高中数学 反证法在几何问题中的应用精品论文集 新人教版 (2)

用心 爱心 专心 反证法在几何问题中的应用反证法在几何问题中的应用 反证法是一种非常重要的数学方法 它在几何的应用极为广泛 在平面几何 立体几何 解析几何都有应用 本文选择几个有代表性的应用 举例加以介绍 一 证明几何量之间的关系 例 1 已知 四边形 ABCD 中 E F 分别是 AD BC 的中点 2 1 CDABEF 求证 CDAB 证明 假设 AB 不平行于 CD 如图 连结 AC 取 AC 的中点 G 连结 EG FG E F G 分别是 AD BC AC 的中点 CDGE CDGE 2 1 ABGF ABGF 2 1 AB 不平行于 CD GE 和 GF 不共线 GE GF EF 组成一个三角形 EFGFGE 但EFCDABGFGE 2 1 与 矛盾 CDAB 例 2 直线PO与平面 相交于O 过点O在平面 内引直线OA OB OC POCPOBPOA 求证 PO 证明 假设 PO 不垂直平面 作 PH并与平面 相交于 H 此时 H O 不重合 连结 OH 由 P 作OAPE 于 E OBPF 于 F 根据三垂线定理可知 OAHE OBHF POBPOA PO 是公共边 POFRtPOERt OFOE 又OHOH OEHRtOFHRt EOHFOH 因此 OH 是AOB 的平分线 同理可证 OH 是AOC 的平分线 但是 OB 和 OC 是两条不重合的直线 OH 不可能同时是AOB 和AOC 的平分线 产 生矛盾 PO 例 3 已知 A B C D 是空间的四个点 AB CD 是异面直线 求证 AC 和 BD 是异面直线 证明 假设 AC 和 BD 不是异面直线 那么 AC 和 BD 在同一平面内 因此 A C B D 四点在同一平面内 这样 AB CD 就分别有两个点在这个平面内 则 AB CD 在这个平面内 即 AB 和 CD 不是异面直线 这与已知条件产生矛盾 所以 AC 和 BD 是异面直线 上面所举的例子 用直接证法证明都比较困难 尤其是证两条直线是异面直线 常采用 AB C D EF G a O P A BC E F H 用心 爱心 专心 反证法 二 证明 唯一性 问题 在几何中需要证明符合某种条件的点 线 面只有一个时 称为 唯一性 问题 例 3 过平面 上的点 A 的直线 a 求证 a是唯一的 证明 假设a不是唯一的 则过 A 至少还有一条直线b b a b是相交直线 a b可以确定一个平面 设 和 相交于过点 A 的直线c a b ca cb 这样在平面 内 过点 A 就有两条直线垂直于c 这与定理产生矛盾 所以 a是唯一的 例 4 试证明 在平面上所有通过点 0 2 的直线中 至少通过两个有理点 有理点指 坐标x y均为有理数的点 的直线有一条且只有一条 证明 先证存在性 因为直线0 y 显然通过点 0 2 且直线0 y至少通过两个有理点 例如它通过 0 0 和 0 1 这说明满足条件的直线有一条 再证唯一性 假设除了直线0 y外还存在一条直线bkxy 0 k或0 b 通过点 0 2 且该直线通过有理点 A 11 yx与 B 22 yx 其中 1 x 1 y 2 x 2 y均为有理数 因为直线bkxy 通过点 0 2 所以kb2 于是 2 xky 且0 k 又直线通过 A 11 yx与 B 22 yx两点 所以 2 11 xky 2 xky 得 2121 xxkyy 因为 A B 是两个不同的点 且0 k 所以 21 xx 21 yy 由 得 21 21 xx yy k 且k是不等于零的有理数 用心 爱心 专心 由 得 k y x 1 1 2 此式的左边是无理数 右边是有理数 出现了矛盾 所以 平面上通过点 0 2 的直线中 至少通过两个有理点的直线只有一条 综上所述 满足上述条件的直线有一条且只有一条 关于唯一性的问题 在几何中有 在代数 三角等学科中也有 这类题目用直接证法证 明相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法或同一法证明 用反证法证明有 时比同一法更方便 三 证明不可能问题 几何中有一类问题 要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存 在 它们的结论命题都是以否定形式出现的 若用直接证法证明有一定的困难 而它的否定 命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在 因此 这类问题非常适宜用反 证法 例 5 求证 抛物线没有渐近线 证明 设抛物线的方程是pxy2 2 0 p 假设抛物有渐近线 渐近线的方程是baxy 易知a b都不为 0 因为渐近线与 抛物线相切于无穷远点 于是方程组 baxy pxy2 2 2 1 的两组解的倒数都是 0 将 2 代入 1 得 0 2 222 bxpabxa 3 设 1 x 2 x是 3 的两个根 由韦达定理 可知 2 21 2 a pab xx 2 2 21 a b xx 则0 211 2 21 21 21 b pab xx xx xx 4 0 111 2 2 2121 b a xxxx 5 由 4 5 可推得0 p 这于假设0 p矛盾 所以 抛物线没有渐近线 用心 爱心 专心 关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型 由于它的结论是以否定形式 出现 采用直接证法有困难 所以这类问题一般都使用反证法加以证明 四 证明 至少存在 或 不多于 问题 在几何中存在一类很特殊的问题 就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几 个 由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少 用直接证法有一定困难 如果采用反证 法 添加了否定结论这个新的假设 就可以推出更多的结论 容易使命题获证 例 6 已知 四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 1 求证 四边形中至少有一条边不小于 2 2 证明 假设四边形的边都小于 2 2 由于四边形中至少有一个角不