC 2PO PB PD 2PO PA PB PC PD 4PO 例例 3 已知 ABCD 是一个梯形 AB CD 是梯形的两底边 且 AB 2CD M N 分别是 DC 和 AB 的中点 若aAB bAD 试用a b表示BC和MN 解 解 连 NC 则bADNC baCNABCNMCMN 4 1 4 1 abNBNCBC 2 1 变式训练变式训练 3 如图所示 OADB 是以向量OA a OB b为邻边的平行四边形 又BM 3 1 BC CN 3 1 CD 试用a b表示OM ON MN 解解 OM 6 1 a 6 5 b ON 3 2 a 3 2 b MN 2 1 a 6 1 b 例例 4 设a b是两个不共线向量 若a与b起点相同 t R t 为何值时 a tb 3 1 a b 三向量的终点在一条直线上 解 解 设 3 1 baabta R 化简整理得 0 3 1 1 3 2 bta 不共线与ba 2 1 2 3 0 3 01 3 2 tt 故 2 1 t时 3 1 babta 三向量的向量的终点在一直线上 变式训练变式训练 4 已知 OAa OBb OCc ODd OEe 设tR 如果 3 2 acbd et ab 那么t为何值时 C D E三点在一条直线上 解 解 由题设知 23 3 CDdcba CEectatb C D E三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k 使得CEkCD 即 3 32tatbkakb B OA D C N M 整理得 33 2 tk akt b 若 a b 共线 则t可为任意实数 若 a b 不共线 则有 330 20 tk tk 解之得 6 5 t 综上 a b 共线时 则t可为任意实数 a b 不共线时 6 5 t 1 认识向量的几何特性 对于向量问题一定要结合图形进行研究 向量方法可以解决几何 中的证明 2 注意O与 O 的区别 零向量与任一向量平行 3 注意平行向量与平行线段的区别 用向量方法证明 AB CD 需证AB CD 且 AB 与 CD 不共线 要证 A