高中数学论文：用数形结合解零点问题沪教版

用心 爱心 专心 用数形结合解零点问题用数形结合解零点问题 数缺形时少直觉 形少数时难入微 华罗庚语 数形结合指的是在解决数学问题时 使数的问题 借助形去观察 而形的问题 借助数去思考 函数的零点就是函数图象与x轴 的交点的横坐标 数形结合能给零点问题的解决带来方便 一 零点个数问题 例 1 函数的零点有 个 44f xxx 解析 的零点就是方程 44f xxx 的解 在同一平面直角坐标系中画出44xx 和的图象 如图 1 可见函数4yx 4yx 的零点个数为 1 44f xxx 评注 函数的图象不容易画 所以转化为容易画的和 44f xxx 4yx 的图象的交点问题加以观察 4yx 例 2 讨论函数的零点个数 2 1f xxa 解析 在同一平面直角坐标系中画出和 2 1yx 的图象 如图 2 可见 ya 当时 和没有公共点 函数0a 2 1yx ya 的零点个数为 0 2 1f xxa 当或时 和有 2 个公共点 函数的零0a 1a 2 1yx ya 2 1f xxa 点个数为 2 当时 和有 3 个公共点 函数的零点个数为1a 2 1yx ya 2 1f xxa 3 当时 和有 4 个公共点 函数的零点个01a 2 1yx ya 2 1f xxa 数为 4 1 y x 4 y 4 x y x O 图 1 y a 1 y x2 1 y xO 图 2 用心 爱心 专心 例 3 若存在区间 使函数的值域是 求实数的范 a b 2 f xkxxa b a bk 围 解析 因为在上递增 若 2f xkx 2 存在区间 使在上的值域是 必 a b f x a b a b 有 问题转化为 求的范围 使关于x的方 f aa f bb k 程有两个不等实根 2kxx 在同一平面直角坐标系中画出和的图象 如图 3 可见当时 2yx 2yx 2k 和的图象有两个不同的公共点 2yx yxk 由得 所以当时 直2xkx 22 21 20 xkxk 49k 9 4 k 线与曲线相切 yxk 2yx 结合图形观察得 当时 和的图象有两个不同的公共 9 2 4 k 2yx yxk 点 此时关于x的方程有两个不等实根 2kxx 所以的范围是 k 9 2 4 评注 由于画图精确性的限制 直线与曲线相切时的的值 并不能通过图象观察得出 这k 时要以数助形 运算求解 二 零点所在区间问题 例 4 函数的零点所在区间为 lg3f xxx A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 解析 在同一平面直角坐标系中 画出函数y lgx与 的图象 如图 4 它们的交点横坐标 显然在3yx 0 x 区间 1 3 内 由此排除 A D 至于选 B 还是选 C 单凭直 观比较困难了 这时要比较与 2 的大小 0 x 3 y x 3 1 y lgx y xO 图 4 图 3 y x 2 25 y x 2 1 2 y x 2 y xO 用心 爱心 专心 当x 2 时 lgx lg2 3 x 1 由于 lg2 1 因此 2 从而判定 2 3 故本题 0 x 0 x 应选 C 评注 数形结合 要在结合方面下功夫 本题不仅要通过图象直观估计 而且还要计算两 个函数值 通过比较其大小进行判断 例 5 2007 年广东高考题 已知是实数 函数 如果函数a 2 223f xaxxa 在区间上有零点 求的取值范围 yf x 11 a 解析 当时 函数在区间上没0a yf x 11 有零点 当时 的零点就是关于的方程0a f xx 的根 在同一平面直角坐标系中 画 2 23 21 2 xx a 出函数与的图象 如图 5 2 21yx 3 2 yk x 若过定点A 0 的直线与抛物线相切于轴下方 由 3 2 3 2 yk x x 中的 解得 当时 切点在 2 3 21 2 xk x 2 1280kk 62 7k 62 7k 轴上方 x 设直线与交于B点 直线AB的斜率 1x 2 21yx 1 2 k 所以使与有公共点的的范围是 3 2 yk x 2 21yx 11 x k 1 62 7 2 解不等式得 实数 a 的取值范围为 1 12 62 7 2a 37 2 评注 此题是一元二次方程根的分布问题 涉及到在区间内有一个根 两个根等情况 此题 有多种解题方法 此处数形结合的应用可以减少分类讨论 三 零点值的问题 例 6 若函数的零点是 3 x f xex 1 x 的零点是 求的值 ln3g xxx 2 x 12 xx B A 1 y 2x2 1 1 y x O B 图 5 图 6 B A 3 y x O 用心 爱心 专心 解析 在同一平面直角坐标系中 画出函数 与的图象 如 x ye lnyx 3yx 图 6 设与交于点A 与交于点B 因