高中数学《等差数列的前n项和》学案2 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 一 学习目标 1 掌握等差数列前 n 项和公式 2 能运用公式解决简单问题 二 例题分析 第一阶段 例 1 在小于 100 的正整数中共有多少个数被 3 除余 2 这些数的和是多少 思路分析 被 3 除余 2 的正整数可以写成 3n 2 n N 的形式 解 由 3n 20 当 n 35 时 an 0 1 当 n 34 时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 2 当 n 35 时 Tn a1 a2 a34 a35 an a1 a2 a34 a35 a36 an 2 a1 a2 a34 a1 a2 an 用心 爱心 专心3 2S34 Sn 第二阶段 例 4 己知一个等差数列的前四项和为 21 末四项和为 67 前 n 项和为 286 求项数 思路分析 利用等差数列性质进行求解 解 a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3 例 5 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 思路分析 写出前 n 项和的函数解析式 再求此式的最值是最直观的思路 但注意 n 取 正整数这一 条件 解法一 设等差数列 an 的公差为 d 则由题意得 即 3a1 30d a10 用心 爱心 专心4 d 0 Sn有最小值 解得 10 n 11 取 10 或 11 时 Sn取最小值 解法三 S9 S12 a10 a11 a12 0 3a11 0 a11 0 a1 0 前 10 项或前 11 项和最小 例 6 己知两个等差数列 an bn 它们的前 n 项和分别为 Sn Sn 思路分析 充分运用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题 解 因为 an bn 均为等差数列 所以 2a9 a1 a17 2b9 b1 b17 S17 17a9 S 17 17b9 说明 解题过程中体现了化归思想 第三阶段 用心 爱心 专心5 例 7 从 1 到 200 的所有整数中 既不是 2 的倍数 又不是 3 的倍数的所有整数和是多少 思路分析 从 1 到 200 的整数中 所有 2 的倍数是首项为 a1 2 公差 d 2 的等差数列 是 3 的部数 且不是 2 的倍数依次 组成以 3 为首项 6 为公差的等差数列 求出这两个数列的和再从总数和中减去即可 解 满足条件的所有的数的和为 20100 10100 3267 6733 说明 解数列问题也要善于将问题进行转化 进行逆向思考 例 8 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 思路分析 设前 m 项和为 V1 第 m 1 到 2m 项之和为 V2 第 2m 1 项到 3m 项之和为 V3 则 V1 V2 V3也成等差数列 解 于是 V1 30 V2 100 30 70 公差 d 70 30 40 V3 V2 d 70 40 110 前 3m 项之和 S3m V1 V2 V3 210 答案 C 用心 爱心 专心6 说明 如果等差数列共有 3m 项 那么它的前 m 项之和 V1 中间 m 项之和 V2与后 m 项之 和 V3仍成等差数列 同学们可以尝试给予证明 例 9 有一批影碟机 VCD 原销售价为每台 800 元 在甲 乙两家家电商场均有销售 甲 商场用如下的 方法促销 买一台单价为 780 元 买两台单价都为 760 元 依次类推 每多买一台则 所买各台单价 均再减少 20 元 但每台最低价不能低于 440 元 乙商场一律都按原价的 75 销售 某单位需购买 一批此类影碟机 问去哪家商场购买花费较少 思路分析 设单位需购买影碟机 n 台 在甲商店购买每台售价不低于 440 元时售价依台数 n 成等差 数列 设该数 列为 an 则 an 780 n 1 20 800 20n 由 an 440 解不等式 800 2n 440 得 n 18 当购买台数小于 18 时 每台售价为 800 20n 元 在台数大于等于 18 台时每台售价为 440 元 到乙商店购买每台约售价为 800 75 600 元 价差 800 20n n 600n 20n 10 n 当 n 10 时 600n 800 20n n 当 n 10 时 600n 800 20n n 当 10 n 18 时 800 20n 18 时 440n0 则下列一定成立的是 A a17 0 B a16 0 C a9 0 D a8 0 7 等差数列共有 2n 1 项 所有奇数项之和为 132 所有偶数项之和为 120 则 n 等于 A 9 B 10 C 11 D 12 8 等差数列 an 中 a1 8 它的前 16 项的平均值是 7 若从中抽取一项 余下的 15 项 的平均值为 7 2 则抽取的是 A 第 7 项 B 第 8 项 C 第 15 项 D 第 16 项 9 己知等差数列 an 中 a1 a15 3 则 S15等于 A 45 B 30 C 22 5 D 21 10 己知数列 an 为等差数列 a1 35 d 2 Sn 0 则 n 等于 A 33 B 34 C 35 D 36 11 方程 lgx lgx3 lgx5 lgx2n 1 2n2的解为 x 用心 爱心 专心8 12 13 解答题 2 己知数列 an 前 n 项和 Sn 12n n2 求数列 an 前 n 项和 Tn 14 有 10 台型号相同的联合收割机 收割一片土地上的庄稼 若同时投入工作至收割完 毕需用 24h 但 现在它们是每隔相同的时间顺序投入一台工作 每一台投入工作后都一直工作到庄稼 收割完毕 如 果第一台收割机工作的时间是最后一台的 5 倍 求用这种收割方法收割完毕这片土地 的庄稼需用多长 时间 四 参考答案 1 C 2 B 3 180 4 A 5 D 6 C 7 B 用心 爱心 专心9 8 A 9 C 10 D 11 100 12 13 1 2 Sn 12n n2 a1 S1 12 1 12 11 当 2 时 an Sn Sn 1 12n n2 12 n 1 n 1 2 13 2n 在 an中 当 n 1 时 a1 13 2 1 11 a1适合 an an 13 2n 又 an 1 an 13 2 n 1 13 2n 2 所以 an 是等差数列 令 an 13 2n 0 则 n 6 5 当 n 6 时 an 0 当 n 7 时 an 0 于是当 n 6 时 an an Tn Sn 12n n2 用心 爱心 专心10 当 n 7 时 an an Tn a1 a2 a6 a7 a8 an 2 a1