高中数学：4.1.2《圆的一般方程》教案（新人教A版必修2）

专心 爱心 用心 1 4 1 24 1 2 圆的一般方程圆的一般方程 三维目标 知识与技能 1 在掌握圆的标准方程的基础上 理解记忆圆的一般方程 的代数特征 由圆的一般方程确定圆的圆心半径 掌握方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件 2 能通过配方等手段 把圆的一般方程化为圆的标准方 程 能用待定系数法求圆的方程 3 培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 过程与方法 通过对方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件的探究 培养学生探索发现 及分析解决问题的实际能力 情感态度价值观 渗透数形结合 化归与转化等数学思想方法 提高学生的整体素质 激励 学生创新 勇于探索 教学重点 圆的一般方程的代数特征 一般方程与标准方程间的互化 根据已 知条件确定方程中的系数 D E F 教学难点 对圆的一般方程的认识 掌握和运用 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程 课题引入 问题 求过三点 A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦 得用直线的知识解决又有其简单的局限性 那 么这个问题有没有其它的解决方法呢 带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式 圆的一般方程 探索研究 请同学们写出圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心 a b 半径 r 把圆的标准方程展开 并整理 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 取 222 2 2rbaFbEaD 得 专心 爱心 用心 2 0 22 FEyDxyx 这个方程是圆的方程 反过来给出一个形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程 它表示的曲线一定是圆吗 把 x2 y2 Dx Ey F 0配方得 4 4 2 2 22 22 FEDE y D x 配方过程由学生去完成 这个方程是不是 表示圆 1 当 D2 E2 4F 0 时 方程 表示 1 当04 22 FED时 表示以 2 D 2 E 为圆心 FED4 2 1 22 为半径的圆 2 当04 22 FED时 方程只有实数解 2 D x 2 E y 即只表示一个点 2 D 2 E 3 当04 22 FED时 方程没有实数解 因而它不表示任何图形 综上所述 方程0 22 FEyDxyx表示的曲线不一定是圆 只有当04 22 FED时 它表示的曲线才是圆 我们把形如 0 22 FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程 2 2 14xy 我们来看圆的一般方程的特点 启发学生归纳 1 x2和 y2的系数相同 不等于 0 没有 xy 这样的二次项 2 圆的一般方程中有三个特定的系数 D E F 因之只要求出这三个系 数 圆的方程就确定了 3 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 代数特征 明显 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小 几何特征较明显 知识应用与解题研究 专心 爱心 用心 3 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程 如果是 请求出圆的圆 心及半径 22 22 1 4441290 2 44412110 xyxy xyxy 学生自己分析探求解决途径 用配方法将其变形化成圆的标准形式 运用圆的 一般方程的判断方法求解 但是 要注意对于 22 1 4441290 xyxy 来说 这 里的 9 1 3 4 DEF 而不是D 4 E 12 F 9 例 2 求过三点 A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 并求这个圆的半径长和圆心 坐标 分析 据已知条件 很难直接写出圆的标准方程 而圆的一般方程则需确定三个系数 而 条件恰给出三点坐标 不妨试着先写出圆的一般方程 解 设所求的圆的方程为 0 22 FEyDxyx 0 0 11AB C 4 2 在圆上 所以它们的坐标是方程的解 把它们的坐标代入上 面的方程 可以得到关于FED 的三元一次方程组 即 02024 02 0 FED FED F 解此方程组 可得 0 6 8 FED 所求圆的方程为 068 22 yxyx 54 2 1 22 FEDr 3 2 4 2 FD 得圆心坐标为 4 3 或将068 22 yxyx左边配方化为圆的标准方程 25 3 4 22 yx 从 而求出圆的半径5 r 圆心坐标为 4 3 学生讨论交流 归纳得出使用待定系数法的一般步骤 根据提议 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于 a b r 或 D E F 的方程组 解出 a b r 或 D E F 代入标准方程或一般方程 例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 4 3 端点 A 在圆上 2 2 14xy 运动 求 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 专心 爱心 用心 4 分析 如图点 A 运动引起点 M 运动 而点 A 在已知圆上运动 点 A 的坐标满足方程 2 2 14xy 建立点 M 与点 A 坐标之间的关系 就可以建立点 M 的坐标满足的条 件 求出点 M 的轨迹方程 解 设点 M 的坐标是 x y 点 A 的坐标是 00 B4 3MABxy由于点的坐标是 且是线段的重点 所以 00 00 43 22 24 23 xy xy xxyy 于是有 因为点A在圆 2 2 14xy 上运动 所以点 A 的坐标满足方程 2 2 14xy 即 2 2 00 14xy 2 2 00 14xy 把 代入 得 130 p 22 24 1234 xy 22 3 1 2 y 3 整理 得x 2 M 3 3 所以 点的轨迹是以 为圆心 半径长为1的圆 2 2 6 4 2 2 4 55 M O B A y x 课堂练习 课堂练习 课堂练习 130 p第 1 2 3 题 小结小结