高中数学知识要点重温（23）概率与统计知识点分析

用心 爱心 专心 高中数学知识要点重温 高中数学知识要点重温 23 概率与统计 概率与统计 1 离散型随机变量 取每一个值 xi i 1 2 的概率为 ii Pxp 则 P1 P2 1 E 11p x 22p x nnp x 为 的数学期望 期望是反映随机变量 均值 的量 baEbaE 求离散型随机变量 的期望的基本步骤 理解 的意义 写出 可能取的全部值 求 取各个值的概率 写出分布列 根据分布列 由期望的定义 求出 E 举例 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 用随机变量 表示方程 2 0 xbxc 实根的个数 重根按一个计 求方程 2 0 xbxc 有实根的概率 求 的分布列和数学期望 解析 由题意知 设基本事件空间为 记 方程 2 0 xbxc 没有实根 为事件 A 方程 2 0 xbxc 有且仅有一个实根 为事件B 方程 2 0 xbxc 有两个相异 实数 为事件C 则 126bc bc 是的基本事件总数为 36 个 2 40126Abc bcbc A中的基本事件总数为 17 个 2 40126Bbc bcbc B中的基本事件总数为2个 2 40126Cbc bcbc C中的基本事件总数为 17 个 又因为B C 是互斥事件 故所求概率 21719 363636 PP BB C 由题意 的可能取值为012 则 17 0 36 P 1 1 18 P 17 2 36 P 故 的分布列为 012 P 17 36 1 18 17 36 用心 爱心 专心 所以 的数学期望 17117 0121 361836 E 巩固 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数 的分布列为 12 345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件A 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 P A 求 的分布列及期望 E 07 高考全国卷 理 18 2 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 knkk nn qpCkP k 0 1 2 n pq 1 称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 若 B n p 则 E np 举例 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制作过程必须先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制 两次烧制过程相互独立 根据该厂现有的技术水 平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 5 0 6 0 4 经过第二 次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 6 0 5 0 75 1 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 2 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为 求随机变量 的期望 07 高考江西理 19 解析 分别记甲 乙 丙经第一次烧制后合格为事件 1 A 2 A 3 A 1 设E表示第一次烧制后恰好有一件合格 则 321 AAAPEP 312 AAAP 213 AAAP 0 5 0 4 0 60 5 0 6 0 60 5 0 4 0 40 38 2 解法一 分别记甲 乙 丙经过两次烧制后合格为事件A BC 则 0 3P AP BP C 所以 3 0 1 0 3 0 343P 2 1 3 1 0 3 0 30 441P 2 2 3 0 30 70 189P 3 3 0 30 027P 于是 1 0 4412 0 1893 0 0270 9E 解法二 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 0 3p 所以 3 0 3 B 故 3 0 30 9Enp 用心 爱心 专心 巩固 一个袋中装有 3 个红球 7 个白球 从袋中随机摸出一个球 记录颜色后放回 连摸 5 次 试求摸到红球的次数 的分布列及期望 E 3 随机抽样需借助于随机数表 先对总体逐一编号 分层抽样的关键是 按比例 总体 中各层的比例等于样本中各层的比例 在所有的抽样中 每一个个体被抽到的概率相等 举例 从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团 若采用下面的方法选取 先用简单随机抽样 从 2004 人中剔除 4 人 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行 则每人入选的概率 A 不全相等 B 均不相等 C 都相等 且为1002 25 D 都相等 且为40 1 解析 某人 入选 首先在第一步的随机抽样中要不被剔除 其概率为 2004 2000 2004 4 1 在第二步的系统抽样中被抽中的概率为2000 50 故每人入选的概率为 2004 50 2000 50 2004 2000 巩固 某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品 产品数量之比依次为 2 3 5 现用分层 抽样方法抽出一个容量为n的样本 样本中 A 种型号产品有 16 件 那么此样本的容量 n 4 读懂 样本频率分布直方图 直方图的高 直方图中小矩形框的面积是频率 频率 样本个数 频数 举例 1 从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品 