养成反思习惯-提高解题能力

1 4 养成反思习惯养成反思习惯 提高解题能力提高解题能力 卢霞 摘要摘要 反思是提高解题水平的关键环节 本文通过在教学过程中对知识 概念的反思 对解题思路 过程和途径的反思 对题目特征的反思 阐述了中学数学教师应如何在数学教学 中引导学生在问题解决过程中不断反思 提高学生学习数学的能力 关键词关键词 培养 反思 探索 数学家弗赖登塔尔指出 反思是重要的思维活动 它是思维活动的核心和动力 1 1 引导 学生解题反思能促进学生的理解从一个水平升到更高的水平 促使他们从新的角度 多层次地对问 题及解决问题的思维过程进行全面的考察 分析与思考 从而深化对问题的理解 揭示问题的本质 探索一般规律 进而产生新的发现 提升学生的数学能力 并促进知识的同化和迁移 拓宽思路 优化解法 提高学习效率 增强创造性解决问题的能力 提高学生的自我认识 自我教育水平 1 1 反思是纠正错误的重要手段反思是纠正错误的重要手段 当代一位科学家说 错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素 因此 反思错误 弄清哪些地方易犯错误 回忆自己解决问题的结果和过程 找出错误的根源 分析出错原因 提出 改进措施 明确正确的解题思路和方法 这是培养学生批判性思维的重要途径 学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的 又有能力缺陷造成的 也有逻辑上 策略上造成 的 更有非智力因素造成的 因此在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考 并及 时总结 纠错反思可改善学生思维能力和习惯 提高解题能力 1 11 1 反思所学知识 培养知识的全面性反思所学知识 培养知识的全面性 例例 1 1 在 ABC 中 AB 15 AC 13 BC 边上的高 AD 12 求 ABC 的周长 错解错解 根据勾股定理可求出 BD 9 DC 5 所以 BC 14 所以 ABC 的周长是 42 分析分析 错误的原因是学生没有真正理解三角形的高可能在三角形的内 部 图 1 也可能在三角形的外部 图 2 所以此题的另一个解是 32 点评点评 通过学生反思 讨论 最后和 三角形的三条角平分线与三条 中线一定在三角形的内部 这个知识要对比记忆 区分开 例例 2 2 已知 D E 分别是 AB AC 上的点 AB 12 AC 9 AD 4 图 3 当 AE 时 ADE ABC 本题较容易 学生都会做 根据相似三角形的性质 对应边的比 相等 可得 AE 3 但是如果将 ADE ABC 改为 ADE 与 ABC 相似 有些同学还 是写一个答案那就错了 其实 ADE 与 ABC 相似包括两种情况 ADE ABC 和 ADE ACB 所以本题的答案是 3 或 3 16 点评点评 学生通过对这两道题的对比反思 以后就知道有写 与不写 符号的区别 从 而培养了学生认真审题 思维严谨的习惯 1 21 2 反思心理定势 克服思维定反思心理定势 克服思维定 死死 2 4 学生的解题过程实质上是一个心智活动过程 学生除了自身知识所限外 还不同程度地受一定 的心理因素制约 如心理定势的反作用使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题 缺乏思维的灵活性 从而导致解题迷茫或失误 如在学习了一元二次方程和分式方程后补充了一例 例例 3 3 已知关于 x 的方程 0 只有一个实数根 求 k 的值和这个实数根 2 x x 2 2 xx kx 错解错解 把原方程化为 x2 2x k 0 因为方程只有一个实数根 所以 0 由 22 4k 0 得 k 1 把 k 1 代入方程 得 x2 2x 1 0 解得 x 1 经检验 k 1 x 1 为所求 通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思 发现上解中去分母后的一元二次方程有一个 实数根 只考虑了有两个实数根的情况而忽略了另一种情况 化简后的一元二次方程有两个不同的 实数根时 只要其中一个根是原方程的增根 那么对原方程来说 仍只有一个实数根所满足它 因 此 正确的解法应进一步补充 当有一增根 x 2 时 由方程 得 k 8 此时由 x2 2x 8 0 可解得 另一根 x 4 当有一增根 x 0 时 由方程 得 k 0 此时由 x2 2x 0 可解得另一根 x 2 通过此例的反思训练 使学生在纠正错误的过程中明确心理定势会阻碍思维的发展 知道解题 时要多层面 多角度地去观察 尝试数学问题 有时可以反客为主 有时可以以退求进 真正克服 思维定 死 1 31 3 反思隐含条件 提高思维全面性反思隐含条件 提高思维全面性 解数学题时往往有这么一种现象 对有一些含有附加条件的问题简单易解 但结果都是错误的 原因是学生没有认真审题 没有充分考虑条件中隐含的深层含义 挖掘所有的内容 例例 4 4 化简 xx 11 很多学生不知从何下手 找不到题目的突破口 但仔细想想这是两个二次根式 根据二次根式 的概念 被开方数是非负数 想到且 计算出 得出本题化简为 0 01 x01 x1 x 点评点评 通过此题 