高中数学 1.2任意角的三角函数教案4 新人教A版必修4

用心 爱心 专心 1 1 21 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 2 11 2 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 一一 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 2 理解任意角的三角函数不同的定义方法 3 了解如何利用与单位 圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值分别用正弦线 余弦线 正切 线表示出来 4 掌握并能初步运用公式一 5 树立映射观点 正确理解三角函数是以 实数为自变量的函数 2 过程与方法 初中学过 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 引导学生把这个 定义推广到任意角 通过单位圆和角的终边 探讨任意角的三角函数值的求法 最终得到任意 角三角函数的定义 根据角终边所在位置不同 分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数 的值在各象限的符号 最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数 讲解例题 总结方法 巩固练习 3 情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 而且各种定义都有自己的特点 过去习惯于 用角的终边上点的坐标的 比值 来定义 这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意 角的三角函数的推广 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数 但它对准确 把握三角函数的本质有一定的不利影响 从角的集合到比值的集合 的对应关系与学生熟 悉的一般函数概念中的 数集到数集 的对应关系有冲突 而且 比值 需要通过运算才能 得到 这与函数值是一个确定的实数也有不同 这些都会影响学生对三角函数概念的理解 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数 余弦函数 这个定义清楚地表明了 正弦 余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系 也表明了这两个函数之间的关系 二 教学重 难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号 三角函数线的正确理解 三 学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数 余弦函数 表明了正弦 余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系 也表明了 这两个函数之间的关系 另外 这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接 数形结合更加紧密 这就为后续内容的学习带来方便 也使三角函数更加好用了 教学用具 投影机 三角板 圆规 计算器 四 教学设想 第一课时 任意角的三角函数 一 创设情境 提问 锐角 O 的正弦 余弦 正切怎样表示 借助右图直角三角形 复习回顾 y P a b r O M 用心 爱心 专心 2 引入 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图 设锐角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 那 Ox 么它的终边在第一象限 在的终边上任取一点 它与原点的距离 过作 P a b 22 0rab P 轴的垂线 垂足为 则线段的长度为 线xMOMa 段的长度为 则 MPbsin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点 在的终边上的位置的改变而改变呢 P 显然 我们可以将点取在使线段的长OP 的特殊位置上 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 1r sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考 上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的概念推广以后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利推广到任意角呢 本节课就研究这个 问题 任意角的三角函数 探究新知 1 探究 结合上述锐角的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后就可以类似锐 角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆的定义 在直角坐标系中 我们称以原 点为圆心 以单位长度为半径的圆 O 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 sine 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 cossine 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 tangent 记做 即 y x tan tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所在 当 不 是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终边 终边就必然与单位圆有 交点 从而就必然能够最终算出三角函数值 P x y 3 思考 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交点 该如何求它的三角 函数值呢 前面我们已经知道 三角函数的值与点在终边上的位置无关 仅与角的大小有关 我们P 只需计算点到原点的距离 那么 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy a的终边 P x y O x y 用心 爱心 专心 3 所以 三角函数是以为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函tan y x 数 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系 故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数 4 例题讲评 例 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 例 2 已知角的终边过点 求角的正弦 余弦和正切值 0 3 4 P 教材给出这两个例题 主要是帮助理解任意角的三角函数定义 我也可以尝试其他方法 如例 2 设则 3 4 xy 22 3 4 5r 于是 4 sin 5 y r 3 cos 5 x r 4 tan 3 y x 5 巩固练习第 1 2 3 题 17 P 6 探究 请根据任意角的三角函数定义 将正弦 余弦和正切函数的定义域填入下表 再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中 定义域 三角函数 角度制弧度制 第一象限第二象限第三象限第四象限 sin cos tan 7 例题讲评 例 3 求证 当且仅当不等式组成立时 角为第三象限角 sin0 tan 0 8 思考 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值有和关系 显然 终边相同的角的同一三角函数值相等 即有公式一 sin 2 sink 其中 cos 2 cosk kZ tan 2 tank 9 例题讲评 例 4 确定下列三角函数值的符号 然后用计算器验证 1 2 3 4 cos250 sin 4 tan 672 tan3 例 5 求下列三角函数值 用心 爱心 专心 4 1 2 3 sin148010 9 cos 4 11 tan 6 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求到 或到 角的三角02 0 360 函数值 另外可以直接利用计算器求三角函数值 但要注意角度制的问题 10 巩固练习第 4 5 6 7 题 17 P 11 学习小结 1 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同 2 你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗 3 请写出各三角函数的定义域 4 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗 五 评价设计 1 作业 习题 1 2 A 组第 1 2 题 2 比较角概念推广以后 三角函数定义的变化 思考公式一的本质是什么 要做到熟练应 用 另外 关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握 知道推导方法 第二课时 任意角的三角函数 二 复习回顾 1 三角函数的定义 2 三角函数在各象限角的符号 3 三角函数在轴上角的值 4 诱导公式 一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 5 三角函数的定义域 要求 记忆 并指出 三角函数没有定义的地方一定是在轴上角 所以 凡是碰到轴上 角时 要结合定义进行分析 并要求在理解的基础上记忆 探究新知 1 引入 角是一个图形概念 也是一个数量概念 弧度数 作为角的函数 三角函 数是一个数量概念 比值 但它是否也是一个图形概念呢 换句话说 能否用几何方式来 表示三角函数呢 2 边描述边画 以坐标原点为圆心 以单位长度 1 为半径画一个圆 这个圆就叫做单 位圆 注意 这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米 当角为第一象限角时 则其终边与单位圆必有一 个交点 过点作轴交轴于点 P x yPPMx x 则请你观察 M 根据三角函数的定义 sin MPy cos OMx 随着在第一象限内转动 是否也 MPOM 跟着变化 3 思考 1 为了去掉上述等式中的绝对值符号 能否给线段 规定一个适MPOM O x y a角的终 边 PT MA 用心 爱心 专心 5 当的方向 使它们的取值与点的坐标一致 P 2 你能借助单位圆 找到一条如 一样的线段来表示角的正切值吗 MPOM 我们知道 指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 当角的终边不在坐标轴时 以 为始点 为终点 规定 OM 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反向OMxOMxOMx 时 的方向为负向 且有正值 其中为点的横坐标 这样 无论那种情况都有OMxxP cosOMx 同理 当角的终边不在轴上时 以为始点 为终点 规定 xMP 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反向MPyMPyMPy 时 的方向为负向 且有正值 其中为点的横坐标 这样 无论那种情况都有MPyyP sinMPy 4 像这种被看作带有方向的线段 叫做有向线段 direct line segment MPOM 5 如何用有向线段来表示角的正切呢 如上图 过点作单位圆的切线 这条切线必然平行于轴 设它与的终边交于点 1 0 A T 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识 借助有向线段 我们有OAAT tan y AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 分别叫做角的正弦线 余弦MPOMAT 线 正切线 统称为三角函数线 6 探究 1 当角的终边在第二 第三 第四象限时 你能分别作出它们的正弦线 余弦线和正切线吗 2 当的终边与轴或轴重合时 又是怎样的情形呢 xy 7 例题讲解 例 1 已知 试比较的大小 42 tan sin cos 处理 师生共同分析解答