共 取了 n 件 测得其尺寸后 画得其频率分布直方图如右 尺寸在 15 45 内的频数为 46 则尺寸在 20 25 内 的产品个数为 解析 由直方图可见 尺寸在 15 45 内的频率为 1 0 016 5 0 92 n 46 0 92 得 n 50 分组 来源 K 频数 1 301 34 4 1 341 38 25 1 381 42 30 1 421 46 29 10 15 20 25 30 35 4045 0 016 0 04 产品尺寸 组距 频率 用心 爱心 专心 而尺寸在 20 25 内的频率为 0 04 5 0 2 尺寸在 20 25 内的产品个数为 0 2 50 10 巩固 1 在生产过程中 测得纤维产品的纤度 表示纤 维粗细的一种量 共有 100 个数据 将数据分组如右表 I 画出该产品纤度的频率分布直方图 II 估计纤度落在 1 381 50 中的概率及纤度小于1 40的概率是多少 III 统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点值 例如区间 1 301 34 的中点值是 1 32 作为代表 据此 估计纤度的期望 巩固 2 一个社会调查机构 就某地居民的月收入调查了 10 000 人 并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图 如右图 为了分析居民的 收入与年龄 学历 职业等 方面的关系 要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查 则在 2500 3000 元 月收入 段应抽出 人 5 熟悉方差的计算公式和性质 如 样本同加 减 一个常数 方差不变 样本同乘一个 常数 k 方差变为原来的 k2 倍 标准差 是方差的算术平方根 样本的方差和标准差是反 映其 稳定性 的量 对于离散型随机变量 如果它所有可能取的值是 1 x 2 x n x 且取这些值的概率分别是 1 p 2 p n p 那么 D 1 2 1 pEx 2 2 2 pEx nn pEx 2 称为随机变量 的方差 式 中的 E 是随机变量 的期望 D 的算术平方根 D 叫做随机变量 的标准差 记作 举例 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 x y 10 11 9 已知这组数据 的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由题意可得 x y 20 x 10 2 y 10 2 8 解这个方程组需要用一些技巧 因为不要直接 求出 x y 只要求出 yx 设 x 10 t y 10 t 由 x 10 2 y 10 2 8 得 t2 4 24xyt 故选 D 巩固 1 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次 三人的测试成绩如下表 1 461 50 10 1 501 54 2 合计100 0 000 1 0 000 2 0 000 3 0 000 4 0 000 5 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入 元 频率 组距 用心 爱心 专心 123 sss 分别表示 甲 乙 丙三名运 动员这次测试成绩 的标准差 则有 312 sss 213 sss 123 sss 231 sss 07 高考宁夏理 11 巩固 2 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中a bc 成等差数列 若 1 3 E 则 D 的值是 07 高考浙江理 15 6 正态分布密度函数 2 2 2 2 1 x exf 0 x 其中 x 是随机变量 的取值 为正态分布的均值 是正态分布的标准差 正态分布一般记为 2 N 正态 曲线的性质 1 曲线在 x 轴的上方 与 x 轴不相交 2 曲线关于直线 x 对称 3 当 x 时 曲线位于最高点 4 当 x 时 曲线上升 增函数 当 x 时 曲 线下降 减函数 并且当曲线向左 右两边无限延伸时 以 x 轴为渐近线 向它无限靠近 5 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 总体分布越分散 越 小 曲线越 高 总体分布越集中 当 0 l 时 正态总体称为标准正态总体 其相应 的函数表示式是 2 2 2 1 x exf x 对于标准正态总体 01 N 0 x 表 示总体取值小于 0 x 的概率 即 00 xxPx 0 0 x 当 0 0 x 时 1 00 xx 而当 0 0 x 时 0 0 5 计算正态总体的概率应结合正态曲线 面积 进行 举例 1 设随机变量 服从标准正态分布 01 N 已知 1 96 0 025 则 1 96 P 07 高考湖南理 5 A 0 025B 0 050C 0 950D 0 975 解析 1 96 P 96 1 96 1 1 PP 因为标准正态曲线关于 y 轴对称 所以 025 0 96 1 96 1 PP 故 1 96 P 0 950 选 C 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 用心 爱心 专心 举例 2 以 x 表示标准正态总体在区间 x 内取值的概率 若随机变量 服从正态分 布 2 N 则概率 P 等于 B 07 高考安徽理 10 A B 1 1 C 1 D 2 解析 P 即正态分布 2 N 的分布曲线与直线 x x 0 y 所围成的区域面积 也就是标准正态分布 01 N 的分布曲线与直线 1 x 1 x 0 y 所围成的区域面积 即 1 1 故选 B 巩固 1 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 2 1 0 N