让学生反思学过的二次根式的概念和它有意义的条件 使学生对一些概念隐 含的条件有更深的认识 2 2 解题反思的有效途径解题反思的有效途径 在数学学习中 许多同学只注意解题的数量 而不重视解题的质量 只重视解题的结果 而不 重视解题的过程 要让学生形成良好的学习方法 就必须把学生从题海中领出来 引导学生从解决 问题的方法 规律 思维策略等方面进行多角度 多侧面的反思 总结解题的经验教训 2 12 1 反思解题规律 培养学生深入钻研的习惯及探索精神 提高解题能力反思解题规律 培养学生深入钻研的习惯及探索精神 提高解题能力 同一类型的问题 解题方法往往有其规律性 因此当一个问题解决后 要不失时机地引导学生 反思解题方法 认真总结解题规律 力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西 以现在的解决问 题的经验帮助今后的问题解决 提高解题能力 例例 5 5 2 2 为了估算河的宽度 在河对岸选定 一个目标点 P 在近岸取点 Q 和 S 使点 P Q S 共 线 且直线 PS 与河垂直 图 4 接着在过点 S 且 3 4 与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T 确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 直线的 b 的交点 R 如果测得 QS 45 米 ST 90 米 QR 60 米 求河的宽度 PQ 把实际问题抽象为数学问题 画出平面图形如图 5 转化为解相似三角形的问题 例例 6 6 2 2 设左 右并排的两棵大树的高分别是 AB 8 米和 CD 12 米 两树根部的距离 BD 5 米 图 6 一个身高 1 6 米的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进 当他与左边较低的 树的距离小于多少时 就不能看到右边较高的树的顶端点 C 同样是将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形图 7 再得出图 8 就把问题转化为解相似 三角形的问题 教师分析讲授完这两道例题之后 让学生反思这两道题的解题有什么规律 学生会发现 这两 道题都体现了 某种同样的东西 推而广之 当我们做了许多题的时候就会发现 这许多题只不 过体现了某几个 同样的东西 我们只不过是要将这些 同样的东西 理解罢了 通过反思 引导学生从特殊到一般 从而推广出一类问题的解决办法 这有利于培养学生的深 入钻研的良好习惯 提高解题能力 2 22 2 反思解题的思维过程 可开阔思路 培养思维的灵活性反思解题的思维过程 可开阔思路 培养思维的灵活性 解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径 学生在做完一道题后的反思 不仅是简单回顾或 检验 而应根据题目的基本特征与特殊因素 进行多角度 多方位的观察 联想 反思自己的解答是 否有错 错误的原因是什么 若解答正确则想一想有无新的解题途径 若有另解则应分析比较 找 出最佳解法 最后再总结一下解答此类题目有无规律可循 使学生思维的灵活性在变换和化归的训 练中得到培养和发展 3 3 例例 7 7 二次方程 ax2 bx c 0 两实根的平方和为 m 两根和为 n 试求 am bn 2c 的值 对于此题 很多学生在练习时 没有清晰的思路 有些学生考虑了根与函数的关系 虽然能解 出此题 但过程较为繁琐 于是在点评时 鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征 比较所求目 标 am bn 2c 与方程 ax2 bx c 0 就会发现它们中 a b c 出现的顺序完全一致 只是目标中 c 的 系数为 2 方程中 c 的系数为 1 而从 1 到 2 的最简单的方法就是加法 经过如此反思 探索 基 础较好的学生马上顿悟过来 为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢 于是得到如下简捷的 求法 解解 设方程的两根分别为 x1 x2 则有 ax21 bx1 c 0 ax22 bx2 c 0 式 式 得 a x21 x22 b x1 x2 2c 0 而由已知得 x21 x22 m x1 x2 n 即 am bn 2c 0 通过对解题思维的反思 重新审查题意 更正确 完整 深刻地理解了题目的条件和结论 激 活了学生的思维 开阔了思路 使各种技能与方法相互渗透 使较多的知识点得到了复习巩固 学 4 4 生自己通过实例还 拓展 了一个定理 虽然此结论早就有了 但学生自己发现了并合理地运用了 使学生的解题能力得到了提升 发展 3 3 反思后学生的收获 反思后学生的收获 学生经过一段时间的反思总结出几点收获 可以巩固所学的解题方法和概念 能反思出多种解 法 能将错误降到最低限度 可让做过的题变得简单 解题反思是一门很深的学问 还包括很多方面 本文只是对解题过程 对题意理解 对问题本 身的再思考 对数学思想方法等方面进行反思探索 反思最重要的是要学生学会自己反思 通过我 们教师的示范 引导 能够自觉地进行