高中数学 第二章 第4-6节 用向量讨论垂直与平行；夹角的计算；距离的计算同步练习 （理）选修2-1

专心 爱心 用心1 理 选修 理 选修 2 12 1 第二章第二章 第第 4 64 6 节节 用向量讨论垂直与平行 夹角的计算 距离的计用向量讨论垂直与平行 夹角的计算 距离的计 算同步练习算同步练习 答题时间 60 分钟 一 选择题 每题 5 分 计 40 分 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 1111111111 FDEBDCFBAE 上 且在上 在 则所成角的余弦值是 11B A 4 1 11 DFBE 与 A B C D 16 15 17 15 17 16 15 14 2 已知 则的夹角是 1 1 0 a 1 2 1 bba与 A 30 B 60 C 90 D 120 3 在正方体 ABCD 中 AB a BC b AA1 c 则异面直线 BD1和 B1C 所成角 1111 DCBA 的余弦值是 A B 22222 22 cbcba cb 22222 22 cacba ca C D 22222 22 bacba ba 22222 22 cacba ba 4 在正方体 ABCD 中 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角是 1111 DCBA A 60 B 30 C 45 D 15 5 在平行四边形 ABCD 中 AB AC 1 将它沿对角线 AC 折起 使 AB 与 90ACD CD 成 60 角 则 B D 之间的距离是 A 2 B C 2 或 D 1 或 222 6 正方形ABCD边长为 2 E F分别是AB和CD的中点 将正方形沿EF折成直二面角 如图 M为矩形AEFD内一点 如果 MBE MBC MB和平面BCF所成角的正切值为 2 1 那么点M到直线EF的距离为 M A B C D C B F E A B 1 C D 2 2 3 2 1 2 7 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 1 AB 4 BC 3 ABC 90 设平面A1BC1与平面 ABC的交线为l 则A1C1与l的距离为 A B C 2 6D 2 41011 8 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M为DD1的中点 O为底面ABCD的中心 P为棱A1B1上 任意一点 则直线OP与直线AM所成的角是 专心 爱心 用心2 A B C D 6 4 3 2 二 填空题 每题 5 分 计 20 分 9 已知 AOB 90 过O点引 AOB所在平面的斜线OC 与OA OB分别成 45 60 角 则以OC为棱的二面角A OC B的余弦值等于 10 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 3 则这个正三棱锥的侧面和底面 所成的二面角的度数为 11 如图 空间四点A B C D中 每两点所连线段的长都等于a 动点P在线段AB 上 动点Q在线段CD上 则P与Q的最短距离为 A BC D Q P 12 如图 ABCD与ABEF均是正方形 如果二面角E AB C的度数为 30 那么EF与 平面ABCD的距离为 A B C D G F E 三 计算题 共 40 分 13 如图 为 60 的二面角 等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上 l M N 且MP与 所成的角等于NP与 所成的角 求证 MN分别与 所成的角相等 14 在棱长为a的正方体ABCD A B C D 中 E F分别是BC A D 的中点 专心 爱心 用心3 G F E D C B A D CB A 1 求直线A C与DE所成的角的余弦值 2 求直线AD与平面B EDF所成的角的余弦值 3 求面B EDF与面ABCD所成的角的余弦值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 15 已知四边形 ABCD EADM MDCF 都是边长为 a 的正方形点 P Q 分别是 ED AC 的中点 1 求 P 点到平面 EFB 的距离 2 求异面直线 PM 与 FQ 的距离 专心 爱心 用心4 试题答案试题答案 一 选择题 1 B 2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 二 填空题 9 10 60 11 12 3 3 a 2 2 2 a 三 计算题 13 证明 如图设的法向量为 的法向量为 模均为 1 由题意 n m 60m n 90 n PNm PM 0 90 PN PM 设 PNPMa 则 0PMPN PMmPNnPMmPNn 2 1 mn 或 且0PMnPNm MN nPN MN nPMnPN MN nMN n MN nMN n MNcos MN mPM MN mPMmPN MN mMN m MN mMN m MNcos 所以 cos MN n cos MN m 或 cos MN n cos MN m 所以 MN 分别与 所成的角相等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 解 如图建立空间直角坐标系 则 0 0 0 0 0 0 2 a Aa C a aDaE a 0 2 a A Ca aa DEa 专心 爱心 用心5 15 cos 15 A C DE A C DE A CDE A 15 15 DE CA DECA 故A C与DE所成角的余弦值为 15 15 2 0 0 0 0 0 0 AB aa Da 0 0 DAaDBaa a 3 cos 3 DA DB DA DB DA DB A 3 3 BD DA BDDA 故AD与平面B EDF所成的角的余弦值是 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 a AAa B aa DaE a 所以面ABCD的法向量为 0 0 mAAa 下面求面B EDF的法向量 n 设 由 1 ny z 0 0 22 aa EDaEBa 0BEn 0EDn 0 02 2 1 0 0 2 a ay n EDy az n ED yaz A A 1 2 1 n 6 cos 6 n m n m n m A 6 6 m n mn 故面B EDF与面ABCD所成的角的余弦值是 6 6 15 解 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AB a 专心 爱心 用心6 则 B a a 0 E a 0 a F 0 a a M 0 0 a Q P 0 2 2 aa 2 0 2 aa 1 设平面 EFB 的法向量是 zyxn 0 0 aaBEaaEF 由y x z 不妨设 x 1 则 0 a a 0 z y x 0 0 a a z y x 0BEn 0EFn 1 1 1 n 2 0 2 aa P